福建省三明市永安一中高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（理科）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2016-2017學(xué)年福建省三明市永安一中高二（下)期中數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（每小題5分共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)1．復(fù)數(shù)=（)A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．某中學(xué)為了研究學(xué)生的視力和座位（有關(guān)和無(wú)關(guān)）的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性研究，經(jīng)計(jì)算K2=7。069，則至少有（）的把握認(rèn)為“學(xué)生的視力與座位有關(guān)”．附:P(K2≥k0）0.1000。0500.0250.0100。001k02。7063。8415。0246.63510.828A．95% B．99% C．97.5％ D．90％3．某班有50名學(xué)生，一次考試的成績(jī)?chǔ)?ξ∈N）服從正態(tài)分布N．已知P（90≤ξ≤100)=0.3，估計(jì)該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為（）A．10 B．20 C．30 D．404．為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子身高數(shù)據(jù)如下父親身高x（cm）174176176176178兒子身高y(cm）175175176177177則y對(duì)x的線(xiàn)性回歸方程為(）A．y=x﹣1 B．y=x+1 C． D．y=1765．以雙曲線(xiàn)=1的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．y2=16x B．y2=﹣16x C．y2=8x D．y2=﹣8x6．在△ABC中，“?＞0”是“△ABC為銳角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．在10個(gè)球中有6個(gè)紅球和4個(gè)白球（各不相同），不放回地依次摸出2個(gè)球，在第一次摸出紅球的條件下，第2次也摸到紅球的概率為(）A． B． C． D．8．箱子里有5個(gè)黑球,4個(gè)白球，每次隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球,那么在第4次取球之后停止的概率為（）A． B．C． D．9．在(x2+3x+2）5的展開(kāi)式中x的系數(shù)為（）A．160 B．240 C．360 D．80010．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC=BC=1，∠ACB=90°,D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E,要使AB1⊥平面C1DF，則線(xiàn)段B1F的長(zhǎng)為（）A． B．1 C． D．211．已知集合A={5｝，B=｛1，2｝，C={1，3，4｝，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．33 B．34 C．35 D．3612．如圖，H為四棱錐P﹣ABCD的棱PC的三等分點(diǎn)，且PH=HC,點(diǎn)G在AH上,AG=mAH．四邊形ABCD為平行四邊形，若G，B,P，D四點(diǎn)共面,則實(shí)數(shù)m等于（）A． B．P,D C． D．二、填空題（每小題5分，四題共20分．答案請(qǐng)寫(xiě)在答題卡上)13．的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．14．已知函數(shù)f(x）=f′（）cosx+sinx,則f（）的值為．15．將序號(hào)分別為1，2，3，4，5的5張參觀(guān)券全部分給4人,每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀(guān)券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是．16．拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l，A,B是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足,設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M在l上的投影為N,則的最大值是．三、解答題（共70分17題10分18—22各12分解答時(shí)應(yīng)按要求寫(xiě)出證明過(guò)程或演算步驟．）17．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式:××…×＜（n∈N＊）18．噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)m的嚴(yán)重問(wèn)題,為了了解強(qiáng)度D(單位:分貝）與聲音能量I（單位：W/cm2）之間的關(guān)系，將測(cè)量得到的聲音強(qiáng)度Di和聲音能量Ii（i=1。2．…,10)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．（Ii﹣）2（Wi﹣）2(Ii﹣）（Di﹣）（Wi﹣）（Di﹣)1。04×10﹣1145。7﹣11。51。56×10﹣210.516.88×10﹣115.1表中Wi=lgIi，=Wi（Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求聲音強(qiáng)度D關(guān)于聲音能量I的回歸方程D=a+blgI；（Ⅱ）當(dāng)聲音強(qiáng)度大于60分貝時(shí)屬于噪音,會(huì)產(chǎn)生噪聲污染，城市中某點(diǎn)P共受到兩個(gè)聲源的影響,這兩個(gè)聲源的聲音能量分別是I1和I2,且．