第6章 電路的暫態(tài)分析

6.1一階電路與初始條件的分析

一階電路

初始值可以用一階微分方程描述的電路。換路之后的瞬間各響應的值。

動態(tài)電路方程KVL：VAR：

可見：描述線性動態(tài)電路的方程為線性常微分方程。

微分方程的階次稱為電路的階次。

一階電路

指用一階微分方程描述的電路。Us+_RCuC(t)+_uR(t)+_i(t)

換路

指電路中開關的突然接通或斷開，元件參數的變化，激勵形式的改變等。

換路后一瞬間:0+

換路前一瞬間:0-

換路前一瞬間:

換路后一瞬間:

換路時刻:通常取換路時刻:

換路定則在常態(tài)電路中uC(t)、iL(t)不發(fā)生躍變,則:注:常態(tài)電路指電路中不含有由理想電壓源與電容元件所構成的回路，或不含有由理想電流源與電感元件匯集而成的節(jié)點。注：表達式中的不等號是指可以不相等，由換路前后的電路結構確定。

特別注意Us+_RCuC(t)+_uR(t)+_i(t)S

(t=0)..為確定待定積分常數，必須知道：動態(tài)電路分析中的一個重要步驟—求物理量的初始值。

一階電路

初始值的計算

C—斷路，L—短路

1.求

給定

時:原電路未進入穩(wěn)態(tài)：

時:原電路為直流穩(wěn)態(tài)：

C—電壓源，L—電流源

換路前后電壓（電流）不變的為電壓（電流）源：

C—短路，L—斷路

3.利用電阻電路的計算方法求初始值

若

,則:

2.畫

時的等效電路

初始值的計算

例：已知：t<0時，原電路已穩(wěn)定，t=0時，打開開關S。

求：uR1(0+),uL(0+),iR2(0+),iC(0+)。..10V10Ω10Ω15ΩCL.S

(t=0)uR1uLiR2uCiCiL+_++__

解：1.

求uC(0－),iL(0－)

10V10Ω10Ω15Ω.uC

(0－)iL

(0－)..+_t=0－時：

2.

畫t=0＋時的等效電路

0.25A10V10Ω10Ω15Ω.uR1(0＋)uL(0＋)iR2(0＋)iC(0＋)+_++__7.5V..

3.

t=0＋時:

例：已知：t<0時，原電路已穩(wěn)定，t=0時，打開開關S。

求：i1(0+),i(0+)。4A..4Ω14Ω7ΩS

(t=0)10i1uC(t)i1(t)C+_+_i(t)

解：1.

求uC(0－)4A4Ω14Ω7Ω10i1(0－)uC(0－)i1(0－)+_+_i(0－)..t=0－時：

解：2.畫t=0＋時的等效電路，求i1(0+)、i(0+)。t=0＋時：4A4Ω7Ω10i1(0+)i1(0+)+_+_i(0+)28V小結：一階電路的概念初始值的求解6.2一階電路的零輸入響應及RC電路的放電過程

零輸入響應：輸入為零，初始狀態(tài)不為零所引起的電路響應。

零狀態(tài)響應：初始狀態(tài)為零，輸入不為零所引起的電路響應

。

完全響應：輸入與初始狀態(tài)均不為零所引起的電路響應。..UsRuR(t)CuC(t)ab.S

(t=0)iC(t)+_+_

已知：t=0－時，電容已充電至U0，t=0時，S由a合向b。求：時的uC(t),uR(t),iC(t)。

RC

電路的放電過程t=0－時：

1.定性分析

UsuR(0－)iC(0－)+_+_uC(0－)t=0+時：uR(0+)iC(0+)+_+_uC(0+)

2.定量分析

uR(t)iC(t)+_+_uC(t)時：令t=0+:0uC,

uR,

iCtU0.....Us-U0(Us-U0)/R-U0/R-U0uC(t)uR(t)iC(t)

時間常數

R：由動態(tài)元件看進去的戴維南等效電阻：6Ω0.5F4Ω12Ω解：例：求電路時間常數τ。

τ的物理意義：由uC(t0)衰減到36.8％uC(t0)所需時間。..0uCtU0.uC(t0)t0

時間常數

τ的幾何意義：

由[t0,uC(t0)]點作uC(t)的切線所得的次切距。0uC(t)tU0...uC(t0)t0

時間常數時,電路進入新的穩(wěn)態(tài)：

可見:時間常數反映了物理量的變化快慢,τ越小，物理量變化越快，反之變化越慢。u1,

u20t4V.u1u2則uR(t)iC(t)+_+_uC(t)C

RC

電路的零輸入響應小結：RC電路的放電過程時間常數的含義6.3RL電路的放磁過程

已知：t=0－時，iL(0－)=I0,求：時的iL(t),uL(t)。

RL電路的放磁過程..UsRuR(t)uL(t)ab.S

(t=0)iL(t)+_+_LRC串聯(lián)：RL并聯(lián)：_RuR(t)uL(t)iL(t)++_L根據KVL及VAR建立電路方程：即：對偶關系：RC串聯(lián)：RL并聯(lián)：

綜上所述,一階電路的零輸入響應變化模式相同，即：故求一階電路的零輸入響應時，確定出f(0+)和τ以后，就可以唯一地確定響應表達式。一階電路的零輸入響應是線性響應。

例：已知t<0時，原電路已穩(wěn)定，t=0時，S由a合向b。

求：時的uC(t),i(t)。..uC(t)ab.S

(t=0)i(t)+_2Ω4Ω6Ω2Ω16V+_8Ω

解：1.

