專題12全等三角形中學(xué)預(yù)習(xí)超越銜接重要筆記（原題版）

專題12：全等三角形2023年中學(xué)預(yù)習(xí)超越銜接重要筆記一、全等三角形重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)剖析：1、全等三角形的概念能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。兩個(gè)三角形全等時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。夾邊就是三角形中相鄰兩角的公共邊，夾角就是三角形中有公共端點(diǎn)的兩邊所成的角。2、全等三角形的表示和性質(zhì)全等用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”。如△ABC≌△DEF，讀作“三角形ABC全等于三角形DEF注：記兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的宇母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。3、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：(1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”(2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等《可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“AS4”（3）邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等《可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“sss”。直角三角形全等的判定：對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有正定理《斜邊、直角邊定理)：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。4、全等變換只改變圖形的位置，二不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。全等變換包括一下三種：（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動(dòng)的變換叫做平移變換。(2）對(duì)稱變換：將圖形沿某直線翻折180°，這種變換叫做對(duì)稱變換。(3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個(gè)位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換。二、典型例題分析：題型一全等三角形的概念【典例1】（2022·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如果△ABC與△DEF是全等形，則下列說(shuō)法：①它們的周長(zhǎng)相等；②它們的面積相等；③它們的每個(gè)對(duì)應(yīng)角都相等；④它們的每條對(duì)應(yīng)邊都相等．其中正確的是A．①②③④ B．①②③C．①② D．①【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的概念逐項(xiàng)進(jìn)行判定即可.【詳解】解：由題可知,△ABC≌△DEF,∵全等是指兩個(gè)圖形的形狀、大?。娣e和周長(zhǎng)）相等,對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等,∴①它們的周長(zhǎng)相等,②它們的面積相等,③它們的每個(gè)對(duì)應(yīng)角都相等,④它們的每條對(duì)應(yīng)邊都相等,全正確,故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了全等形的概念,屬于簡(jiǎn)單題,熟悉全等形的概念和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.【拓展延伸1】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖為6個(gè)邊長(zhǎng)相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠3-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【拓展延伸2】（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示的網(wǎng)格是由9個(gè)相同的小正方形拼成的，圖形的各個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）．A．30° B．45° C．55° D．60°【拓展延伸3】（2022秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）全等三角形又叫做合同三角形，平面內(nèi)的合同三角形分為真合同三角形與鏡面合同三角形，兩個(gè)真合同三角形，都可以在平面內(nèi)通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)使它們重合；而兩個(gè)鏡面合同三角形要重合，則必須將其中的一個(gè)翻折，下列各組合同三角形中，是鏡面合同三角形的是（）A． B． C． D．題型二全等三角形的性質(zhì)【典例2】（2019秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是平分線上的一點(diǎn)，，垂足為D，若，則點(diǎn)到邊的距離是（

）A． B．3 C．5 D．4【答案】B【分析】作PE⊥OA于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得．【詳解】作PE⊥OA于E∵點(diǎn)P是∠AOB平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OB，PE⊥OA∴PE=PD=3故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【拓展延伸1】（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在凸五邊形ABCDE中，，，，，，則凸五邊形ABCDE的面積等于（

）A．2 B． C． D．【拓展延伸2】（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)四川省萬(wàn)源中學(xué)校考階段練習(xí)）如果△ABC的三邊長(zhǎng)分別為3、5、7，△DEF的三邊長(zhǎng)分別為3，3x-2，2x-1，若這兩個(gè)三角形全等，則x的值為(

)A． B．4 C．3 D．5【拓展延伸3】（2022秋·山東日照·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，P是BC上的點(diǎn)，作PQ∥AC交AB于點(diǎn)Q，分別作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分別是R，S，若PR=PS，則下面三個(gè)結(jié)論：①AS=AR；②AQ=PQ；③△PQR≌△CPS；④AC﹣AQ=2SC，其中正確的是（）A．②③④ B．①② C．①④ D．①②③④題型三三角形全等的判定【典例3】（2023秋·新疆和田·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，點(diǎn)在上（不與點(diǎn)，重合），要證明，只需添加一個(gè)條件是．

【答案】（答案不唯一）【分析】由題意可得，即添加一組邊對(duì)應(yīng)相等，可證【詳解】解：∵，∴，添加，∴在與中，，∴，故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，靈活運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵．【拓展延伸1】（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，于點(diǎn)，，且，則的度數(shù)為．【拓展延伸2】（2023秋·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，為銳角，，點(diǎn)在射線上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），點(diǎn)到射線的距離為，若取某一確定值時(shí)，的形狀、大小是唯一確定的，則的取值范圍是．

【拓展延伸3】（2023春·陜西西安·七年級(jí)高新一中?？计谀┤鐖D，已知四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段上以2厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為厘米/秒時(shí)，能夠使與全等．

題型四角平分線的性質(zhì)【典例4】（2022·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）用兩個(gè)全等的直角三角形拼下列圖形：（1）平行四邊形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等腰三角形，一定可以拼成的圖形是

（

）A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）【答案】A【詳解】試題分析：根據(jù)全等的直角三角形的性質(zhì)依次分析各小題即可判斷.用兩個(gè)全等的直角三角形一定可以拼成平行四邊形、矩形、等腰三角形故選A.考點(diǎn)：圖形的拼接點(diǎn)評(píng)：圖形的拼接是初中數(shù)學(xué)平面圖形中比較基礎(chǔ)的知識(shí)，，在中考中比較常見(jiàn)，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，難度一般.【拓展延伸1】（2019秋·浙江·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，若OD=12，OP=15，則PE的長(zhǎng)為（）A．9 B．10 C．11 D．12【拓展延伸2】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC=10cm，則△DEC的周長(zhǎng)是（

）A．8cm B．10cm C．11cm D．12cm【拓展延伸3】（2019春·江蘇南通·七年級(jí)南通田家炳中學(xué)校考期末）如圖，在四邊形中，，和的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若點(diǎn)使得，則滿足此條件的點(diǎn)（

）A．有且積有 B．有且只有個(gè)C．組成的角平分線 D．組成的角平分線所在的直線（點(diǎn)除外）三、強(qiáng)化超越題：1．（2023春·重慶南岸·八年級(jí)重慶市廣益中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，的外角平分線與內(nèi)角平分線的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，點(diǎn)為中點(diǎn)．有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④2．（2023秋·湖北黃岡·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，、分別是的高和角平分線，與相交于，平分交于，交于，連接交于，且．有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確的結(jié)論有．（填序號(hào)）

3.（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，平分交于于點(diǎn)D．

（1）若，，則點(diǎn)D到的距離是．（2）若，點(diǎn)D到的距離為6，則的長(zhǎng)為．4.（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校?？计谀┤鐖D所示，在中，，是的角平分線，若，，則點(diǎn)到的距離為．

5．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，且點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上若，，求的長(zhǎng)．6.（2022秋·湖北十堰·八年級(jí)十堰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰谥?，，點(diǎn)D是射線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以為一邊在的右側(cè)作，使，，連接．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上，且時(shí)，那么______度；(2)設(shè)，．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段上，時(shí)，請(qǐng)你探究