函數(shù)模型的應用同步練習 高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

4.5.3函數(shù)模型的應用一、基礎鞏固1.[探究點一]某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x倍,需經(jīng)過y年,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是()2.[探究點三]有一組實驗數(shù)據(jù)如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01現(xiàn)準備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律,其中最接近的一個是()A.V=log2t B.V=log1C.V=t2-123.[探究點二](多選題)某工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場要求雜質(zhì)含量不得超過0.1%,而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2%,現(xiàn)進行過濾,已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少13,則使產(chǎn)品達到市場要求的過濾次數(shù)可以為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg3≈0.A.6 B.9C.8 D.74.[探究點三]某新款電視投放市場后第一個月銷售了100臺,第二個月銷售了200臺,第三個月銷售了400臺,第四個月銷售了790臺,第五個月銷售了1600臺,則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x(1≤x≤4,x∈N*)之間關(guān)系的是()A.y=100x B.y=50x2-50x+100C.y=50×2x D.y=100x5.[探究點一]已知某個病毒經(jīng)30min可繁殖為原來的2倍,且病毒的繁殖規(guī)律為y=ekt(其中k為常數(shù),t表示時間,單位:h,y表示病毒個數(shù)),則k=,經(jīng)過5h,1個病毒能繁殖個.6.[探究點二·2023山東濟南歷下期末]某健身機構(gòu)推出線上服務,健身教練進入直播間,線上具有獲客、運營、傳播等便利,線下具有器械、場景豐富等優(yōu)勢,線上線下相互賦能,成功吸引新會員、留住老會員.據(jù)機構(gòu)統(tǒng)計,當直播間吸引粉絲量不低于2萬人時,其線下銷售健身卡的利潤y(單位:萬元)隨粉絲量x(單位:萬人)的變化情況如下表所示.根據(jù)表中數(shù)據(jù),我們用函數(shù)模型y=loga(x+m)+b進行擬合,建立y關(guān)于x的函數(shù)解析式.請你按此模型估測,當直播間的粉絲量為33萬人時,線下銷售健身卡的利潤大約為萬元.x/萬人359y/萬元47107.[探究點一]物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述:設物體的初始溫度是T0,經(jīng)過一定時間t后的溫度是T,則T-Ta=(T0-Ta)·12th,其中Ta表示環(huán)境溫度,h稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡,放在24℃的房間中,如果咖啡降溫到40℃需要20min,那么降溫到35℃時,需要多少時間?(參考數(shù)據(jù):lg11≈1.04,lg2≈二、能力提升8.某化工原料廠原來月產(chǎn)量為100噸,月份增產(chǎn)20%,二月份比一月份減產(chǎn)10%,則二月份產(chǎn)量為()A.106噸 B.108噸C.110噸 D.112噸9.已知比較適合生活的安靜環(huán)境的聲強級L(噪音級)為30~40分貝(符號:dB),聲強I(單位:W/m2)與聲強級L(單位:dB)的函數(shù)關(guān)系式為I=b·10aL(a,b為常數(shù)).某型號高鐵行駛在無村莊區(qū)域的聲強為10-5.2W/m2,聲強級為68dB,駛進市區(qū)附近降低速度后的聲強為10-6.5W/m2,聲強級為55dB,若要使該高鐵駛?cè)胧袇^(qū)時的聲強級達到安靜環(huán)境要求,則聲強的最大值為()A.10-9W/m2 B.10-8W/m2C.10-7W/m2 D.10-6W/m210.(多選題)[2023山東濟南歷下期末]中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學的“對稱美”,如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案,俗稱陰陽魚,太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化、相對統(tǒng)一的和諧美.定義:圓O的圓心在原點,若函數(shù)的圖象將圓O的周長和面積同時等分成兩部分,則這個函數(shù)稱為圓O的一個“太極函數(shù)”,則下列說法正確的是()A.對于圓O,其“太極函數(shù)”有且只有1個B.函數(shù)f(x)=x2-x(C.函數(shù)f(x)=x3-3x不是圓O的“太極函數(shù)”D.函數(shù)f(x)=ln(x2+1+x)是圓O的一個“11.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下,測得空氣中一氧化碳的含量達到了危險狀態(tài),經(jīng)搶修后恢復正常.排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)一氧化碳濃度為64ppm(ppm為濃度單位,1ppm表示百萬分之一),經(jīng)檢驗知,該地下車庫一氧化碳濃度y(單位:ppm)與排氣時間t(單位:分鐘)之間存在函數(shù)關(guān)系y=27-mt(m為常數(shù)),則m=;若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常,那么至少需要排氣分鐘才能使這個地下車庫中一氧化碳含量達到正常狀態(tài).

