四種命題的關(guān)系

1.1.3四種命題的相互關(guān)系高二數(shù)學(xué)選修2-1

第一章常用邏輯用語(yǔ)10/22/2023回顧交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是________同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是________交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題是__________逆命題。否命題。逆否命題。10/22/2023原命題,逆命題,否命題,逆否命題四種命題形式:原命題:逆命題:否命題:逆否命題:若p,則q若q,則p若┐p,則┐q若┐q,則┐p10/22/2023觀察與思考？你能說出其中任意兩個(gè)命題之間的關(guān)系嗎?10/22/20232）原命題：若a=0,則ab=0。逆命題：若ab=0,則a=0。否命題：若a≠0,則ab≠0。逆否命題：若ab≠0,則a≠0。(真)(假)(假)(真)(真)2.四種命題的真假看下面的例子：1）原命題：若x=2或x=3,則x2-5x+6=0。逆命題：若x2-5x+6=0,則x=2或x=3。否命題：若x≠2且x≠3,則x2-5x+6≠0。逆否命題：若x2-5x+6≠0，則x≠2且x≠3。(真)(真)(真)3）原命題：若x∈A∪B，則x∈UA∪UB。逆命題：x∈UA∪UB，x∈A∪B。否命題：x

A∪B，x

UA∪UB。逆否命題：x

UA∪UB，x

A∪B。Help假假假假10/22/2023四種命題的真假,有且只有下面四種情況:原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假10/22/2023想一想？（2）若其逆命題為真，則其否命題一定為真。但其原命題、逆否命題不一定為真。由以上三例及總結(jié)我們能發(fā)現(xiàn)什么？即

原命題與逆否命題同真假。原命題的逆命題與否命題同真假。（1）原命題為真，則其逆否命題一定為真。但其逆命題、否命題不一定為真。(兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系).幾條結(jié)論:10/22/20231.判斷下列說法是否正確。1）一個(gè)命題的逆命題為真，它的逆否命題不一定為真；（對(duì)）2）一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真。（對(duì)）2.四種命題真假的個(gè)數(shù)可能為（）個(gè)。答：0個(gè)、2個(gè)、4個(gè)。如：原命題：若A∪B=A,則A∩B=φ。逆命題：若A∩B=φ，則A∪B=A。否命題：若A∪B≠A，則A∩B≠φ。逆否命題：若A∩B≠φ，則A∪B≠A。（假）（假）（假）（假）3）一個(gè)命題的原命題為假，它的逆命題一定為假。（錯(cuò)）4）一個(gè)命題的逆否命題為假，它的否命題為假。（錯(cuò)）練一練10/22/2023練習(xí)：分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假。（1）若q<1,則方程有實(shí)根。（2）若ab=0,則a=0或b=0.（3）若或，則。（4）若，則x,y全為零。10/22/2023課堂小結(jié)原命題若p則q逆命題若q則p否命題若﹁p則﹁q逆否命題若﹁q則﹁p互為逆否同真同假互為逆否同真同假互逆命題真假無關(guān)互逆命題真假無關(guān)互否命題真假無關(guān)互否命題真假無關(guān)10/22/2023反證法：要證明某一結(jié)論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面（非A）是錯(cuò)誤的，從而斷定A是正確的。即反證法就是通過否定命題的結(jié)論而導(dǎo)出矛盾來達(dá)到肯定命題的結(jié)論，完成命題的論證的一種數(shù)學(xué)證明方法。10/22/2023反證法的步驟：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過推理論證，得出矛盾。由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確。推理過程中一定要用到才行顯而易見的矛盾(如和已知條件矛盾).10/22/2023例證明：若p2＋q2＝2，則p＋q≤2.將“若p2＋q2＝2，則p＋q≤2”看成原命題。由于原命題和它的逆否命題具有相同的真假性，要證原命題為真命題，可以證明它的逆否命題為真命題。即證明為真命題10/22/2023假設(shè)原命題結(jié)論的反面成立看能否推出原命題條件的反面成立嘗試成功得證例證明：若p2＋q2＝2，則p＋q≤2.10/22/2023變式練習(xí)1、已知。求證：這說明，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為真命題。解：假設(shè)p+q>2,那么q>2-p,根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，得即所以因此10/22/2023可能出現(xiàn)矛盾四種情況：與題設(shè)矛盾；與反設(shè)矛盾；與公理、定理矛盾；在證明過程中，推出自相矛盾的結(jié)論。10/22/2023這些條件都與已知矛盾所以原命題成立證明:假設(shè)不大于則或因?yàn)樗岳梅醋C法證明：如果a>b>0，那么.

10/22/2023練圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。

已知：如圖，在⊙O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直徑.求證：弦AB、CD不被P平分.證明：假設(shè)弦AB、CD被P平分，∵P點(diǎn)一定不是圓心O，連接OP，根據(jù)垂徑定理的推論，有OP⊥AB,OP⊥CD即過點(diǎn)P有兩條直線與OP都垂直，這與垂線性質(zhì)矛盾，∴弦AB、CD不被P平分。10/22/2023若a2能被2整除，a是整數(shù)，

求證：a也能被2整除.證：假設(shè)a不能被2整除，則a