陜西省2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（理科）試題（Word版含答案）

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數(shù)學(xué)（理科）

考生注意：

1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ類（非選擇題）兩部分，共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。

2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上。

3.本試卷主要考試內(nèi)容：集合與常用邏輯用語，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)。

第Ⅰ卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合，，則（）

A.B.C.D.

2.設(shè)命題，，則（）

A.命題p是真命題，：，

B.命題p是真命題，：，

C.命題p是假命題，：，

D.命題p是假命題，：，

3.函數(shù)的最小值是（）

A.B.C.D.

4.若，，，則（）

A.B.C.D.

5.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）

A.有2個(gè)極值點(diǎn)B.在處取得極小值

C.有極大值，沒有極小值D.在上單調(diào)遞減

6.已知甲的年齡大于乙的年齡，則“丙的年齡大于乙的年齡”是“乙和丙的年齡之和大于甲的年齡的兩倍”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

7.車?yán)遄邮且环N富含維生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到眾人的喜愛.根據(jù)車?yán)遄拥墓麖酱笮?，可將其從小到大依次分?個(gè)等級(jí)，其等級(jí)與其對(duì)應(yīng)等級(jí)的市場(chǎng)銷售單價(jià)y（單位：元/千克）近似滿足函數(shù)關(guān)系式.若花同樣的錢買到的1級(jí)果比5級(jí)果多3倍，且3級(jí)果的市場(chǎng)銷售單價(jià)為60元/千克，則6級(jí)果的市場(chǎng)銷售單價(jià)最接近（）（參考數(shù)據(jù)：，，，）（）

A.130元/千克B.160元/千克C.170元/千克D.180元/千克

8.已知函數(shù)，且，則（）

A.B.C.1D.4

9.已知命題p：，；命題q：若，則，.下列命題是真命題的是（）

A.B.C.D.

10.已知函數(shù)的定義域是，其導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集是（）

A.B.C.D.

11.已知，，則（）

A.B.

C.D.

12.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且.若，，，則下列不等式一定成立的是（）

A.B.

C.D.

第Ⅱ卷

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域是______.

14.某校有62名同學(xué)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，若同時(shí)參加數(shù)學(xué)、物理競(jìng)賽的同學(xué)有21名.同時(shí)參加數(shù)學(xué)、化學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)有16名，同時(shí)參加物理、化學(xué)競(jìng)賽的同學(xué)有18名.且沒有同學(xué)同時(shí)參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，則該校只參加一項(xiàng)競(jìng)賽的同學(xué)有______名.

15.若命題“，”是真命題，則a的取值范圍是______.

16.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，則______.

三、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）

已知集合，.

（1）當(dāng)時(shí)，求；

（2）若，求a的取值范圍.

18.（12分）

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.

（1）求的解析式；

（2）求不等式的解集.

19.（12分）

已知函數(shù).

（1）求的圖象在處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

20.（12分）

某企業(yè)計(jì)劃對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目共出資200萬元，且每個(gè)項(xiàng)目至少出資10萬元.依據(jù)前期市場(chǎng)調(diào)研可知，甲項(xiàng)目的收益（單位：萬元）與出資金額t（單位：萬元）滿足關(guān)系式；乙項(xiàng)目的收益（單位：萬元）與出資金額t（單位：萬元）滿足關(guān)系式.設(shè)對(duì)甲項(xiàng)目出資x萬元，兩個(gè)項(xiàng)目的總收益為（單位：萬元），且當(dāng)對(duì)甲項(xiàng)目出資30萬元時(shí)，甲項(xiàng)目的收益為180萬元，乙項(xiàng)目的收益為120萬元.

（1）求的解析式.

（2）試問如何安排甲、乙這兩個(gè)項(xiàng)目的出資金額，才能使總收益最大并求出的最大值.

21.（12分）

已知函數(shù).

（1）求的定義域；

（2）證明：在區(qū)間上存在最大值的充要條件是.

22（12分）

已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：.

陜西省2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考

數(shù)學(xué)參考答案（理科）

1.B由題意可得，則.

