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福建省福州四中2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足a1=1,-=1,則an=()A.2n-1 B.nC.2n-1 D.2n-12.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,過的直線與橢圓C相交P,Q兩點(diǎn),若,且,則橢圓C的離心率為()A. B.C. D.3.已知點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,則()A. B.C. D.4.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且對(duì)任意正整數(shù)n都有,若,則()A.2019 B.2020C.2021 D.20225.在中,角、、的對(duì)邊分別是、、,若.則的大小為()A. B.C. D.6.經(jīng)過點(diǎn)A(0,-3)且斜率為2的直線方程為()A. B.C. D.7.等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列,則()A.72 B.90C.36 D.458.曲線為四葉玫瑰線,這種曲線在苜蓿葉型立交橋的布局中有非常廣泛的應(yīng)用,苜蓿葉型立交橋有兩層,將所有原來(lái)需要穿越相交道路的轉(zhuǎn)向都由環(huán)形匝道來(lái)實(shí)現(xiàn),即讓左轉(zhuǎn)車輛行駛環(huán)道后自右側(cè)切向匯入高速公路,四條環(huán)形匝道就形成了苜蓿葉的形狀.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()①曲線C關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱;②曲線C關(guān)于直線y=x對(duì)稱;③曲線C的面積超過4π.A.0 B.1C.2 D.39.如圖已知正方體,點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)且,,則()A.當(dāng)時(shí),平面 B.當(dāng)時(shí),平面C.當(dāng)為直角三角形時(shí), D.當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí),10.如圖,在三棱錐中,是線段的中點(diǎn),則()A. B.C. D.11.函數(shù)在上單調(diào)遞增,則k的取值范圍是()A B.C. D.12.已知直線為拋物線的準(zhǔn)線,直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),與拋物線交于點(diǎn),則的最小值為()A. B.C.4 D.8二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式:,驗(yàn)證時(shí),等式左邊________14.已知定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)分別在直線和上運(yùn)動(dòng),則的周長(zhǎng)取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為__________.15.若兩平行直線3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之間的距離為,則的值為________16.如圖所示四棱錐,底面ABCD為直角梯形,,,,,是底面ABCD內(nèi)一點(diǎn)(含邊界),平面MBD,則點(diǎn)O軌跡的長(zhǎng)度為_____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(2)若在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn).(?。┣蟮娜≈捣秶唬áⅲ┳C明:.18.(12分)已知的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為,(1)求的值;(2)求展開式的所有有理項(xiàng)(指數(shù)為整數(shù)),并指明是第幾項(xiàng)19.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足_______請(qǐng)?jiān)冖?;②,;③三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在上面的橫線上,完成上述問題.注:若選擇不同的條件分別解答,則按第一個(gè)解答計(jì)分(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和20.(12分)如圖,在四棱錐中,為平行四邊形,,平面,且,點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)在線段上(不含端點(diǎn))是否存在一點(diǎn),使得二面角的余弦值為?若存在,確定的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.21.(12分)已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列,,若成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,數(shù)列的前項(xiàng)和,求.22.(10分)已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足:,且是,的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,,求
