正弦定理余弦定理的應(yīng)用

1.3正弦定理、余弦定理的應(yīng)用第一章解三角形例1:如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸A、B兩點(diǎn)間的距離，在這一岸定一基線

CD，現(xiàn)已測(cè)出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，試求AB的長(zhǎng).解：在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝α，∠ADC＝δ，在△ABC中，已經(jīng)求得AC和BC，又因?yàn)椤螦CB＝α－β，所以用余弦定理.就可以求得在△BCD中，由正弦定理得BC＝

＝

AC＝

＝

由正弦定理得例2：某漁船航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號(hào)。我海軍艦艇在A處獲悉后，測(cè)出該漁船在方位角為45°，距離為10nmile的C處，并測(cè)得漁船正沿方位角為105°的方向，以nmile/h的速度向小島靠攏。我海軍艦艇立即以18nmile/h速度前去營(yíng)救。求艦艇的航向和靠近漁船所需時(shí)間。北北解：設(shè)艦艇從A處靠近漁船所用的時(shí)間為xh，

則AB＝

nmile，BC＝

nmile，AC＝10nmile，

∠ACB＝45°＋（180°－105°）＝120°根據(jù)余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°化簡(jiǎn)，得解得h,(負(fù)值舍去)（）2＝102＋（）2－2×10×cos120°，即由正弦定理可得：，方位角為45°+30°=75°所以答：艦艇應(yīng)沿著方位角為75°的方向航行，經(jīng)過h就可靠近漁船。練習(xí):書本第20頁(yè)練習(xí)3，4練習(xí)3：如圖，貨輪在海上以40nmile/h的速度由B向C航行，航行的方位角∠NBC=140°

，A處有燈塔，其方位角∠NBA=110°

，在C處觀察燈塔A的方位角∠N’CA=35°

，由B到C需0.5h航行，求C到燈塔A的距離。解：∵NB∥N’C,∴∠N’CB=180°—

∠NBC=180°—140°=40°，∴∠ACB=∠N’CB+∠N’CA=40

°+35

°=75°，∴∠BAC=180°—75

°—30

°=75°，∴∠ACB=∠BAC，∴AB=BC=40x0.5=20，∴∴練習(xí)4：某人在高出海面600m的山上P處，測(cè)得海面上的航標(biāo)A在正東，俯角為

30°

，航標(biāo)B在南偏東60°

，俯角為45°

，求這兩個(gè)航標(biāo)間的距離。例3:作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3平衡。已知F1=30N，F(xiàn)2=50N，F(xiàn)1與F2之間的夾角是60°，求F3的大小與方向。解：F3

應(yīng)和F1，F(xiàn)2的合力平衡，所以F3和F在同一條直線上，并且大小相等，方向相反。

如圖，在△O

F1F中，由余弦定理，得再由正弦定理，得所以，從而答：F3為70N，F(xiàn)3和F1間的夾角為141.8°.練習(xí)1：如圖，用兩根繩子牽引重力為F1=100N的物體，兩根繩子拉力分別為F2，

F3，此時(shí)平衡。如果F2=80N，F(xiàn)2

與

F3的夾角為α=135°。（1）求F3的大小；（2）求F3與F1的夾角β的值。拓展：作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3平衡，且F1，F(xiàn)2的夾角為θ2，F(xiàn)2，F(xiàn)3的夾角為θ1，F(xiàn)1，F(xiàn)3的夾角為θ2，求證：例4：如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以AB為邊作等邊三角形ABC。問：點(diǎn)B在什么位置時(shí)，四邊形OABC面積最大？解：設(shè)∠AOB=α。在△AOB中，由余弦定理，得于是，四邊形OACB的面積為因?yàn)?<α<π,所以當(dāng)即∠AOB=150°，四邊形面積OABC面積最大。練習(xí)2：曲柄連桿機(jī)構(gòu)示意如圖所示。當(dāng)曲柄OA在水平位置OB時(shí)，連桿端點(diǎn)P在

Q的位置。當(dāng)OA自O(shè)B按順時(shí)針方