函數(shù)模型的應(yīng)用同步練習(xí) 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用一、基礎(chǔ)鞏固1.[探究點(diǎn)一]某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%,要增長到原來的x倍,需經(jīng)過y年,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是()2.[探究點(diǎn)三]有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:t1.993.004.005.106.12V1.54.047.51218.01現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是()A.V=log2t B.V=log1C.V=t2-123.[探究點(diǎn)二](多選題)某工廠生產(chǎn)一種溶液,按市場要求雜質(zhì)含量不得超過0.1%,而這種溶液最初的雜質(zhì)含量為2%,現(xiàn)進(jìn)行過濾,已知每過濾一次雜質(zhì)含量減少13,則使產(chǎn)品達(dá)到市場要求的過濾次數(shù)可以為(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg3≈0.A.6 B.9C.8 D.74.[探究點(diǎn)三]某新款電視投放市場后第一個(gè)月銷售了100臺,第二個(gè)月銷售了200臺,第三個(gè)月銷售了400臺,第四個(gè)月銷售了790臺,第五個(gè)月銷售了1600臺,則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x(1≤x≤4,x∈N*)之間關(guān)系的是()A.y=100x B.y=50x2-50x+100C.y=50×2x D.y=100x5.[探究點(diǎn)一]已知某個(gè)病毒經(jīng)30min可繁殖為原來的2倍,且病毒的繁殖規(guī)律為y=ekt(其中k為常數(shù),t表示時(shí)間,單位:h,y表示病毒個(gè)數(shù)),則k=,經(jīng)過5h,1個(gè)病毒能繁殖個(gè).6.[探究點(diǎn)二·2023山東濟(jì)南歷下期末]某健身機(jī)構(gòu)推出線上服務(wù),健身教練進(jìn)入直播間,線上具有獲客、運(yùn)營、傳播等便利,線下具有器械、場景豐富等優(yōu)勢,線上線下相互賦能,成功吸引新會員、留住老會員.據(jù)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì),當(dāng)直播間吸引粉絲量不低于2萬人時(shí),其線下銷售健身卡的利潤y(單位:萬元)隨粉絲量x(單位:萬人)的變化情況如下表所示.根據(jù)表中數(shù)據(jù),我們用函數(shù)模型y=loga(x+m)+b進(jìn)行擬合,建立y關(guān)于x的函數(shù)解析式.請你按此模型估測,當(dāng)直播間的粉絲量為33萬人時(shí),線下銷售健身卡的利潤大約為萬元.x/萬人359y/萬元47107.[探究點(diǎn)一]物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來描述:設(shè)物體的初始溫度是T0,經(jīng)過一定時(shí)間t后的溫度是T,則T-Ta=(T0-Ta)·12th,其中Ta表示環(huán)境溫度,h稱為半衰期.現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡,放在24℃的房間中,如果咖啡降溫到40℃需要20min,那么降溫到35℃時(shí),需要多少時(shí)間?(參考數(shù)據(jù):lg11≈1.04,lg2≈二、能力提升8.某化工原料廠原來月產(chǎn)量為100噸,月份增產(chǎn)20%,二月份比一月份減產(chǎn)10%,則二月份產(chǎn)量為()A.106噸 B.108噸C.110噸 D.112噸9.已知比較適合生活的安靜環(huán)境的聲強(qiáng)級L(噪音級)為30~40分貝(符號:dB),聲強(qiáng)I(單位:W/m2)與聲強(qiáng)級L(單位:dB)的函數(shù)關(guān)系式為I=b·10aL(a,b為常數(shù)).某型號高鐵行駛在無村莊區(qū)域的聲強(qiáng)為10-5.2W/m2,聲強(qiáng)級為68dB,駛進(jìn)市區(qū)附近降低速度后的聲強(qiáng)為10-6.5W/m2,聲強(qiáng)級為55dB,若要使該高鐵駛?cè)胧袇^(qū)時(shí)的聲強(qiáng)級達(dá)到安靜環(huán)境要求,則聲強(qiáng)的最大值為()A.10-9W/m2 B.10-8W/m2C.10-7W/m2 D.10-6W/m210.