第10章 直線回歸與相關分析

第十章直線回歸與相關分析＆10.1回歸和相關分析概述＆10.2直線回歸分析＆10.3直線相關分析＆10.1回歸和相關分析概述一、變量間的關系分為兩類：函數(shù)關系：完全確定性的關系——可用精確的數(shù)學式來表示；統(tǒng)計關系：不存在完全確定性的關系——不能用精確的數(shù)學式來表示。統(tǒng)計關系這一類變量間的關系就是統(tǒng)計學中回歸分析與相關分析所要討論的問題。常用x、y來表示兩個變量，(x，y)的各對觀察值用(x1，y1),(x2，y2),…,(xn,yn)表示。在統(tǒng)計上，x和y變量的關系有兩種理論模型：回歸模型和相關模型?；貧w模型（因果關系）中：x表示原因的變量；y是表示結果的變量?；貧w分析目的：導出由x來預測或控制y的回歸方程，即確定當自變量x為某一值時依變量y將會在什么范圍內變化。二、回歸、相關分析的任務與類型在相關模型中，其x和y變量是平行變化關系，不能區(qū)別哪一個是自變量，哪一個是依變量。相關分析目的：確定兩個變量在數(shù)量關系上的密切程度和性質。不能用一個或多個變量去預測、控制另一個變量的變化?；貧w分析的類型：一元回歸分析（直線和曲線回歸分析）；多元回歸分析（多元線性回歸分析和曲面回歸分析）。相關分析的類型：直線相關分析；復相關分析。偏相關分析。三、兩個變數(shù)資料的散點圖對具有統(tǒng)計關系的兩個變數(shù)的資料進行初步考察的簡便而有效的方法，是將這兩個變數(shù)的n對觀察值(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)分別以坐標點的形式標記于同一直角坐標平面上，獲得散點圖(scatterdiagram)。例如：根據(jù)散點圖可初步判定雙變數(shù)X和Y間的關系:①X和Y相關的性質(正或負)和密切程度②X和Y的關系是直線型的還是非直線型的③是否有一些特殊的點表示著其他因素的干擾＆10.2直線回歸分析一、直線回歸方程的建立二、直線回歸的顯著性檢驗三、直線回歸的區(qū)間估計一、直線回歸方程的建立設變量x與y間存在直線關系，根據(jù)n對觀察值所描出的散點圖如下。圖９—2直線回歸散點圖總體直線回歸方程：y=α+βx實際觀察值可表示為：

yi=α+βxi+

i(i=1,2,…，n)

i為隨機誤差，與α、β相互獨立，且服從N(0，

2)。這就是直線回歸的數(shù)學模型根據(jù)樣本實際觀察值對α、β以及誤差方差

2作出估計，即建立樣本回歸方程并估計出誤差的大小。設樣本直線回歸方程為：總體直線回歸方程：y=α+βx其中a是

的估計值，稱為回歸截距；b是β的估計值，稱為回歸系數(shù)，表示自變量每改變一個單位數(shù)時，依變量y平均改變的單位數(shù)(b＞0時，增加；b＜0時，減少)是

+βxi的估計值回歸方程的基本條件（性質）：

性質1最?。恍再|2；性質3回歸直線通過點。利用最小二乘法，即Ｑ最小的方法求a與b的值。根據(jù)微積分學中求極值的原理，將Q對a與b求偏導數(shù)并令其等于0：整理后可得：上式叫做a與b的正規(guī)方程組。簡記為：解之可得:x與y的離均差乘積和，簡稱為乘積和，記為SPxy。記ssx=∑x2-(∑x)2／n，則a、b是α、β的最小二乘估計也是無偏估計。例[9.1]一些夏季害蟲盛發(fā)期的早遲和春季溫度高低有關。江蘇武進連續(xù)9年測定3月下旬至4月中旬旬平均溫度累積值（x,旬.度）和水稻一代三化螟盛發(fā)期（y,以5月10日為0）的關系，得結果于表9.1。試計算其直線回歸方程。表9.1累積溫和一代三化螟盛發(fā)期的關系SAS分析解：上述方程中回歸系數(shù)b和回歸截距a的意義為：b=-1.1當3月下旬至4月中旬的積溫(x)每提高1旬·度時，一代三化螟的盛發(fā)期平均將提早1.1天；a=48.5若積溫為0，則一代三化螟的盛發(fā)期將在6月27—28日(x=0時，=48.5；因y是以5月10日為0，故48.5為6月27—28日）。由于x變數(shù)的實測區(qū)間為[31.7，44.2]，在應用=48.5-1.1x于預測時，需限定x的區(qū)間為[31.7，44.2]；如要在x＜31.7或＞44.2的區(qū)間外延，則必須有新的依據(jù)。二、直線回歸的顯著性檢驗回歸關系的假設測驗：對于樣本的回歸方程，必須測定其來自無直線回歸關系總體的概率大小。只有當這種概率小于0.05或0.01時，我們才能冒較小的危險確認其所代表的總體存在著直線回歸關系。這就是回歸關系的假設測驗?；貧w關系的假設測驗有兩種方法：t測驗或F測驗1、回歸系數(shù)顯著性檢驗──t檢驗對直線回歸系數(shù)b的假設檢驗為：HO：β=0；HAβ≠0。在HO成立的條件下，回歸系數(shù)b服從t分布。其中，為回歸系數(shù)標準誤。[例9.3]試測驗例9.1資料回歸關系的顯著性。已算得b=-1.0996，SSx=144.6356，sy/x=3.266，故有：

