《高等數(shù)學(xué)（上冊）》（陽平華）645-4教案 第一章 第2課 數(shù)列的極限、函數(shù)的極限

第課第課數(shù)列的極限、函數(shù)的極限2數(shù)列的極限、函數(shù)的極限數(shù)列的極限、函數(shù)的極限第課2PAGE2 PAGE2PAGE7 PAGE7數(shù)列的極限、函數(shù)的極限數(shù)列的極限、函數(shù)的極限第課2

課題數(shù)列的極限、函數(shù)的極限課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：（1）理解數(shù)列的極限。（2）掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)。（3）理解函數(shù)的極限，會計算函數(shù)的極限，包括函數(shù)在某點的左極限、右極限。（4）理解函數(shù)極限的性質(zhì)。思政育人目標(biāo)：通過數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的記載，提出極限思想，讓學(xué)生充分感覺到我國深厚的文化底蘊，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)知識揭示生活中的奧秘，在實踐中深化認(rèn)識，達(dá)到學(xué)以致用的目的教學(xué)重難點教學(xué)重點：數(shù)列極限的定義、收斂數(shù)列的性質(zhì)、函數(shù)極限的概念和性質(zhì)教學(xué)難點：計算函數(shù)的極限、左極限和右極限教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識講解（30min）（10min）→課堂小結(jié)（5min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識講解

（33min）【教師】通過莊子的“截杖問題”和劉徽的“割圓術(shù)”，引出并講解數(shù)列以及數(shù)列的極限案例1“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”．分析這是戰(zhàn)國時期哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》中的一句話，意思是“一根長為一尺的木棒，每天截去一半，永遠(yuǎn)取不盡”．我們把每天取后剩下的部分用算式表示可得數(shù)列：．隨著時間的推移，剩下的木棒長度越來越短，顯然，當(dāng)天數(shù)n無限增大時，剩下的木棒長度將無限縮短，即剩下的木棒長度越來越接近于數(shù)0．案例2劉徽稱“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體而無所失亦”．分析“割圓術(shù)”求圓面積的作法和思路是：先作圓的內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為；再作圓的內(nèi)接正十二邊形，其面積記為；再作圓的內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為；照此下去，把圓內(nèi)接正邊形的面積記為，這樣得到一個數(shù)列：，，，，，如圖1-18所示．圖1-18由圖1-18可以看出，隨著圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加，圓內(nèi)接正多邊形的面積與圓的面積越來越接近．當(dāng)邊數(shù)n無限增大時，圓內(nèi)接正邊形的面積會無限接近圓的面積A．對于一些數(shù)列，如，若當(dāng)n無限增加時，一般項無限接近于某一個常數(shù)，則這個常數(shù)稱為數(shù)列的極限．在數(shù)學(xué)上，需要從定量角度定義數(shù)列的極限．給定一個數(shù)列和常數(shù)a，為證明的極限為a，需要證明n越來越大時，越來越趨于0．為了定量描述隨n增大逐漸接近于0，與a的接近程度可用（為任意小的正數(shù)）代替．越小，越接近于a，滿足成立的的項數(shù)n越大．因此，給定一個正數(shù)，就存在一個正整數(shù)，當(dāng)時，，越小，N就越大，如圖1-19所示．圖1-19定義1設(shè)是數(shù)列，a為常數(shù)，若對任意給定的正數(shù)，總可以找到正整數(shù)N，使得所有滿足的自然數(shù)n，都有成立，則稱數(shù)列收斂于a，a稱為數(shù)列的極限，記為．例1對數(shù)列，當(dāng)取，，求滿足，的的范圍，并證明．解因為，所以要使，只要，即即可．同理，要滿足，只要即可．現(xiàn)證明．對任意給定的，要使，只要，因此，可以?。赡転?）．當(dāng)時，就有，故．如果數(shù)列沒有極限，則稱該數(shù)列發(fā)散．我們還可以用數(shù)列極限的定義證明如下重要極限：（為常數(shù)），，，，．【學(xué)生】理解數(shù)列及數(shù)列的極限【教師】講解收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1（極限的唯一性）如果數(shù)列收斂，那么它的極限唯一．證明用反證法．假設(shè)同時有和，且，?。驗?，故正整數(shù)，當(dāng)時，不等式（1）成立．同理，因為，故正整數(shù)，當(dāng)時，不等式（2）也成立．?。ū硎綨是和中較大的那個數(shù)），則當(dāng)時，（1）式及（2）式同時成立．但由（1）式有，由（2）式有，這是矛盾的，故假設(shè)不成立．定義2對于數(shù)列，如果存在正數(shù)，使得對于一切都滿足不等式，則稱數(shù)列是有界的；否則稱數(shù)列是無界的．定理2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列收斂，那么數(shù)列一定有界．證明設(shè)數(shù)列收斂于a，根據(jù)數(shù)列極限的定義，對于，存在正整數(shù)N，當(dāng)時，不等式成立．于是，當(dāng)時，有．取，則數(shù)列中的一切都滿足不等式．這就證明了數(shù)列是有界的．定理3（收斂數(shù)列的保號性）如果數(shù)列收斂于，且（或），那么存在正整數(shù)，當(dāng)時，有（或）．當(dāng)時，根據(jù)極限定義，只要取，即可證明結(jié)論．推論如果數(shù)列從某項起有（或），且數(shù)列收斂于a，則（或）．證明就情形證明．設(shè)數(shù)列從項起，即當(dāng)時有．現(xiàn)在用反證法證明，若，則由定理3知，，當(dāng)時，有，取，則當(dāng)時，有與同時成立，矛盾，所以．對于的情形，可以類似地證明．定義3在數(shù)列中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列（或子列）．設(shè)在數(shù)列中，第一次抽取，第二次在后抽取，第三次在后抽取，，這樣無休止的抽取下去，得到一個數(shù)列，，，，，這個數(shù)列就是數(shù)列的一個子數(shù)列．【學(xué)生】掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)通過數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化的記載，提出極限思想，讓學(xué)生充分感覺到我國深厚的文化底蘊，激發(fā)學(xué)生的愛國情懷。學(xué)習(xí)數(shù)列極限的定義和收斂數(shù)列的性質(zhì)。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化問題討論