已知點(diǎn)P的聲音能量等于聲音能量Il與I2之和．請(qǐng)根據(jù)（I）中的回歸方程，判斷P點(diǎn)是否受到噪聲污染的干擾,并說(shuō)明理由．附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)（μl，ν1),(μ2，ν2），…(μn，νn），其回歸直線(xiàn)ν=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：β=,=﹣β．19．某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20％；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10％．生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)4萬(wàn)元，若是二等品則虧損1萬(wàn)元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)6萬(wàn)元，若是二等品則虧損2萬(wàn)元．設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨(dú)立．（1）記X(單位：萬(wàn)元）為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)，求X的分布列；（2)求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率．20．四棱錐E﹣ABCD中，△ABD為正三角形，∠BCD=120°，CB=CD﹣CE=1，AB=AD=AE=,且EC⊥BD（1)求證：平面BED⊥平面AEC；（2）求二面角D﹣﹣BM﹣C的平面角的余弦值．21．已知函數(shù)f（x）=lnx﹣mx+m．（Ⅰ）求函數(shù)f(x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若f(x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍．22．已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)O為圓心的圓，滿(mǎn)足此圓與l相交兩點(diǎn)P1，P2（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上),且使得直線(xiàn)OP1，OP2的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

2016—2017學(xué)年福建省三明市永安一中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題(每小題5分共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求)1．復(fù)數(shù)=()A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)相除，分子、分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再利用兩個(gè)復(fù)數(shù)的乘法法則化簡(jiǎn)．【解答】解:復(fù)數(shù)===i，故選C．2．某中學(xué)為了研究學(xué)生的視力和座位（有關(guān)和無(wú)關(guān))的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性研究,經(jīng)計(jì)算K2=7。069,則至少有（)的把握認(rèn)為“學(xué)生的視力與座位有關(guān)”．附：P（K2≥k0）0.1000。0500。0250.0100.001k02。7063.8415.0246。63510.828A．95% B．99% C．97。5％ D．90%【考點(diǎn)】BO：獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．【分析】把觀(guān)測(cè)值同臨界值進(jìn)行比較．得到有99%的把握說(shuō)學(xué)生性別與支持該活動(dòng)有關(guān)系【解答】解:∵K2=7.069＞6.635,對(duì)照表格：P（K2≥k0)0.1000。0500.0250。0100。001k02。7063.8415。0246。63510。828∴有99％的把握說(shuō)學(xué)生性別與支持該活動(dòng)有關(guān)系．故選B．3．某班有50名學(xué)生，一次考試的成績(jī)?chǔ)危é巍蔔）服從正態(tài)分布N．已知P(90≤ξ≤100）=0。3，估計(jì)該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為（)A．10 B．20 C．30 D．40【考點(diǎn)】CP：正態(tài)分布曲線(xiàn)的特點(diǎn)及曲線(xiàn)所表示的意義．【分析】根據(jù)考試的成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N．得到考試的成績(jī)?chǔ)侮P(guān)于ξ=100對(duì)稱(chēng)，根據(jù)P（90≤ξ≤100)=0。3，得到P=0.3,從而得到P=0.2，根據(jù)頻率乘以樣本容量得到這個(gè)分?jǐn)?shù)段上的人數(shù)．【解答】解：∵考試的成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N．∴考試的成績(jī)?chǔ)侮P(guān)于ξ=100對(duì)稱(chēng)，∵P（90≤ξ≤100）=0。3，∴P=0.3，∴P=0。2，∴該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為0.2×50=10故選A．