求uC(0+),i(0+)

t=0－時：+_8Ω6Ω2Ω16V+_..uC(0－)2Ω1.

求uC(0+),i(0+)

t=0+時：8Ω6Ω2Ω6V+_4Ωi(0+)2.

求τ

8Ω6Ω2Ω..Req4Ω0uC,

it6V.iuC.小結：RC電路的放電過程RL電路的放磁過程對偶6.4RC電路的充電過程及時間常數

已知uC(0)=0，求：時的uC(t),uR(t),iC(t)。

RC

電路的充電過程_UsRuR(t)CuC(t)S

(t=0)iC(t)++_..

1.定性分析

t=0+時：uR(0+)iC(0+)+_Us時：UsuR(t)iC(t)+_+_uC(t)C

2.定量分析

時：

uCp(t)：非齊次微分方程任一特解。

uCh(t)：所對應齊次微分方程的通解。

uCp(t)—強制響應，與輸入具有相同形式。

uCh(t)—固有響應，與電路結構有關。令t=0+:uC(t)iC(t)0uC,

uR,

iCt..UsUs/RuR(t)

時間常數uC(t)0tUs.uC(t0)t0

τ的物理意義：

由uC(t0)上升了uC(∞)與uC(t0)差值的63.2％所需時間。0uC(t)tUs...uC(t0)t0

時間常數0uC(t)tUs...uC(t0)t0

時,電路進入新的穩(wěn)態(tài)。

τ的幾何意義：由[t0,uC(t0)]點作uC(t)的切線與Us所得的次切距。

例：已知t<0時，原電路已穩(wěn)定，t=0時合上S。

求：時的uC(t),u0(t)。..S

(t=0)1V1F2Ω1ΩuC(t)u0(t)+_+_

分析：RC電路的零狀態(tài)響應中其余物理量可通過uC(t)確定。

解：已知uC(0)=01.求uC(∞)1V2Ω1ΩuC(∞)+_..時：2.求τ2Ω1ΩReq..0uC,

u0t1V...uC(t)u0(t)小結：RC電路的充電過程時間常數的含義6.5RL電路的充磁過程

已知：iL(0)=0,求：時的iL(t)。

RL電路的充磁過程UsRuR(t)uL(t)S

(t=0)iL(t)+_+_L..IsGiL(t)L

利用對偶關系：RL充磁過程：RC充電過程：uC(t)、iL(t)的零狀態(tài)響應為：一階電路的零狀態(tài)響應是線性響應。

例：已知t<0時，原電路已穩(wěn)定，t=0時合上S。

求：時的iL(t),i0(t)。..5Ω1Ω1.2Ω4Ω10H18VS

(t=0)iL(t)i0(t)

解：已知iL(0)=01.求iL(∞)時：5Ω1Ω1.2Ω4Ω18ViL(∞)2.求τ5Ω1Ω1.2Ω4Ω..Req=5ΩiL(t)i0(t)0iL,

i0t3A...2A1A2.5A.小結：RC充電電路的零狀態(tài)響應RL充磁電路的零狀態(tài)響應對偶6.6一階電路的完全響應

已知uC(0)=U0，t=0時合上S。求：時的uC(t)。UsRCuC(t)S

(t=0)+_..令t=0+:

解：Us:穩(wěn)態(tài)響應，:

暫態(tài)響應

完全響應=穩(wěn)態(tài)響應＋暫態(tài)響應

Us>U00uCtUs..U0

U0>Us0uCtU0..Us.Us’:零輸入響應

完全響應=零輸入響應＋零狀態(tài)響應:

零狀態(tài)響應完全響應不是線性響應。小結：一階電路的完全響應=穩(wěn)態(tài)響應＋暫態(tài)響應一階電路的完全響應=零輸入響應＋零狀態(tài)響應6.7一階電路的三要素法

前提

一階電路

直流激勵注：電路中僅一個動態(tài)元件的電路是一階電路。

若電路中的動態(tài)元件可以等效為一個動態(tài)元件時，也是一階電路。一階電路三要素法表達式令:令t=0+:

直流激勵下一階電路的電路方程一般形式：（C是常數）則：

初始值f(0+)

穩(wěn)態(tài)值f(∞)

三要素

時間常數τf(0+):初始值t=0+時：

零狀態(tài)下：

C—電壓源，L—電流源

C—短路，L—斷路

uC(0+),iL(0+)：由t=0－的等效電路中求。必須由t=0+的等效電路中求。iC(0+),uR(0+)

iR(0+),

uL(0+)f(∞):穩(wěn)態(tài)值

Req：由動態(tài)元件兩端看進去的戴維南等效電阻。

C—斷路，L—短路時：

τ:時間常數

注意：求Req時，原網絡中電壓源短路，電流源斷路。

例：已知t<0時，原電路已穩(wěn)定,t=0時,S由a合向b。求：時的iL(t),i0(t)。...iL(t)i0(t)3Ω3Ω6Ω30Vab15VS

(t=0)2H

解：1.求iL(0+),i0(0+)t=0-時：i0(0-)iL(0-)3Ω3Ω6Ω15V

解：1.求iL(0+),i0(0+)t=0＋時：i0(0+)3Ω3Ω6Ω30V

2.求iL(∞),i0(∞)時：i0(∞)3Ω