（10min）【教師】組織學(xué)生討論以下問題1．若，能否得到結(jié)論：對任意給定的正數(shù)，總可以找到正整數(shù)，使得所有滿足的自然數(shù)n，都有（或）成立？2．在數(shù)列極限定義的語言中對任意給定的正數(shù)，可否規(guī)定？3．有界數(shù)列是否一定收斂？發(fā)散的數(shù)列是否一定無界？4．如果數(shù)列收斂于，且，有（或），則是否一定有（或）？5．若數(shù)列的任何子數(shù)列都收斂，那么此數(shù)列是否一定收斂？發(fā)散數(shù)列的子數(shù)列都發(fā)散嗎？【學(xué)生】發(fā)言通過課堂討論，活躍課堂氣氛，加深學(xué)生對知識點的理解第二節(jié)課知識講解

（30min）【教師】講解函數(shù)極限的概念，并通過例題講解介紹其應(yīng)用1．自變量趨于無窮時函數(shù)的極限當(dāng)時，函數(shù)的極限定義與數(shù)列極限定義相似，因此可以給出當(dāng)時，極限的定義．定義1設(shè)在上有定義，為實常數(shù)，若對，，當(dāng)時，有，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時，以為極限，記為或．定義1'設(shè)在上有定義，為實常數(shù)，若對，，當(dāng)時，，則稱函數(shù)當(dāng)時，以為極限，記為或．定義1"設(shè)在上有定義，為實常數(shù)，若對，，當(dāng)時，，則稱函數(shù)在時，以為極限，記為．定理1．證明必要性顯然．下證充分性．時，，，使當(dāng)時；，使當(dāng)時．取，則當(dāng)或，即時，同時有，所以．例1求．解考察函數(shù)，如圖1-21所示．圖1-21．例2考察函數(shù)當(dāng)和時的極限，并說明它在時的極限是否存在．解如圖1-22所示，當(dāng)時，函數(shù)無限趨于常數(shù)，所以．當(dāng)時，函數(shù)無限趨于常數(shù)，所以．由于，所以不存在．圖1-222．自變量趨于有限值時函數(shù)的極限對于函數(shù)，在無意義．當(dāng)時，，如圖1-23和表1-2所示，當(dāng)時，．這樣對，要使，定有在確定的范圍內(nèi)，即，．越小，越小，由確定．這樣我們可以得到，當(dāng)時，函數(shù)極限的定義．圖1-23表1-2x…0.90.990.999…1…1.0011.011.1…y…1.91.991.999…2…2.0012.012.1…定義2設(shè)在的某個去心鄰域上有定義，為實常數(shù)，若對，，當(dāng)時，，則稱函數(shù)當(dāng)趨于時，以為極限，記作或．定義2'設(shè)在的某個去心右鄰域上有定義．A為一實常數(shù)，若對，，當(dāng)時，，則稱A為函數(shù)在x趨于時的右極限，記作或．定義2"設(shè)在的某個去心左鄰域上有定義，A為一實常數(shù)，若對，，當(dāng)時，，則稱A為函數(shù)在x趨于時的左極限，記作或．定理2．證明與定理1類似．例3設(shè)試判斷是否存在．解先分別求當(dāng)時的左、右極限，，，因為左、右極限各自存在且相等，所以存在，且．【學(xué)生】理解函數(shù)的極限，會計算函數(shù)的極限，包括函數(shù)在某點的左極限、右極限【教師】講解函數(shù)極限的性質(zhì)定理3（極限的唯一性）如果存在，則極限是唯一的．定理4（局部有界性）如果，則存在常數(shù)和，使得當(dāng)時，有．局部有界性是指函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)有界．定理5（局部保號性）設(shè)，如果（或），則，使當(dāng)時，（或）．推論如果在的某去心鄰域內(nèi)（或），且，則（或）．【學(xué)生】理解函數(shù)極限的性質(zhì)學(xué)習(xí)函數(shù)極限的概念和函數(shù)極限的性質(zhì)。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化問題討論

（10min）【教師】組織學(xué)生討論以下問題1．證明如下函數(shù)極限，并指出這些函數(shù)的極限有什么特點？（1）（C為常數(shù)）；（2）；（3）；（4）．2．從函數(shù)極限定義的角度考慮，若令，數(shù)列極限還可以怎樣敘述？3．若對，，且，是否一定有？【學(xué)生】討論、發(fā)言通過課堂討論，活躍課堂氣氛，加深學(xué)生對知識點的理解課堂小結(jié)

（5min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點本節(jié)課學(xué)習(xí)了數(shù)列極限的定義、收斂數(shù)列的性質(zhì)、函數(shù)極限的概念、