4．為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子身高數(shù)據(jù)如下父親身高x（cm）174176176176178兒子身高y（cm)175175176177177則y對(duì)x的線(xiàn)性回歸方程為(）A．y=x﹣1 B．y=x+1 C． D．y=176【考點(diǎn)】BK：線(xiàn)性回歸方程．【分析】求出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在線(xiàn)性回歸直線(xiàn)上，把樣本中心點(diǎn)代入四個(gè)選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)的方程，只有y=88+x適合，得到結(jié)果．【解答】解：∵=176，=176，∴本組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是,根據(jù)樣本中心點(diǎn)一定在線(xiàn)性回歸直線(xiàn)上，把樣本中心點(diǎn)代入四個(gè)選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)的方程,只有y=88+x適合，故選C．5．以雙曲線(xiàn)=1的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．y2=16x B．y2=﹣16x C．y2=8x D．y2=﹣8x【考點(diǎn)】K8：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)方程，算出它的右焦點(diǎn)為F（4，0）,也是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)．由此設(shè)出拋物線(xiàn)方程為y2=2px，（p＞0),結(jié)合拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)的公式，可得p=8，從而得出該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解析由雙曲線(xiàn)方程﹣=1，可知其焦點(diǎn)在x軸上，由a2=16，得a=4，∴該雙曲線(xiàn)右頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(4，0），∴拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F（4，0)．設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p＞0)，則由=4，得p=8，故所求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x．故選A．6．在△ABC中，“?＞0”是“△ABC為銳角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)】9R:平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由只能得到角A是銳角，無(wú)法得到△ABC為銳角三角形;但△ABC為銳角三角形時(shí)，角A一定是銳角，可得．即可判斷出．【解答】解：由只能得到角A是銳角,無(wú)法得到△ABC為銳角三角形；但△ABC為銳角三角形時(shí)，角A一定是銳角，故．∴“?＞0"是“△ABC為銳角三角形”的必要不充分條件．故選：B．7．在10個(gè)球中有6個(gè)紅球和4個(gè)白球(各不相同）,不放回地依次摸出2個(gè)球，在第一次摸出紅球的條件下,第2次也摸到紅球的概率為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】CM:條件概率與獨(dú)立事件．【分析】事件“第一次摸到紅球且第二次也摸到紅球”的概率等于事件“第一次摸到紅球”的概率乘以事件“在第一次摸出紅球的條件下，第二次也摸到紅球"的概率．根據(jù)這個(gè)原理，可以分別求出“第一次摸到紅球”的概率和“第一次摸到紅球且第二次也摸到紅球”的概率，再用公式可以求出要求的概率．【解答】解:先求出“第一次摸到紅球”的概率為：P1==，設(shè)“在第一次摸出紅球的條件下，第二次也摸到紅球"的概率是P2再求“第一次摸到紅球且第二次也摸到紅球”的概率為P==，根據(jù)條件概率公式,得：P2==，故選：D．8．箱子里有5個(gè)黑球，4個(gè)白球，每次隨機(jī)取出一個(gè)球，若取出黑球，則放回箱中，重新取球；若取出白球，則停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率為（）A． B．C． D．【考點(diǎn)】C9：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【分析】由題意知本題是一個(gè)有放回的取球，是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，根據(jù)所給的條件可知取到一個(gè)白球的概率和取到一個(gè)黑球的概率，第四次取球之后停止表示前三次均取到黑球，第四次取到白球，寫(xiě)出表示式．【解答】解：第四次取球之后停止表示前三次均取到黑球，第四次取到白球，由題意知本題是一個(gè)有放回的取球，是一個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，取到一個(gè)白球的概率是，去到一個(gè)黑球的概率是其概率為．故選B．9．在（x2+3x+2）5的展開(kāi)式中x的系數(shù)為（)A．160 B．240 C．360 D．800【考點(diǎn)】DC：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【分析】利用分步乘法原理:展開(kāi)式中的項(xiàng)是由5個(gè)多項(xiàng)式各出一個(gè)乘起來(lái)的積，展開(kāi)式中x的系數(shù)是5個(gè)多項(xiàng)式僅一個(gè)多項(xiàng)式出3x，其它4個(gè)都出2組成．