第四章多項式環(huán)與有限域

PAGEPAGE3第四章多項式環(huán)與有限域符號. Z:整數(shù)，Z+:正整數(shù)，N:自然數(shù)Fp:p特征素子域,Fq:q階有限域，:p特征域,:Fq的擴(kuò)展域Fq[x]:Fq上所有多項式的集合Fq[x]/f(x):Fq[x]關(guān)于f(x)的剩余類環(huán)p(f):f(x)的周期一、剩余類環(huán)理想交換環(huán)R中的非空子集I稱為R中的理想，若：(1)a,bI:a-bI;(2)aI,rR:ar=raI;(1)+(2)理想是個子環(huán)，(2)I中任一元素a的倍數(shù)在I中，即I由R的一些元素（可以是多個）的倍數(shù)組成。主理想由單個元素的倍數(shù)組成。主理想環(huán)每個理想都是主理想。定理1(定理4.1.2,p112)設(shè)I為可換環(huán)R的一個理想，則R/I構(gòu)成一個可換環(huán)，稱為模I的剩余類環(huán)。二、多項式環(huán)定理2(補(bǔ)充)Fq[x]構(gòu)成一個環(huán)。定理3(定理4.2.11,p122)集合G與G同構(gòu)（G為群(環(huán)、域)G為群(環(huán)、域)）.三、基于多項式的有限域定理3*(定理4.5.10,p137)f(x)是Fq上素多項式Fq[x]/f(x)是一個域。四、循環(huán)群循環(huán)群由某個元素的所有整數(shù)冪組成的群{0,1,2,3,….},稱為生成元。元素a的級滿足an=e的最小正整數(shù)n.若nN:ane,則稱a的級為。單位原根n階循環(huán)群的n級元素。定理3**循環(huán)群G的性質(zhì)G必為阿貝爾群；a為n級元素，則am=en|m;n級元素a與m級元素b滿足(n,m)=1,則ab為nm級元素;a為n級元素，則ak=的級為n/(k,n);n階循環(huán)群中每個元素的級數(shù)m滿足m|n.定理4(定理4.3.1,p125)可換群G的任一n級元素a皆可生成一個n階循環(huán)子群。定理5(推論4.3.3,p127)n階循環(huán)群中必有(n)個單位原根。(n)=|{a|0an-1且（a,n）=1}|(歐拉函數(shù)，小于n且與n互素的自然數(shù)的個數(shù))五、有限域Fq的乘法結(jié)構(gòu)單位原根n級元素稱為n次單位原根。本原域元素(本原元)q-1級元素定理6(推論4.4.1,p28)Fq上的n級元素生成的n階循環(huán)群G()是方程xn-1=0的全部根。推論1(補(bǔ)充)若Fq含有n次單位原根，則xn–1可分解為。定理7(定理4.4.2,p28)Fq必有本原域元素存在，所以Fq–{0}是一個q-1階乘法循環(huán)群。由此可知任一有限域Fq必可寫成{0,,2,…,q-2,q-1=e}的形式,這叫Fq的本原元表示(冪表示)推論2(定理4.4.1,p128)方程xq-1–1=0的全部根構(gòu)成Fq–{0}.推論3費馬(Ferma)定理(定理4.5.5,p134)Fq:q=.定理7*(定理4.4.5,p130)xn–1=Q(d)(x)為分圓多項式，Q(d)(x)==為Mobius函數(shù)，(m) =0,m有平方因子 =(-1)k,m不含平方因子,且可分解為k個因子的積 =1,m=1 六、有限域Fq的加法結(jié)構(gòu)域的特征域的特征滿足n`e=0的最小正整數(shù)n.若nN:n`e0,則稱域的特征為。元素的a周期滿足n`a=0的最小正整數(shù)n(或)。定理8(定理4.5.1,p132)Fq任一非零元素的周期都等于Fq的特征。定理9(定理4.5.2,p133)Fq的特征或為素數(shù)，或為。定理10(定理4.5.3,p133)在p特征域Fq中，全體域整數(shù)構(gòu)成素子域Fp,且同構(gòu)于Z/{p}。定理11(定理4.5.4,p133)在p特征域Fq中，aFq:(x-a)p=xp-ap域整數(shù)a=z`e(zZ)推論4(推論4.5.4,p134)若k是p特征域的域整數(shù)，則=k(nN)定理12(定理4.5.5,p134)在p特征域Fq中：元素a為域整數(shù)ap-a=0最小多項式與本原多項式最小多項式、元素的次數(shù)、本原多項式設(shè)Fq為FQ的子域，wFQ,m(x)是Fq上滿足m()=0的最低次的多項式，稱m(x)為w在Fq上的最小多項式，m(x)稱為w的次數(shù)。若w為FQ的本原元，則稱m(x)為本原多項式。定理13(定理4.5.8,p136)w在Fq上最小多項式m(x)的性質(zhì)：存在且唯一；是素多項式；若f(x)Fq[x]滿足f(w)=0,則m(x)|f(x);（以w為根的多項式是m(x)的倍式）；m(x)|xQ-x.定理14(定理4.6.2,p142) f(x)Fq[x]：FQFq,在FQ中f(x)可分解為一次因子的積。稱FQ為f(x)的分裂域。定理15(補(bǔ)充)設(shè)Fq為FQ的真子域，是FQ的本原元，的次數(shù)為m,則Q=qm，且FQ:=,aiFq推論5(定理4.6.1,p141)有限域的階必為其特征的冪，因此它是素數(shù)的冪。3．共軛根定理16（定理4.5.6,p135） f(x)Fq[x]，w為Fq的擴(kuò)展域上的元素且f(w)=0,則對于nN,有f()=0.叫w的共軛根，共軛根的集合組成共軛根系。定理16*（推論4.5.7,p135）每個共軛根的最小多項式相同。p對模n的方次數(shù)滿足pm1(modn)的最小整數(shù)m稱為p對模n的方次數(shù)。定理16**（定理4.5.7,p135） p特征域的共軛根系:w,wp,,...,互不相同,其中m為p對模n的方次數(shù)定理17（定理4.5.9,p136） 設(shè)w是Fq的擴(kuò)展域FQ的n級元素，而m是q對模n的方次數(shù)，則w的次數(shù)為m,且其在Fq上的最小多項式m(x)=4．多項式的周期多項式f(x)的周期p(f)設(shè)f(x)Fq[x],f(0)0,滿足f(x)|(xl-1)的最小正整數(shù)l.定理17*p(f)的性質(zhì)p(f)等于Fq[x]/f(x)中的級數(shù)。七、有限域Fq的代數(shù)結(jié)構(gòu)定理18（定理4.6.3,p142）s|r;()=定理19（定理4.6.4,p143）Fq,nN:-=0.定理20(定理4.6.6,p144）-x=(-x可分解為次數(shù)為m的因子的素多項式的積)定理21(定理4.6.7,p144）f(x)為Fq上的d次既約多項式，且d|m,則任一含有f(x)的全部根。 由