新高考一卷逐題搞定之第十七題教師版

新高考一卷逐題搞定第十七題真題展示記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，得到，利用和與項(xiàng)的關(guān)系得到當(dāng)時(shí)，,進(jìn)而得：，利用累乘法求得，檢驗(yàn)對(duì)于也成立，得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數(shù)列，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，，∴,整理得：,即,∴，顯然對(duì)于也成立，∴的通項(xiàng)公式；（2）∴優(yōu)秀模擬題1．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；（3）先求得，進(jìn)而由并項(xiàng)求和可得，再結(jié)合錯(cuò)位相減法可得解.（1）設(shè)公差為d，公比為，則，由可得（舍去），所以；（2）證明：因?yàn)樗砸C，即證，即證，即證，而顯然成立，所以；（3）因?yàn)?，所以，設(shè)所以，則，作差得，所以，所以.2．（2022·全國(guó)·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組即可證出；（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得，即可解出．（1）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個(gè)數(shù)為．3．（2022·浙江·高考真題）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差．記的前n項(xiàng)和為．(1)若，求；(2)若對(duì)于每個(gè)，存在實(shí)數(shù)，使成等比數(shù)列，求d的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)條件，求出，再求；(2)由等比數(shù)列定義列方程，結(jié)合一元二次方程有解的條件求的范圍.（1）因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，所以，?）因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以，，，由已知方程的判別式大于等于0，所以，所以對(duì)于任意的恒成立，所以對(duì)于任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，可得當(dāng)時(shí)，，又所以4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見解析【分析】（1）求出，討論其符號(hào)后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號(hào)，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對(duì)任意的恒成立，從而可得對(duì)任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號(hào)合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.5．（2022·全國(guó)·高考真題（理））記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差即可得到，從而得證；（2）法一：由（1）及等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出，即可得到的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得．【詳解】（1）因?yàn)?，即①，?dāng)時(shí)，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）[方法一]：二次函數(shù)的性質(zhì)由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時(shí)，．[方法二]：【最優(yōu)解】鄰項(xiàng)變號(hào)法由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，即有.則當(dāng)或時(shí)，．【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，適用于可以求出的表達(dá)式；法二：根據(jù)鄰項(xiàng)變號(hào)法求最值，計(jì)算量小，是該題的最優(yōu)解．6．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知．(1)求函數(shù)的值域；(2)若方程在上的所有實(shí)根按從小到大的順序分別記為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)，以及換元得函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域；（2）首先由方程得，再利用三角函數(shù)的對(duì)稱性，得是等差數(shù)列，再求和.【詳解】（1）令，則，，，得，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增。所以，所以，的值域是（2）由已知得，解得或（舍去），由得函數(shù)圖象在區(qū)間且確保成立的，對(duì)稱軸為在內(nèi)有11個(gè)根，數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．所以.7．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知是公差為1的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差性質(zhì)得出通項(xiàng)公式；（2）由裂項(xiàng)相消求和法求解即可.【詳解】（1）由題意得，故，所以的通項(xiàng)公式為．（2）8．（2022·浙江紹興·一模）已知數(shù)列滿足，.有以下三個(gè)條件：①（，）；②；③（）；從上述三個(gè)條件中任選一個(gè)條件，求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和.【答案】，【分析】選①根據(jù)遞推關(guān)系式構(gòu)造等比數(shù)列，再構(gòu)造等差數(shù)列即可求得；選②根據(jù)遞推關(guān)系式，結(jié)合累乘法求得；選③利用前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，相減求得；求前前項(xiàng)和采用錯(cuò)位相減法即可.【詳解】解：選①由（，）得，故是公比為2的等比數(shù)列，則即，故是公差為的等差數(shù)列，則，即.選②由得，故化簡(jiǎn)得，即也滿足選③由