12.某地區(qū)發(fā)生里氏8.0級特大地震.地震專家對發(fā)生的余震進行了監(jiān)測,記錄的部分數(shù)據(jù)如下表:強度/J1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級/里氏5.05.25.35.4注:地震強度是指地震時釋放的能量.地震強度x和震級y的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y=algx+b(其中a,b為常數(shù)).利用散點圖可知a的值等于.(取lg2≈0.3進行計算)13.如圖是某受污染的湖泊在自然凈化過程中,某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時間t(單位:月)的近似函數(shù)關(guān)系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下敘述:①第4個月時,剩留量會低于15;②每月減少的有害物質(zhì)量都相等;③若剩留量為12,14,18所經(jīng)過的時間分別是t1,t2,t其中所有正確的敘述是.(填序號)14.為了給廣大市民提供優(yōu)質(zhì)的飲用水,某礦泉水廠特別重視生產(chǎn)過程的除雜質(zhì)工序,過濾前水含有雜質(zhì)a%(其中a為常數(shù)),每經(jīng)過一次過濾均可使水的雜質(zhì)含量減少23,設水過濾前的量為1,過濾次數(shù)為x(x∈N*)時,水的雜質(zhì)含量為y(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)假設出廠礦泉水的雜質(zhì)含量不能超過0.002a%,問至少經(jīng)過幾次過濾才能使礦泉水達到要求?(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg3≈0.477)15.某地區(qū)為響應上級號召,在2022年初,新建了一批有200萬平方米的廉價住房,供困難的城市居民居住.由于下半年受物價的影響,根據(jù)本地區(qū)的實際情況,估計今后住房面積的年平均增長率只能達到5%.(1)設經(jīng)過x年后,該地區(qū)的廉價住房面積為y萬平方米,求y=f(x)的表達式,并求此函數(shù)的定義域.(2)作出函數(shù)y=f(x)的圖象,并結(jié)合圖象求:經(jīng)過多少年后,該地區(qū)的廉價住房面積能達到300萬平方米?參考答案1.D解析設該林區(qū)的森林原有蓄積量為a,由題意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以函數(shù)y=f(x)的圖象大致為D中圖象.2.C解析當t=4時,選項A中的V=log24=2,選項B中的V=log1選項C中的V=42-1選項D中的V=2×4-2=6,故選C.3.BC解析設經(jīng)過n次過濾,產(chǎn)品達到市場要求,則2100即23n≤120,由nlg23≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥4.C解析將題目中的數(shù)據(jù)代入各函數(shù)中,易知指數(shù)型函數(shù)能較好地與題中的數(shù)據(jù)相對應.5.2ln21024解析當t=0.5時,y=2,∴2=e12k,∴k=2ln2,∴當t=5時,y=e10ln2=210=1024.6.163解析由題意得y=loga(x+m)+b經(jīng)過3,43,5,則將3,43,5,73,得loga∴函數(shù)模型為y=log2(x-1)+13∴當x=33時,y=163故當直播間的粉絲量為33萬人時,線下銷售健身卡的利潤大約為163萬元7.解由題意知40-24=(88-24)·1220h,即14故T-24=(88-24)·12當T=35時,代入上式,得35-24=(88-24)·12t10兩邊取對數(shù),求得t≈25.因此,降溫到35℃約需要25min.8.B解析因為化工原料廠原來月產(chǎn)量為100噸,月份增產(chǎn)20%,所以一月份的產(chǎn)量為100×(1+20%)=120(噸).又因為二月份比一月份減產(chǎn)10%,所以二月份的產(chǎn)量為120×(1-10%)=108(噸).故選B.9.B解析由題意可知10-5.2所以I=10-12×100.1L=100.1L-12,所以當L取最大值40時,I取得最大值100.1×40-12=10-8(W/m2),故選B.10.BD解析對于選項A,圓O的“太極函數(shù)”不止一個,故選項A錯誤;對于選項B,由于函數(shù)f(x)=x2-x當x<0時,f(-x)=x2+x=-f(x),故f(x)=x2所以根據(jù)對稱性可知函數(shù)f(x)=x2-x(x≥0故選項B正確;對于選項C,函數(shù)f(x)=x3-3x的定義域為R,f(-x)=-x3+3x=-f(x),f(x)=x3-3x也是奇函數(shù),故函數(shù)f(x)=x3-3x是圓O的“太極函數(shù)”,故選項C錯誤;對于選項D,函數(shù)f(x)=ln(x2+1+x)的定義域為f(-x)=ln(x2+1-x)=ln1xf(x)=ln(x2故函數(shù)f(x)=ln(x2+1+x)是圓O的“太極函數(shù)”,故選項D正確.11.1432解析∵函數(shù)y=27-mt∴64=27-4m,解得m=14.故y=2由27-故至少排氣32分鐘,這個地下車庫中的一氧化碳含量才能達到正常狀態(tài).12.23解析由記錄的部分數(shù)據(jù)可知x=1.6×1019時,y=5.0,x=3.2×1019時,y=5.2所以5②-①,得0.2=alg3.2×1所以a=0.13.①③解析由圖象可得,當t=2時,y=49,即a2=4解得a=23.故y=2所以當t=4時,有害物質(zhì)的剩余量為y=234=第一個月的減少量為1-23第二個月的減少量為23?2③由已知23所以23t1所以t1+t2=t3,故③正確.14.解(1)因為每經(jīng)過一次過濾均可使水的雜質(zhì)含量減少23所以每次過濾后所含的雜質(zhì)是前一次的13,故y=a%×13x,x∈(2)設至少經(jīng)過x次過濾才能使礦泉水達到要求,則a%×13x≤0.002a%,所以所以lg13x≤lg21000,即xlg所以x≥3-lg2lg3≈3-0.301故至少經(jīng)過6次過濾才能使礦泉水達到要求.15.解(1)經(jīng)過1年后,廉價住房面積為200+200×5%=200(1+5%);經(jīng)過2年后