【解答】解:（x2+3x+2）5展開(kāi)式的含x的項(xiàng)是由5個(gè)多項(xiàng)式在按多項(xiàng)式乘法展開(kāi)時(shí)僅一個(gè)多項(xiàng)式出3x，其它4個(gè)都出2∴展開(kāi)式中x的系數(shù)為C51?3?24=240故選項(xiàng)為B10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn),AB1，DF交于點(diǎn)E，要使AB1⊥平面C1DF，則線(xiàn)段B1F的長(zhǎng)為(）A． B．1 C． D．2【考點(diǎn)】LX：直線(xiàn)與平面垂直的性質(zhì)．【分析】作DE⊥AB1交AB1于E，延長(zhǎng)DE交BB1于F，連接C1F,則AB1⊥平面C1DF，點(diǎn)FB1B的中點(diǎn)即為所求,由C1D⊥平面AA1BB,AB1?平面AA1B1B，則C1D⊥AB1，AB1⊥DF,DF∩C1D=D，滿(mǎn)足線(xiàn)面垂直的判定定理，則AB1⊥平面C1DF【解答】解:作DE⊥AB1交AB1于E，延長(zhǎng)DE交BB1于F，連接C1F，則AB1⊥平面C1DF，點(diǎn)F即為所求．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1?平面AA1B1B,∴C1D⊥AB1．又AB1⊥DF，DF∩C1D=D,∴AB1⊥平面C1DF．四邊形AA1B1B為正方形，此時(shí)點(diǎn)F為B1B的中點(diǎn)．如圖則有△AA1B1∽DB1F,即?．故選：A11．已知集合A={5｝，B=｛1，2},C={1，3，4},從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．33 B．34 C．35 D．36【考點(diǎn)】D8：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，先求得不考慮限定條件確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)，進(jìn)而考慮集合B、C中的相同元素1，出現(xiàn)了3個(gè)重復(fù)的情況，進(jìn)而計(jì)算可得答案．【解答】解：不考慮限定條件確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為C21C31A33=36，但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三個(gè)數(shù)確定的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)只有三個(gè)，故所求的個(gè)數(shù)為36﹣3=33個(gè)，故選A．12．如圖，H為四棱錐P﹣ABCD的棱PC的三等分點(diǎn)，且PH=HC，點(diǎn)G在AH上，AG=mAH．四邊形ABCD為平行四邊形，若G，B，P，D四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)m等于（)A． B．P，D C． D．【考點(diǎn)】9H：平面向量的基本定理及其意義．【分析】若G，B,P，D四點(diǎn)共面，則G即為AH與平面PBD的交點(diǎn)，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，則G即為PO與AH的交點(diǎn)，取HC的中點(diǎn)E，連接OE，結(jié)合三角形的中位線(xiàn)定理，可得答案．【解答】解：如下圖所示：若G，B，P，D四點(diǎn)共面，則G即為AH與平面PBD的交點(diǎn),連接AC,BD交于點(diǎn)O，連接PO,則G即為PO與AH的交點(diǎn),如下圖所示:在截面PAC中,O為AC的中點(diǎn)，H為PC的三等分點(diǎn)，取HC的中點(diǎn)E，連接OE，則OE=AH=2GH，故GH=AH，即AG=AH,故m=．故選：C二、填空題（每小題5分，四題共20分．答案請(qǐng)寫(xiě)在答題卡上）13．的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為60．【考點(diǎn)】DB:二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．【分析】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解:二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=C6r（2x）6﹣r（﹣）r=(﹣1）rC6r26﹣rx，令6﹣r=0，解得r=4，∴二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（﹣1）4C6422=60，故答案為：6014．已知函數(shù)f（x）=f′()cosx+sinx，則f(）的值為1．【考點(diǎn)】63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算;3T：函數(shù)的值．【分析】利用求導(dǎo)法則:(sinx）′=cosx及(cosx）′=﹣sinx，求出f′(x），然后把x等于代入到f′(x）中，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出f′（）的值，把f′（）的值代入到f（x)后，把x=代入到f(x）中，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出f（）的值．【解答】解：因?yàn)閒′(x）=﹣f′（）?sinx+cosx所以f′（）=﹣f′（）?sin+cos解得f′()=﹣1故f(）=f′（)cos+sin=（﹣1）+=1故答案為1．15．將序號(hào)分別為1，2,3，4,5的5張參觀(guān)券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀(guān)券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是96．