1.2 隨機(jī)事件的概率

第二節(jié)隨機(jī)事件的概率二、古典概型與幾何概型四、小結(jié)一、頻率與概率三、概率的公理化定義及其運(yùn)算性質(zhì)在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，隨機(jī)事件一、頻率與概率定義1：A發(fā)生的次數(shù)稱作頻數(shù)，比值稱作隨機(jī)事件A的頻率，記作，即

在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果具有一定的內(nèi)在規(guī)律性，即隨機(jī)事件在這種大量重復(fù)試驗(yàn)的條件下出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是穩(wěn)定的。所以，我們可以將隨機(jī)事件的出現(xiàn)機(jī)會(huì)與一定數(shù)值相對(duì)應(yīng)。如：實(shí)踐證明：相同條件下的大量重復(fù)試驗(yàn)中，事件

A的頻率具有穩(wěn)定性．也就是說，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A的頻率在某一個(gè)確定的數(shù)字附近擺動(dòng).拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)拋的次數(shù)足夠大時(shí)，硬幣正面朝上的頻率越來越穩(wěn)定于0.5.歷史上一些著名統(tǒng)計(jì)學(xué)家進(jìn)行過拋硬幣試驗(yàn)，得到的結(jié)果結(jié)果見下表試驗(yàn)者拋硬幣次數(shù)/次正面朝上次數(shù)/次正面朝上的頻率Buffon404020480.5069Fisher1000049790.4979Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005

n充分大時(shí)，事件A的頻率在0.5附近擺動(dòng).例1：祖沖之第一次把它計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位，此紀(jì)錄隨后被保持了1000多年．人們對(duì)于圓周率的計(jì)算從未停止過，此后一直有人不斷將π

算得越來越精確.

1873年，英國(guó)學(xué)者沈克士公布了一個(gè)π的數(shù)值，該數(shù)值小數(shù)點(diǎn)后面一共有707位．當(dāng)時(shí)人們都是采用手動(dòng)計(jì)算，即便對(duì)他的計(jì)算有疑問，也無法確切知曉真實(shí)結(jié)果．圓周率π是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，我國(guó)數(shù)學(xué)家?guī)资旰螅鼜厮固氐馁M(fèi)林生對(duì)沈克士計(jì)算的結(jié)果產(chǎn)生疑問，他統(tǒng)計(jì)了沈克士計(jì)算結(jié)果的608位小數(shù)，得到的結(jié)果如表數(shù)字0123456789出現(xiàn)次數(shù)60626768645662445867費(fèi)林生產(chǎn)生懷疑的理由是什么？圓周率π

是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，因此理論上每個(gè)數(shù)字的出現(xiàn)都不會(huì)具有某種偏好性，即每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)近似相等，或者這些數(shù)字的出現(xiàn)頻率應(yīng)都接近0.1，但是數(shù)字7出現(xiàn)的頻率過?。@就是費(fèi)林生產(chǎn)生懷疑的原因．頻率的性質(zhì)：（1）非負(fù)性：（2）規(guī)范性：（3）有限可加性：頻率穩(wěn)定性的事實(shí)說明隨機(jī)事件發(fā)生的可能具有客觀存在性．設(shè)m個(gè)隨機(jī)事件兩兩不相容，有在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行

n次試驗(yàn)，隨機(jī)事定義2：件A發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)

p附近擺動(dòng)，則稱p為事件A的概率，記為注1:隨機(jī)事件A發(fā)生的概率具有頻率所具備的性質(zhì)．這是利用頻率的穩(wěn)定性對(duì)隨機(jī)事件概率的統(tǒng)計(jì)注2:定義，實(shí)際應(yīng)用中常常用頻率來估計(jì)概率，即當(dāng)n足夠大時(shí)，有

