第17講 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)

程橋高級中學2013屆高三數(shù)學復習學案PAGEPAGE4第17講任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)一、復習目標：1、理解任意角的概念；理解終邊相同的角的意義；了解弧度的意義，并能進行弧度與角度的互化。2、理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義；初步了解有向線段的概念，會利用單位圓中的三角函數(shù)線表示任意角的正弦、余弦、正切。二、基礎梳理：1、任意角(1)角的概念的推廣①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為、、.②按終邊位置不同分為和.(2)終邊相同的角 終邊與角α相同的角可寫成．(3)弧度制 ①1弧度的角：把的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為，負角的弧度數(shù)為，零角的弧度數(shù)為，|α|＝eq\f(l,r)，l是，r為．③叫做弧度制，比值與所取的的大小無關，僅與的大小有關．④弧度與角度的換算：360°＝弧度；180°＝弧度．⑤弧長公式：，扇形面積公式：.2、任意角的三角函數(shù)定義設α是一個任意角，角α的終邊上任意一點P(x，y)，它與原點的距離為r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分別是：sinα＝，cosα＝，tanα＝，它們都是以為自變量，以為函數(shù)值的函數(shù)．3、三角函數(shù)線設角α的頂點在坐標原點，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交于點P，過P作PM垂直于x軸于M.由三角函數(shù)的定義知，點P的坐標為，其中cosα＝，sinα＝，單位圓與x軸的正半軸交于點A，單位圓在A點的切線與α的終邊或其反向延長線相交于點T，則tanα＝.我們把有向線段OM、MP、AT叫做α的.三角函數(shù)線有向線段為正弦線有向線段為余弦線有向線段為正切線4、一條規(guī)律三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律概括為：一全正、二正弦、三正切、四余弦．終邊落在x軸上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；終邊落在y軸上的角的集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β))＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))；終邊落在坐標軸上的角的集合可以表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(β＝\f(kπ,2)，k∈Z)))).5、兩個技巧(1)在利用三角函數(shù)定義時，點P可取終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點，|OP|＝r一定是正值．(2)在解簡單的三角不等式時，利用單位圓及三角函數(shù)線是一個小技巧．6、三個注意(1)注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角．(2)角度制與弧度制可利用180°＝πrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．(3)注意熟記0°～360°間特殊角的弧度表示，以方便解題．三、雙基自測：1、與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的集合是.2、若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，則α是象限角．3、若sinα＜0且tanα＞0，則α是象限角．4、已知角α的終邊過點(－1,2)，則cosα的值為．5、已知角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸非負半軸，若P(4，y)是角θ終邊上一點，且sinθ＝－eq\f(2\r(5),5)，則y＝________.四、考點探究：考點一、角的集合表示及象限角的判定例1、(1)寫出終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合；(2)若角θ的終邊與eq\f(6π,7)角的終邊相同，求在[0,2π)內(nèi)終邊與eq\f(θ,3)角的終邊相同的角；(3)已知角α是第二象限角，試確定2α、eq\f(α,2)所在的象限．方法總結(jié)：練習1、角α與角β的終邊互為反向延長線，則．考點二、三角函數(shù)的定義例2、已知角θ的終邊經(jīng)過點P(－eq\r(3)，m)(m≠0)且sinθ＝eq\f(\r(2),4)m，試判斷角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．方法總結(jié)：練習2、已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝．考點三、弧度制的應用例3、已知半徑為10的圓O中，弦AB的長為10.(1)求弦AB所對的圓心角α的大??；(2)求α所在的扇形的弧長l及弧所在的弓形的面積S.方法總結(jié)：練習3、已知扇形周長為40，當它的半徑和圓心角取何值時，才使扇形面積最大？考點四、三角函數(shù)線及其應用例4、在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍．并由此寫出角α的集合：(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).方法總結(jié)：練習4、求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝eq\r(2cosx－1)；(2)y＝lg(3－4sin2x)．規(guī)范解答7——如何利用三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)值示