(多選題)[2023山東濟(jì)南歷下期末]中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”,如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案,俗稱陰陽魚,太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化、相對統(tǒng)一的和諧美.定義:圓O的圓心在原點(diǎn),若函數(shù)的圖象將圓O的周長和面積同時(shí)等分成兩部分,則這個(gè)函數(shù)稱為圓O的一個(gè)“太極函數(shù)”,則下列說法正確的是()A.對于圓O,其“太極函數(shù)”有且只有1個(gè)B.函數(shù)f(x)=x2-x(C.函數(shù)f(x)=x3-3x不是圓O的“太極函數(shù)”D.函數(shù)f(x)=ln(x2+1+x)是圓O的一個(gè)“11.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的情況下,測得空氣中一氧化碳的含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài),經(jīng)搶修后恢復(fù)正常.排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)一氧化碳濃度為64ppm(ppm為濃度單位,1ppm表示百萬分之一),經(jīng)檢驗(yàn)知,該地下車庫一氧化碳濃度y(單位:ppm)與排氣時(shí)間t(單位:分鐘)之間存在函數(shù)關(guān)系y=27-mt(m為常數(shù)),則m=;若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常,那么至少需要排氣分鐘才能使這個(gè)地下車庫中一氧化碳含量達(dá)到正常狀態(tài).

12.某地區(qū)發(fā)生里氏8.0級特大地震.地震專家對發(fā)生的余震進(jìn)行了監(jiān)測,記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:強(qiáng)度/J1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級/里氏5.05.25.35.4注:地震強(qiáng)度是指地震時(shí)釋放的能量.地震強(qiáng)度x和震級y的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y=algx+b(其中a,b為常數(shù)).利用散點(diǎn)圖可知a的值等于.(取lg2≈0.3進(jìn)行計(jì)算)13.如圖是某受污染的湖泊在自然凈化過程中,某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時(shí)間t(單位:月)的近似函數(shù)關(guān)系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1).有以下敘述:①第4個(gè)月時(shí),剩留量會低于15;②每月減少的有害物質(zhì)量都相等;③若剩留量為12,14,18所經(jīng)過的時(shí)間分別是t1,t2,t其中所有正確的敘述是.(填序號)14.為了給廣大市民提供優(yōu)質(zhì)的飲用水,某礦泉水廠特別重視生產(chǎn)過程的除雜質(zhì)工序,過濾前水含有雜質(zhì)a%(其中a為常數(shù)),每經(jīng)過一次過濾均可使水的雜質(zhì)含量減少23,設(shè)水過濾前的量為1,過濾次數(shù)為x(x∈N*)時(shí),水的雜質(zhì)含量為y(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)假設(shè)出廠礦泉水的雜質(zhì)含量不能超過0.002a%,問至少經(jīng)過幾次過濾才能使礦泉水達(dá)到要求?(參考數(shù)據(jù):lg2≈0.301,lg3≈0.477)15.某地區(qū)為響應(yīng)上級號召,在2022年初,新建了一批有200萬平方米的廉價(jià)住房,供困難的城市居民居住.由于下半年受物價(jià)的影響,根據(jù)本地區(qū)的實(shí)際情況,估計(jì)今后住房面積的年平均增長率只能達(dá)到5%.(1)設(shè)經(jīng)過x年后,該地區(qū)的廉價(jià)住房面積為y萬平方米,求y=f(x)的表達(dá)式,并求此函數(shù)的定義域.(2)作出函數(shù)y=f(x)的圖象,并結(jié)合圖象求:經(jīng)過多少年后,該地區(qū)的廉價(jià)住房面積能達(dá)到300萬平方米?