（1）得當(dāng)時(shí)，

（2）由（1）－（2）得，故也滿足，因此，兩式相減得化簡(jiǎn)得9．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，，的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；(2)數(shù)列是等比數(shù)列，為數(shù)列的公比，且，記，證明：【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)累加法可得的通項(xiàng)公式，再利用公式求即可；（2）利用數(shù)列恒正可得左邊，右邊利用適當(dāng)?shù)姆趴s法即可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，累加可得且當(dāng)時(shí)，符合，.由等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式可得：（2）由（1）得，對(duì)于左邊，，又，對(duì)于右邊，,.綜上：成立.10．（2022·上海市光明模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列，滿足：存在，對(duì)于任意的，使得，則稱數(shù)列與成“k級(jí)關(guān)聯(lián)”．記與的前n項(xiàng)和分別為，．(1)已知，判斷與是否成“4級(jí)關(guān)聯(lián)”，并說明理由；(2)若數(shù)列與成“2級(jí)關(guān)聯(lián)”，其中，且有，，求的值；(3)若數(shù)列與成“k級(jí)關(guān)聯(lián)”且有，求證：為遞增數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)．【答案】(1){bn}與{an}不成“4級(jí)關(guān)聯(lián)”，理由見解析(2)2022(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)“4級(jí)關(guān)聯(lián)”的定義判斷；（2）根據(jù)“4級(jí)關(guān)聯(lián)”的可得，根據(jù)累加法即數(shù)列的周期性可求；（3）根據(jù)定義可得，再分別證明結(jié)論的充分性和必要性即可．【詳解】（1））由，可得，顯然，等式不恒成立，舉反例：時(shí)，有：左右．∴與不成“4級(jí)關(guān)聯(lián)”．（2）由可得：，利用累加法：，整理得：，由可知：且第一周期內(nèi)有，所以，而又因?yàn)?，故；?）證明：由已知可得，所以，所以，（a）先說明必要性．由為遞增數(shù)列可知：，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，由（*）式可知：，故，（必要性得證）（b）再說明充分性．考慮反證法．假設(shè)數(shù)列中存在兩項(xiàng)滿足，得到，由于結(jié)合，能夠得到：，可知對(duì)于全體正整數(shù)都成立，這與存在一項(xiàng)矛盾！假設(shè)不成立，（充分性得證）由（a）、（b），命題得證．11．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））若數(shù)列滿足,．(1)證明:是等比數(shù)列；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為,求滿足的n的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)7【分析】(1)根據(jù)題意構(gòu)造數(shù)列證明等比,求出首項(xiàng)及公比即可,(2)由(1)求出的通項(xiàng)公式,與題中等式聯(lián)立,求出通項(xiàng)公式,進(jìn)而求出前n項(xiàng)和為,代數(shù)使得即可求出n的最大值.【詳解】（1）證明：因?yàn)?所以,,故,又,則,,故是以－1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列．（2）由(1)得①,又②,②－①得,,故,易得為遞增數(shù)列,又,,,故n的最大值為7.12．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））若數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）運(yùn)用累加法即可求出的通項(xiàng)公式；（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，故；?）證明：當(dāng)n＝1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則，故；綜上，.13．（2022·四川綿陽·一模（理））已知數(shù)列滿足：，，（）．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)結(jié)合遞推公式利用等比數(shù)列的定義證明即可；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，利用累加法和等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴數(shù)列{}是以為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，滿足上式．所以，．14．（2022·河南河南·一模（文））已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若構(gòu)成等差數(shù)列的前3項(xiàng)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由、兩式相減得，可得公比，再求出首項(xiàng)，即可寫出通項(xiàng)公式；（2）由等差中項(xiàng)性質(zhì)列式求出m，即可求出數(shù)列、通項(xiàng)公式，最后用錯(cuò)位相減法即可求和【詳解】（1）依題意：，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，（）．∵數(shù)列是等比數(shù)列，∴．當(dāng)時(shí)，，即，解得．∴．（2）由（1）知，，，依題意可得：，，則等差數(shù)列前3項(xiàng)分別為8，12，16，公差，∴．．．…①①得：．…②②①得：．∴．15．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)（理））設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】(1)型的數(shù)列，利用公式來解決.(2)，等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和，用錯(cuò)位相減法．【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得當(dāng)，時(shí)，，所以，得即，可知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為5的等比數(shù)列，所以（2）由（1）可知，所以，所以，所以，則，兩式相減，可得.，化簡(jiǎn)得16．（2022·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)（理））給出以下條件：①，，成等比數(shù)列；②，，成等比數(shù)列；③是與的等差中項(xiàng)．從中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，再解答．已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，______．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)；(2).【分析】（1）選①②，利用等比中項(xiàng)列式求出公差即可；選③利用等差中項(xiàng)列式求出公差即可.（2）根據(jù)給定條件結(jié)合（1）求出，再利用錯(cuò)位相減法求出，將給定不等式變形，分離參數(shù)構(gòu)造數(shù)列，探討單調(diào)性即可作答.【詳解】（1）選①，設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由，，，有，化簡(jiǎn)得．則，，所以的通項(xiàng)公式為．選②，設(shè)遞增等差數(shù)列的