為了估計(jì)某個(gè)魚塘里的魚數(shù)，從該魚塘捕撈例2：100條魚，做完標(biāo)記后再放入魚塘．過些時(shí)日后，從魚塘里捕撈40條魚，發(fā)現(xiàn)其中兩條有標(biāo)記．試問，魚塘里大約有多少條魚？則利用概率與頻率的關(guān)系，解：設(shè)魚塘中有x條魚，于是即魚塘里大約有2000條魚．有二、古典概型與幾何概型定義3：（1）古典概型如果隨機(jī)試驗(yàn)具有下述兩個(gè)特征：（1）隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個(gè)可能的結(jié)果；則稱這樣的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判停?）每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同．在古典概型中，設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間且由概率的規(guī)范性和有限可加性，知?jiǎng)t對(duì)于包含k個(gè)樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為分析：輔助知識(shí)：（1）加法原理：（2）乘法原理：設(shè)完成一件事有m種方式，第i種方式有方法（每種方法均可完成這件事），則完成這件事的方法總數(shù)為設(shè)完成一件事有m個(gè)步驟，第i步有方法（必須完成每一步驟才能最終完成這件事）,則完成這件事的方法總數(shù)為（3）排列公式：當(dāng)時(shí)稱為n個(gè)元素的全排列，即（4）組合公式：從n個(gè)元素中任取個(gè)排成一排，則不同的排列總數(shù)為從n個(gè)元素中任取個(gè)組成一組，則不同的組合總數(shù)為例3：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，求兩次點(diǎn)數(shù)之和為7的概率．解：令骰子先后兩次出現(xiàn)的結(jié)果為樣本空間記“兩次點(diǎn)數(shù)之和為7”為事件A事件則兩次點(diǎn)數(shù)之和為7的概率本題若按照兩次點(diǎn)數(shù)之和作為樣本空間，即注：而“和為7”只是樣本空間中的一個(gè)樣本點(diǎn)，若按照古典概型的概率計(jì)算公式會(huì)得出的結(jié)果.這樣做不對(duì).這樣做對(duì)嗎？錯(cuò)誤的根源在于將“點(diǎn)數(shù)之和”出現(xiàn)的每個(gè)結(jié)果視為等可能的了．（隨機(jī)抽樣問題）設(shè)有一批產(chǎn)品共N件，其中例4：有M件次品．從中抽取n件產(chǎn)品，求恰好抽到k件次品的概率．考慮如下兩種情形：解：（1）放回抽樣，即每次抽取一件，檢驗(yàn)后放回，再抽取下一件；（2）不放回抽樣，即每次抽取一件，檢驗(yàn)后不再放回，繼續(xù)抽取下一件．

記“恰好抽到k件次品”為事件D則（2）因?yàn)槭遣环呕爻闃樱蕪腘件產(chǎn)品中抽取n件（1）因?yàn)槭欠呕爻闃?，故從N件產(chǎn)品中抽取n件產(chǎn)品總的方法數(shù)是產(chǎn)品總的方法數(shù)是則注：本題不放回抽樣情形，根據(jù)排列組合關(guān)系，有由此可知，可將不放回抽樣理解為一次性抽取n件產(chǎn)品（而不是一次只抽取一個(gè)）．實(shí)際計(jì)算中，常將不放回抽樣等價(jià)地視作后一種情形加以處理，這樣可避免考慮次序的復(fù)雜問題．（抽簽公平問題）有設(shè)a張好簽和b張壞簽放例5：到一起供人們抽取，試說明抽簽的公平性．解：記“第k個(gè)人抽到好簽”為第k個(gè)人抽到的好簽只能來自a張好簽之一，故有a種方法，意一張簽（有a+b-1張），說明結(jié)果與抽簽次序無關(guān)，故抽簽是公平的．其余的k-1個(gè)人可以抽取其他的任則（生日問題）求個(gè)人至少有兩人例6：生日相同的概率，所謂生日相同是指同月同日（不要求年份相同）．不妨設(shè)一年的天數(shù)為解：記“至少有兩人生日相同”為C．則將n個(gè)小球放入N個(gè)盒子中總的方法數(shù)是