【考點(diǎn)】D9:排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．【分析】求出5張參觀(guān)券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀(guān)券連號(hào)的組數(shù),然后分給4人排列即可．【解答】解：5張參觀(guān)券全部分給4人，分給同一人的2張參觀(guān)券連號(hào)，方法數(shù)為：1和2，2和3，3和4，4和5，四種連號(hào)，其它號(hào)碼各為一組,分給4人，共有4×=96種．故答案為：96．16．拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l，A，B是拋物線(xiàn)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿(mǎn)足，設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M在l上的投影為N,則的最大值是1．【考點(diǎn)】KN：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系．【分析】設(shè)|AF｜=a，|BF|=b,連接AF、BF．由拋物線(xiàn)定義得2｜MN｜=a+b，由余弦定理可得｜AB|2=（a+b）2﹣3ab，進(jìn)而根據(jù)基本不等式,求得｜AB｜的取值范圍，從而得到本題答案．【解答】解：設(shè)｜AF｜=a，｜BF|=b,連接AF、BF，由拋物線(xiàn)定義，得｜AF|=|AQ|，｜BF|=｜BP｜,在梯形ABPQ中，2|MN｜=|AQ|+|BP｜=a+b．由余弦定理得,|AB｜2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab,配方得,｜AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤，∴（a+b）2﹣3ab≥(a+b）2﹣(a+b)2=（a+b)2得到｜AB|≥(a+b）．∴≤1,即的最大值為1．故答案為:1．三、解答題（共70分17題10分18-22各12分解答時(shí)應(yīng)按要求寫(xiě)出證明過(guò)程或演算步驟．）17．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式:××…×＜（n∈N＊）【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】數(shù)學(xué)歸納法的步驟：①證明n=1時(shí)A式成立②然后假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，A式成立③證明當(dāng)n=k+1時(shí)，A式也成立④下緒論：A式對(duì)所有的正整數(shù)n都成立．【解答】證明：（1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=，右邊=，左邊＜右邊，不等式成立，（2)∵4n2﹣1＜4n2,即（2n+1）（2n﹣1）＜（2n）2．即＜，∴＜,∴＜，假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),原式成立，即××…×＜,那么當(dāng)n=k+1時(shí)，即××…××＜?=＜,即n=k+1時(shí)結(jié)論成立．根據(jù)（1）和(2）可知不等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立．18．噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)m的嚴(yán)重問(wèn)題，為了了解強(qiáng)度D（單位:分貝）與聲音能量I(單位：W/cm2)之間的關(guān)系,將測(cè)量得到的聲音強(qiáng)度Di和聲音能量Ii（i=1。2．…,10)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．(Ii﹣）2（Wi﹣）2（Ii﹣）（Di﹣)(Wi﹣)（Di﹣）1.04×10﹣1145.7﹣11。51。56×10﹣210。516.88×10﹣115.1表中Wi=lgIi，=Wi(Ⅰ）根據(jù)表中數(shù)據(jù),求聲音強(qiáng)度D關(guān)于聲音能量I的回歸方程D=a+blgI；(Ⅱ）當(dāng)聲音強(qiáng)度大于60分貝時(shí)屬于噪音，會(huì)產(chǎn)生噪聲污染，城市中某點(diǎn)P共受到兩個(gè)聲源的影響，這兩個(gè)聲源的聲音能量分別是I1和I2，且．已知點(diǎn)P的聲音能量等于聲音能量Il與I2之和．請(qǐng)根據(jù)（I）中的回歸方程，判斷P點(diǎn)是否受到噪聲污染的干擾，并說(shuō)明理由．附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)（μl,ν1),（μ2，ν2）,…（μn，νn），其回歸直線(xiàn)ν=α+βμ的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：β=,=﹣β．【考點(diǎn)】BK：線(xiàn)性回歸方程．【分析】(I）根據(jù)回歸系數(shù)公式得出D關(guān)于w的線(xiàn)性回歸方程,再得出D關(guān)于I的回歸方程;（II）適用基本不等式求出I1+I2的范圍，利用回歸方程計(jì)算噪音強(qiáng)度．【解答】解：（1）令wi=lgIi，，∴,∴D關(guān)于w的線(xiàn)性回歸方程是：，∴D關(guān)于I的回歸方程是：．（Ⅱ）點(diǎn)P的聲音能量I=I1+I2，∵，∴I=I1+I2=10﹣10(）（I1+I2）=10﹣10（2+）≥4×10﹣10．∴點(diǎn)P的聲音強(qiáng)度D的預(yù)報(bào)值：=10lgI+160。7=10lg4+60.7＞60．∴點(diǎn)P會(huì)受到噪聲污染的干擾．19．