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由題可得,利用與的關(guān)系即求.【詳解】∵a1=1,-=1,∴是以1為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列,∴,即,∴當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),也適合上式,所以故選:A.2、B【解析】設(shè),由橢圓的定義及,結(jié)合勾股定理求參數(shù)m,進(jìn)而由勾股定理構(gòu)造橢圓參數(shù)的齊次方程求離心率.【詳解】設(shè),橢圓的焦距為,則,由,有,解得,所以,故得:故選:B.3、C【解析】根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式,結(jié)合對(duì)稱性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,所以,因此,故選:C4、C【解析】先令代入中,求得,再根據(jù)遞推式得到,將與已知相減,可判斷數(shù)列是等比數(shù)列,進(jìn)而確定,求得答案.【詳解】因?yàn)?,令,則,又,故,即,故數(shù)列是等比數(shù)列,則,所以,所以,故選:C.5、B【解析】利用余弦定理結(jié)合角的范圍可求得角的值,再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得的值.【詳解】因?yàn)?,則,則,由余弦定理可得,因?yàn)椋瑒t,故.故選:B.6、A【解析】直接代入點(diǎn)斜式方程求解即可詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)且斜率為2,所以直線的方程為,即,故選:7、B【解析】由題意結(jié)合成等比數(shù)列,有即可得,進(jìn)而得到、,即可求.【詳解】由題意知:,,又成等比數(shù)列,∴,解之得,∴,則,∴,故選:B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:由其中三項(xiàng)成等比數(shù)列,利用等比中項(xiàng)性質(zhì)求項(xiàng),進(jìn)而得到等差數(shù)列的基本量1、由成等比,即;2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用.8、C【解析】根據(jù)圖像或解析式即可判斷對(duì)稱性①②;估算第一象限內(nèi)圖像面積即可判斷③.【詳解】①將點(diǎn)(-x,-y)代入后依然為,故曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②將點(diǎn)(y,x)代入后依然為,故曲線C關(guān)于y=x對(duì)稱;③曲線C在四個(gè)象限的圖像是完全相同的,不妨只研究第一象限的部分,∵,∴曲線C上離原點(diǎn)最遠(yuǎn)的點(diǎn)的距離為顯然第一象限內(nèi)曲線C的面積小于以為直徑的圓的面積,又∵,∴第一象限內(nèi)曲線C的面積小于,則曲線C的總面積小于4π.故③錯(cuò)誤.故選:C.9、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法一一計(jì)算可得;【詳解】解:由題可知,如圖令正方體的棱長(zhǎng)為1,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,所以,因?yàn)椋?,所以,,,,設(shè)平面的法向量為,則,令,則,,所以對(duì)于A:若平面,則,則,解得,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B:若平面,則,即,解得,故B錯(cuò)誤;當(dāng)為直角三角形時(shí),有,即,解得或(舍去),故C錯(cuò)誤;設(shè)到的距離為,則,當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí),,故正確故選:10、A【解析】根據(jù)給定幾何體利用空間向量基底結(jié)合向量運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】在三棱錐中,是線段的中點(diǎn),所以:.故選:A11、A【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo),由于函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)遞增,故恒成立.【詳解】由題意可得,,,,.故選:A12、D【解析】先求拋物線的方程,再聯(lián)立直線方程和拋物線方程,由弦長(zhǎng)公式可求的最小值.【詳解】因?yàn)橹本€為拋物線的準(zhǔn)線,故即,故拋物線方程為:.設(shè)直線,則,,而,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立,故的最小值為8,故選:D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可解答.【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式:,驗(yàn)證時(shí),等式左邊=.故答案為:.14、【解析】作點(diǎn)分別關(guān)于直線和的對(duì)稱點(diǎn),根據(jù)對(duì)稱性即可求出三角形周長(zhǎng)的最小值,利用三點(diǎn)共線求出的坐標(biāo).【詳解】如圖所示:定點(diǎn)關(guān)于函數(shù)對(duì)稱點(diǎn),關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),當(dāng)與直線和的交點(diǎn)分別為時(shí),此時(shí)的周長(zhǎng)取最小值,且最小值為此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足,解得,即點(diǎn).故答案為:.15、±1【解析】由題意得=≠,∴a=-4且c≠-2,則6x+ay+c=0可化為3x-2y+=0,由兩平行線間的距離公式,得=,解得c=2或c=-6,∴=±116、【解析】繪出如圖所示的輔助線,然后通過平面平面得出點(diǎn)軌跡為線段,最后通過求出、的長(zhǎng)度即可得出結(jié)果.【詳解】如圖,延長(zhǎng)到點(diǎn),使且,連接,取上點(diǎn),使得,作,交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接,因?yàn)椋?,因?yàn)?,又,所以,,因?yàn)?,,,所以平面平面,因?yàn)槠矫?,面,所以點(diǎn)軌跡為線段,因?yàn)?,,所以,因?yàn)?,,,所以,因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪危?,,,,故答案為?