若將每一天視作盒子，每個(gè)人的生日看作小球，而每個(gè)盒子里最多放一個(gè)小球的方法數(shù)是因此下面列舉幾個(gè)至少兩個(gè)人生日相同的概率3040506070800.70630.89120.97040.99410.99920.9999古典概型的計(jì)算公式在實(shí)際生活中用處很廣泛，比如抽檢產(chǎn)品的合格率（或者次品率）、彩票的中獎(jiǎng)概率等等.（2）幾何概型古典概型包括兩要素：所有結(jié)果的有限性以及每個(gè)結(jié)果的等可能性．在等可能的情形下，我們也會(huì)遇到所有的結(jié)果并不是有限的情形，比如樣本空間是一條線段、平面區(qū)域或空間立體等．定義4：設(shè)樣本空間Ω是一個(gè)區(qū)域（一條線段、平面區(qū)域或有限空間立體），它的度量記為（度量的含義是線段的長(zhǎng)度、平面區(qū)域的面積或空間立體的體積），樣本點(diǎn)落入樣本空間的部分區(qū)域A的可能性只與成比例，而與區(qū)域A的位置和形狀無關(guān)，若將樣本點(diǎn)落入?yún)^(qū)域A的事件仍記為A，則事件A的概率此時(shí)的概率稱為幾何概率．例7：（會(huì)面問題）兩位同學(xué)約好8點(diǎn)到9點(diǎn)之間在某公園門口見面，先到者最多等候另一個(gè)人20分鐘，過時(shí)就離開．若兩個(gè)人均可在8點(diǎn)到9點(diǎn)之間任意時(shí)刻到達(dá)某公園門口，試計(jì)算兩人能見面的概率．記8點(diǎn)為0時(shí)刻，解：記“兩人能見面”為A，時(shí)刻（單位：分鐘），于是x,y

表示兩人到達(dá)某公園門口的則樣本空間為則三、概率的公理化定義及其運(yùn)算性質(zhì)前文定義的概率作為隨機(jī)事件發(fā)生可能性的度量，在等可能概型（包括古典概型和幾何概型）中應(yīng)用比較成功．但是，在有些情況下，“等可能性”就不太明確了，以至于會(huì)出現(xiàn)某些看似“矛盾”的結(jié)果．1899年，法國(guó)學(xué)者貝特朗提出一個(gè)問題：在一個(gè)圓內(nèi)任意選擇一條弦，這條弦的弦長(zhǎng)長(zhǎng)于這個(gè)圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少．人們基于對(duì)“任意選擇”的不同理解，得到了不止一個(gè)結(jié)果，這在根本上動(dòng)搖了人們?cè)缦葘?duì)于幾何概率的認(rèn)識(shí)，該問題后來被稱為貝特朗奇論（Bertrand'sParadox）．為什么同一個(gè)隨機(jī)事件會(huì)有不同的概率呢？直到1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫通過公理化形式給出概率應(yīng)該滿足的幾條本質(zhì)特性（而不是直接定義隨機(jī)事件的概率），完美解釋了貝特朗奇論不同結(jié)果的合理性，并在此基礎(chǔ)上展開了概率理論和應(yīng)用的研究．

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間Ω，若存在對(duì)應(yīng)定義5：法則，對(duì)于任意隨機(jī)事件，是一個(gè)實(shí)數(shù)且滿足：（1）非負(fù)性：

（2）規(guī)范性:（3）可列可加性：則稱為隨機(jī)事件A的概率．有對(duì)于兩兩不相容事件概率的性質(zhì)：（1）不可能事件的概率為0，即分析：利用可列可加性，知于是從而有（2）有限可加性，即由規(guī)范性及性質(zhì)（2）易知，（3）對(duì)于事件A,B

，有若則進(jìn)而有從而，對(duì)任意事件A，有（4）對(duì)于任意兩個(gè)事件A,B，有對(duì)于任意三個(gè)事件A、B、C，有在1~2000的整數(shù)中隨即取一數(shù)，求該數(shù)至少能例8：被5整除或6整除或8整除的概率是多少？解：記事件A,B,C分別表示該數(shù)能被5、6、8整除，則該數(shù)至少能被