2.C因?yàn)?，所以命題p是假命題.：，.

3.D由題意可得.由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.

4.B，，，因?yàn)?，所?

5.C由圖可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有一個(gè)極大值，沒有極小值，故A，B，D錯(cuò)誤，C正確.

6.B設(shè)甲、乙、丙的年齡分別為x，y，z，根據(jù)已知條件得.若丙的年齡大于乙的年齡，則，則，因?yàn)椋晕幢爻闪?若乙和丙的年齡之和大于甲的年齡的兩倍，則，則，即，所以丙的年齡大于乙的年齡.故“丙的年齡大于乙的年齡”是“乙和丙的年齡之和大于甲的年齡的兩倍”的必要不充分條件.

7.C由題意可知，解得，由，可得（元/千克），最接近170元/千克.

8.A設(shè)，則，故是奇函數(shù)，從而，即，即.

9.B設(shè)，則.由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而在上的最小值為，故命題p是假命題.由，，得，則命題q是假命題，故是真命題.

10.D設(shè)，則.因?yàn)椋?，則是上的增函數(shù).不等式等價(jià)于，即，則解得.

11.C由題意可得，，則，且，即.因?yàn)?，所以，則A錯(cuò)誤.因?yàn)?，所以，即，則B錯(cuò)誤..因?yàn)?，所以，即，則C正確.因?yàn)?，所以，即，則D錯(cuò)誤.

12.B設(shè)函數(shù)，則，

所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋?，?/p>

則，即，

因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)榈姆?hào)不確定，所以未必成立.

因?yàn)椋?由，得，即.

13.由題意可得解得，即函數(shù)的定義域是.

14.7如圖，設(shè)該校只參加一項(xiàng)競(jìng)賽的同學(xué)有x名，則，解得.

15.由，得.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，則.因?yàn)椤?，”是真命題，所以.因?yàn)?，所?

16.2023令，則，.

17.解：由題意可得.……2分

（1）當(dāng)時(shí)，，……3分

則.……5分

（2）當(dāng)時(shí)，，解得.……7分

∴當(dāng)時(shí)，解得……9分

綜上，a的取值范圍是.……10分

18.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則.……1分

因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以.……3分

當(dāng)時(shí)，，……4分

故……5分

（2）當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，

即，解得；……8分

當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，即，

解得.……11分

故不等式的解集為.……12分

19.解：（1）由題意可得，……1分

則.……2分

因?yàn)?，…?分

所以所求切線方程為，即.……4分

（2）由題意可得.

由，得或，由，得，

則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.……5分

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，.……6分

當(dāng)，即時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；……7分

當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；……8分

當(dāng)即時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；……9分

當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；……10分

當(dāng)，即時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn).……11分

綜上，當(dāng)或時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn).……12分

20.解：（1）由題意可得，解得.……2分

當(dāng)對(duì)甲項(xiàng)目出資30萬元時(shí)，對(duì)乙項(xiàng)目出資170萬元，

則，解得.……4分

設(shè)對(duì)甲項(xiàng)目的出資金額為x萬元，則對(duì)乙項(xiàng)目的出資金額為萬元，

則解得.……5分

故.

……7分

（2）設(shè)，.……8分

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則.……10分

故，即對(duì)甲項(xiàng)目出資18萬元，對(duì)乙項(xiàng)目出資182萬元，

才能使總收益取得最大值453.6萬元.……12分

21.（1）解：由……1分

得，……2分

所以的定義域?yàn)?……3分

（2）證明：，……5分

因?yàn)?，所?……6分

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.……7分

先證明充分性.

若，則，……8分

所以在區(qū)間上存在最大值，且最大值為或，所以充分性成立.……9分

再證明必要性.

若在區(qū)間上存在最大值，則在區(qū)間上可能先增后減，還可能單調(diào)遞減，……10分

則或，又，所以，所以必要性成立.……11分

綜上，在區(qū)間上存在最大值的充要條件是.……12分

22.（1）解：由題意可得.……1分

當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，

則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；……3分

當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，

則在