三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)(?。唬áⅲ┳C明見解析.【解析】(1)求出,,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程;(2)(ⅰ)根據(jù)題意對(duì)參數(shù)分類討論,當(dāng)時(shí),等價(jià)轉(zhuǎn)化,且構(gòu)造函數(shù),利用零點(diǎn)存在定理,即可求得參數(shù)的取值范圍;(ⅱ)根據(jù)(?。┲兴蟮玫脚c的等量關(guān)系,求得并構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值,則問題得證.【小問1詳解】當(dāng)時(shí),,則,故,,則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問2詳解】(?。┮?yàn)椋士傻?,因?yàn)?,則當(dāng)時(shí),,則,無(wú)零點(diǎn),不滿足題意;當(dāng)時(shí),若在有一個(gè)零點(diǎn),即在有一個(gè)零點(diǎn),也即在有一個(gè)零點(diǎn),又,則單調(diào)遞增,則只需,解得.綜上所述,若在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn),則;(ⅱ)由(?。┛芍?,若在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn),則,也即,則,令,則,又在都是單調(diào)增函數(shù),故是單調(diào)增函數(shù),又,故,則在單調(diào)遞增,則,故,即證.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)以及最值;處理問題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)零點(diǎn)問題,以及充分利用零點(diǎn)存在定理,熟練掌握構(gòu)造函數(shù)法,屬綜合困難題.18、(1)(2)【解析】(1)由二項(xiàng)式系數(shù)和公式可得答案;(2)求出的通項(xiàng),利用的指數(shù)為整數(shù)可得答案.【小問1詳解】的二項(xiàng)展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和,所以.【小問2詳解】,因此時(shí),有理項(xiàng),有理項(xiàng)是第一項(xiàng)和第七項(xiàng).19、(1)條件選擇見解析,;(2).【解析】(1)選①,可得出,由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;選②,分析可知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,根據(jù)已知條件求出的值,利用等差數(shù)列的求和公式可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;選③,在等式中令可求得的值,即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求得,利用裂項(xiàng)相消法可求得.【小問1詳解】解:選①,因?yàn)?,則,則,當(dāng)時(shí),,也滿足,所以,對(duì)任意的,;選②,因?yàn)椋瑒t數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,所以,,解得,則;選③,對(duì)任意的,,則,可得,因此,.【小問2詳解】解:因?yàn)?,因此?20、(1)見解析(2)存在,【解析】(1)連接交于點(diǎn),由三角形中位線性質(zhì)知,由線面平行判定定理證得結(jié)論;(2)以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,假設(shè),可用表示出點(diǎn)坐標(biāo);根據(jù)二面角的向量求法可根據(jù)二面角的余弦值構(gòu)造出關(guān)于的方程,從而解得結(jié)果.【詳解】(1)連接交于點(diǎn),連接,四邊形為平行四邊形,為中點(diǎn),又為中點(diǎn),,平面,平面,平面;(2)平面,,兩兩互相垂直,則以為坐標(biāo)原點(diǎn),可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系:則,,,,,,設(shè),且,則,,即,設(shè)平面的法向量,又,,則,令,則,,;設(shè)平面的一個(gè)法向量,又,,則,令,則,,;,解得:或,二面角的余弦值為,二面角為銳二面角,不滿足題意,舍去,即.在線段上存在點(diǎn),時(shí),二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的線面平行關(guān)系的證明、存在性問題的求解;求解存在性問題的關(guān)鍵是能夠利用共線向量的方式將所求點(diǎn)坐標(biāo)表示出來(lái),進(jìn)而利用二面角的向量求法構(gòu)造方程;易錯(cuò)點(diǎn)是忽略二面角的范圍,造成參數(shù)值求解錯(cuò)誤.21、(1);(2).【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)題意列出方程組,求得的值,即可求解;(2)由(1)求得,結(jié)合“裂項(xiàng)法”即可求解.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,因?yàn)椋舫傻缺葦?shù)列,可得,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)可得,所以.【點(diǎn)睛】關(guān)于數(shù)列的裂項(xiàng)法求和的基本策略:1、基本步驟:裂項(xiàng):觀察數(shù)列的通項(xiàng),將通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差的形式;累加:將數(shù)列裂項(xiàng)后的各項(xiàng)相加;消項(xiàng):將中間可以消去的項(xiàng)相互抵消,將剩余的有限項(xiàng)相加,得
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