參考答案1.D解析設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a,由題意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以函數(shù)y=f(x)的圖象大致為D中圖象.2.C解析當(dāng)t=4時(shí),選項(xiàng)A中的V=log24=2,選項(xiàng)B中的V=log1選項(xiàng)C中的V=42-1選項(xiàng)D中的V=2×4-2=6,故選C.3.BC解析設(shè)經(jīng)過n次過濾,產(chǎn)品達(dá)到市場要求,則2100即23n≤120,由nlg23≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得n≥4.C解析將題目中的數(shù)據(jù)代入各函數(shù)中,易知指數(shù)型函數(shù)能較好地與題中的數(shù)據(jù)相對應(yīng).5.2ln21024解析當(dāng)t=0.5時(shí),y=2,∴2=e12k,∴k=2ln2,∴當(dāng)t=5時(shí),y=e10ln2=210=1024.6.163解析由題意得y=loga(x+m)+b經(jīng)過3,43,5,則將3,43,5,73,得loga∴函數(shù)模型為y=log2(x-1)+13∴當(dāng)x=33時(shí),y=163故當(dāng)直播間的粉絲量為33萬人時(shí),線下銷售健身卡的利潤大約為163萬元7.解由題意知40-24=(88-24)·1220h,即14故T-24=(88-24)·12當(dāng)T=35時(shí),代入上式,得35-24=(88-24)·12t10兩邊取對數(shù),求得t≈25.因此,降溫到35℃約需要25min.8.B解析因?yàn)榛ぴ蠌S原來月產(chǎn)量為100噸,月份增產(chǎn)20%,所以一月份的產(chǎn)量為100×(1+20%)=120(噸).又因?yàn)槎路荼纫辉路轀p產(chǎn)10%,所以二月份的產(chǎn)量為120×(1-10%)=108(噸).故選B.9.B解析由題意可知10-5.2所以I=10-12×100.1L=100.1L-12,所以當(dāng)L取最大值40時(shí),I取得最大值100.1×40-12=10-8(W/m2),故選B.10.BD解析對于選項(xiàng)A,圓O的“太極函數(shù)”不止一個(gè),故選項(xiàng)A錯誤;對于選項(xiàng)B,由于函數(shù)f(x)=x2-x當(dāng)x<0時(shí),f(-x)=x2+x=-f(x),故f(x)=x2所以根據(jù)對稱性可知函數(shù)f(x)=x2-x(x≥0故選項(xiàng)B正確;對于選項(xiàng)C,函數(shù)f(x)=x3-3x的定義域?yàn)镽,f(-x)=-x3+3x=-f(x),f(x)=x3-3x也是奇函數(shù),故函數(shù)f(x)=x3-3x是圓O的“太極函數(shù)”,故選項(xiàng)C錯誤;對于選項(xiàng)D,函數(shù)f(x)=ln(x2+1+x)的定義域?yàn)閒(-x)=ln(x2+1-x)=ln1xf(x)=ln(x2故函數(shù)f(x)=ln(x2+1+x)是圓O的“太極函數(shù)”,故選項(xiàng)D正確.11.1432解析∵函數(shù)y=27-mt∴64=27-4m,解得m=14.故y=2由27-故至少排氣32分鐘,這個(gè)地下車庫中的一氧化碳含量才能達(dá)到正常狀態(tài).12.23解析由記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)可知x=1.6×1019時(shí),y=5.0,x=3.2×1019時(shí),y=5.2所以5②-①,得0.2=alg3.2×1所以a=0.13.①③解析由圖象可得,當(dāng)t=2時(shí),y=49,即a2=4解得a=23.故y=2所以當(dāng)t=4時(shí),有害物質(zhì)的剩余量為y=234=第一個(gè)月的減少量為1-23第二個(gè)月的減少量為23?2③由已知23所以23t1所以t1+t2=t3,故③正確.14.解(1)因?yàn)槊拷?jīng)過一次過濾均可使水的雜質(zhì)含量減少23所以每次過濾后所含的雜質(zhì)是前一次的13,故y=a%×13x,x∈(2)設(shè)至少經(jīng)過x次過濾才能使礦泉水達(dá)到要求,則a%×13x≤0.002a%,所以所以lg13x≤lg21000,即xlg所以x≥3-lg2lg3≈3-0.301故至少經(jīng)過6次過濾才能使礦泉水達(dá)到要求.15.解(1)經(jīng)過1年后,廉價(jià)住房面積為200+200×5%=200(1+5%);經(jīng)過2年后