查附表4，t0.05，7=2.36，t0.01，7=3.50。|t|=4.05>t0.01,7=3.50，接受HA：≠0結論:認為積溫和一代三化螟盛發(fā)期是有真實直線回歸關系的?；蛘哒f此b=-1.0996是極顯著的。2.回歸關系顯著性檢驗──F檢驗圖9-4的分解圖直線回歸的變異來源上式中:回歸平方和，它是由x的不同而引起的.df回歸=1

df離回歸=n-2離回歸平方和:Df總=n-1

總平方和：已算得SSX=144.6356SSy=249.5556SP=-159.044解：回歸平方和離回歸平方和:[例9.4]試用F測驗法檢測例9.1資料回歸關系的顯著性。表9.3例9.1資料回歸關系的方差分析結論:表明積溫和一代三化螟盛發(fā)期是有真實直線回歸關系的，即β≠0（準確地說，在β=0的總體中獲得現(xiàn)有回歸樣本的概率小于0.01）。統(tǒng)計學已證明，在直線回歸分析中F檢驗與t檢驗法是等價的，可任選一種進行檢驗。特別要指出的是：利用直線回歸方程進行預測或控制，一般只能內插，不要輕易外延。離回歸標準差：統(tǒng)計意義：p162三、直線回歸的區(qū)間估計1．直線回歸的抽樣誤差在直線回歸總體中抽取若干個樣本時，由于，各樣本的a、b值都有誤差。因此，由=a+bx給出的點估計的精確性，決定于SY/X和a、b的誤差大小。比較科學的方法:給出對其總體的等的置信區(qū)間。、2．回歸截距的置信區(qū)間a的標準誤為：總體回歸截距α有95％可靠度的置信區(qū)間為：

3．回歸系數(shù)的置信區(qū)間b的標準誤為：總體回歸系數(shù)β有95％可靠度的置信區(qū)間為：

4.條件總體平均數(shù)的置信區(qū)間:樣本估計值的標準誤為：的置信區(qū)間:5.條件總體預測值的置信區(qū)間:單個預測值的估計標準誤為：Y（P）的置信區(qū)間:[例9.6]測定遲熟早秈廣陸矮4號在5月5日至8月5日播種時(每隔10天播一期)，播種至齊穗的天數(shù)(x)和播種至齊穗的總積溫(y，日·度)的關系列于表9.5，試計算：（1）回歸方程及其顯著性測驗；（2）其回歸截距和回歸系數(shù)95%可靠度的置信區(qū)間。

表9.5廣陸4號播種至齊穗天數(shù)（x）和總積溫（y）的關系(1)（2）其回歸截距和回歸系數(shù)95%可靠度的置信區(qū)間。例[9.1]一些夏季害蟲盛發(fā)期的早遲和春季溫度高低有關。江蘇武進連續(xù)9年測定3月下旬至4月中旬旬平均溫度累積值（x,旬.度）和水稻一代三化螟盛發(fā)期（y,以5月10日為0）的關系，得結果于表9.1。表9.1累積溫和一代三化螟盛發(fā)期的關系(1)計算其直線回歸方程，并進行回歸顯著性測驗。（2）當3月下旬至4月中旬的積溫為40旬·度時，歷年的一代三化螟平均盛發(fā)期在何時(取95%可靠度)？（3）某年3月下旬至4月中旬的積溫為40旬·度，試估計該年的一代三化螟盛發(fā)期在何時(取95%可靠度)？（2）當3月下旬至4月中旬的積溫為40旬·度時，歷年的一代三化螟平均盛發(fā)期在何時(取95%可靠度)？（3）某年3月下旬至4月中旬的積溫為40旬·度，試估計該年的一代三化螟盛發(fā)期在何時(取95%可靠度)？進行直線相關分析的基本任務在于根據(jù)x、y的實際觀測值，計算表示兩個相關變量x、y間線性相關程度和性質的統(tǒng)計量——相關系數(shù)r并進行顯著性檢驗。＆10.3直