某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,甲產(chǎn)品的一等品率為80%,二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%,二等品率為10％．生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤(rùn)4萬(wàn)元,若是二等品則虧損1萬(wàn)元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品,若是一等品則獲得利潤(rùn)6萬(wàn)元，若是二等品則虧損2萬(wàn)元．設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨(dú)立．（1）記X（單位：萬(wàn)元）為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn),求X的分布列；（2）求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率．【考點(diǎn)】CG:離散型隨機(jī)變量及其分布列；C9：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【分析】（1）根據(jù)題意做出變量的可能取值是10,5，2，﹣3,結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，寫(xiě)出變量的概率和分布列．（2）設(shè)出生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有n件，則二等品有4﹣n件，根據(jù)生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元，列出關(guān)于n的不等式,解不等式，根據(jù)這個(gè)數(shù)字屬于整數(shù)，得到結(jié)果，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)寫(xiě)出概率．【解答】解：(1)由題設(shè)知,X的可能取值為10，5,2,﹣3，且P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0。2×0。9=0。18，P(X=2）=0。8×0.1=0.08，P（X=﹣3)=0.2×0.1=0。02．∴X的分布列為：X1052﹣3P0。720。180.080。02（2）設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有n件，則二等品有4﹣n件．由題設(shè)知4n﹣（4﹣n)≥10,解得，又n∈N，得n=3，或n=4．所求概率為P=C43×0.83×0.2+0。84=0。8192答：生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤(rùn)不少于10萬(wàn)元的概率為0。8192．20．四棱錐E﹣ABCD中，△ABD為正三角形,∠BCD=120°，CB=CD﹣CE=1，AB=AD=AE=，且EC⊥BD(1）求證:平面BED⊥平面AEC；(2)求二面角D﹣﹣BM﹣C的平面角的余弦值．【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LY:平面與平面垂直的判定．【分析】(1）由題意可得AC⊥BD，又EC⊥BD,結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定可得平面BED⊥平面AEC；（2）由(1）知AC⊥BD，證得△COE∽△CEA,可得CE2+AE2=AC2=4，即∠CEA=90°，得EO⊥AC，又BD⊥OE,建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo),得到平面DBM與平面CBM的一法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值．【解答】證明：（1）由于△ABD為正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，故連接AC交BD于O點(diǎn)，則△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，則AC⊥BD,又∵EC⊥BD,EC∩AC=C，故BD⊥面ACE，∴平面BED⊥平面AEC；解：(2）由（1）知AC⊥BD，且CO=，AO=，連接EO,則,∴△COE∽△CEA，又CE2+AE2=AC2=4，可得∠CEA=90°．∴∠COE=∠CEA=90°，故EO⊥AC,又BD⊥OE，故如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B（0，，0）,D（0，,0)，C（,0，0）,M（,0，),，,設(shè)平面DBM的法向量，則由，得，取z1=1,得；，設(shè)平面CBM的法向量，則由，得,取z2=1，得．∴cos＜＞=．故二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值為．21．已知函數(shù)f(x）=lnx﹣mx+m．(Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間;（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程．【分析】（Ⅰ）對(duì)f（x）求導(dǎo)，對(duì)導(dǎo)函數(shù)中m進(jìn)行分類(lèi)討論，由此得到單調(diào)區(qū)間．（Ⅱ）借助（Ⅰ），對(duì)m進(jìn)行分類(lèi)討論，由最大值小于等于0,構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題．【解答】解：（Ⅰ），當(dāng)m≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立,則函數(shù)f（x）在（0,+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)m＞0時(shí),由，