專題18解析幾何的解題能力（教師版）

專題18：解析幾何的解題能力<<<專題綜述>>><<<專題綜述>>>解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重點和難點，對其中的直線、圓、圓錐曲線等知識的考查幾乎沒有遺漏過，基本思想實際上是用代數(shù)方法解決幾何問題.該部分試題的總特點是重基礎(chǔ),重素養(yǎng),重能力.因此，要培養(yǎng)和提升學(xué)生的解題能力,首先領(lǐng)會考點知識，奠定培養(yǎng)解題能力的基礎(chǔ);其次通過研究題型，培養(yǎng)解題能力.<<<專題探究>>><<<專題探究>>>題型一：題型一：轉(zhuǎn)化能力解決解析幾何的整體思路是：結(jié)合圖形分析幾何特征，幾何特征恰當(dāng)代數(shù)化，優(yōu)化代數(shù)運算解決問題，把代數(shù)化的結(jié)論還原成幾何結(jié)論.其中思維難點是轉(zhuǎn)化，常見的轉(zhuǎn)化思路有：1.分析幾何條件的本質(zhì)特征轉(zhuǎn)化成合理的代數(shù)關(guān)系，通過代數(shù)運算最終轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.如：=1\*GB3①線段積問題：轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積表示、將斜線段投影到坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的直線上，將線段積轉(zhuǎn)化為同一坐標(biāo)軸上的射影問題，即將二維問題轉(zhuǎn)化為一維問題、將線段用參數(shù)方程表示，將線段之積轉(zhuǎn)化為參數(shù)之積等；=2\*GB3②角平分線：轉(zhuǎn)化為兩直線斜率間的關(guān)系、轉(zhuǎn)化為角平分線上的點到角兩邊的距離相等、轉(zhuǎn)化為三角形中對應(yīng)線段的比例關(guān)系等；=3\*GB3③角問題：利用斜率轉(zhuǎn)化、利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化、利用平面向量轉(zhuǎn)化、利用解三角形轉(zhuǎn)化等；

=4\*GB3④垂直問題：轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為0、轉(zhuǎn)化為斜率表示等；=5\*GB3⑤平行四邊形問題：結(jié)合向量線性運算的平行四邊形法則，轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系；=6\*GB3⑥面積的轉(zhuǎn)化：轉(zhuǎn)化為幾個三角形的面積和等.2.分析復(fù)雜的幾何條件轉(zhuǎn)化成簡單的幾何條件，部分幾何條件容易轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，但是可能會導(dǎo)致計算復(fù)雜，故先轉(zhuǎn)化為簡單的幾何條件.3.在轉(zhuǎn)化中優(yōu)化解題策略（專題17）.例1(2022·重慶市市轄區(qū)模擬)已知點M(-1,m)(m>0)，不垂直于x軸的直線l與橢圓C:x24(1)若M為線段AB的中點，證明：y2(2)設(shè)C的左焦點為F，若M在∠AFB的角平分線所在直線上，且l

被圓x2+y2=4截得的弦長為【思路點撥】

第(1)問考查弦中點問題，容易想到點差法解決；第(2)問數(shù)形結(jié)合可得MF⊥x軸，故幾何條件“M在∠AFB的角平分線所在直線上”，可轉(zhuǎn)化為直線AF與BF的斜率為互為相反數(shù)，從而將幾何問題代數(shù)化.【規(guī)范解析】(1)由x24+y23=1，可得3x2+4y2=12，

因為M(-1,m)(m>0)是線段AB的中點，

所以x2+x1=-2，y2+y1=2m，

因為A?,?B在橢圓上，所以3x12+4y12=123x22+4y22=12,

兩式相減得：3(x=2\*GB3②當(dāng)l的斜率不為0時，設(shè)直線l:x=ty+n，

由x=ty+n3x2+4y2=12，得(3t2+4)y2+6tny+3n2-12=0，

則Δ=48(3t2-n2+4)>0，即3t2>n2-4，

則y1+y2=-6tn3t2+4，y1y2=3n2-123t2+4，

又F(-1,0)，則MF⊥x軸，

因為MF平分∠AFB，

所以kAF+kBF=0練1(2023·四川省瀘州市期末)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為2(1)求橢圓的方程；(2)已知C(-4,0)，D(4,0)，點P在橢圓上，直線PC，PD分別與橢圓交于另一點M，N，若CP=λCM，DP=μ【規(guī)范解析】(1)設(shè)F(c,0).由題意得|FA|=a，|FB|=a+c，ca=2∴|FA|·|FB|=a(a+c)=10+52解得a2=10，∴橢圓的方程為x2(2)設(shè)P(x0,y0由CP=λCM，得(x0+4,∴∴λx1-μx2=8-4(λ+μ).又點P，M，N均在橢圓上，由x0210∴x0+λx1=-5由x0210+y025=1,聯(lián)立=2\*GB3②=3\*GB3③得λx1-μx2=-52λ+μ-5.=4\*GB3④

聯(lián)立=1\*GB3①=4\*GB3④得λ+μ=263，∴λ+μ為定值263練2(2023·四川省成都月考)橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，右頂點為A(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l:x=t交x軸于點P，其中t>a，直線PB交橢圓E于另一點C，直線BA和CA分別交直線l于點M和N，若O、A、M、N四點共圓，求t的值．【規(guī)范解析】(1)由題意，設(shè)橢圓半焦距為c，

則ca=12，所以c2a2=a2-b2a2=1-b2a2=14，所以b=32a，

設(shè)點B(x1,y1)，S△OAB=12a|y1|，

因為|y1|≤b，所以S△OAB的最大值為12ab，

將b=32a代入，得34a2=3，則a=2，b=3，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1．

(2)設(shè)點C(x2,題型題型二：預(yù)判能力解決解析幾何問題時，結(jié)合平時的知識經(jīng)驗的積累和方法的總結(jié)，在解題過程中做出相對準(zhǔn)確合理的預(yù)判，一定程度上能夠指引解題方向，優(yōu)化解題策略，修正解題的結(jié)果.1.預(yù)判目標(biāo)，明確解題方向：在解決定點、定值、探索性等問題時，充分挖掘題目條件，整體建構(gòu)好解題思路，采用特殊化、極端化等方法預(yù)判，得到初步的結(jié)論，明確解題目標(biāo)，再進行結(jié)果驗證.2.預(yù)判方法，優(yōu)化解題策略：為優(yōu)化解題過程，降低運算難度，常會面臨著點參、斜參、角參的選擇.根據(jù)題設(shè)的幾何特征，靈活運用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)，結(jié)合題目特點選擇合適的參變量、公式、坐標(biāo)系進行解題預(yù)判.3.預(yù)判結(jié)果，驗證解題過程：對解題過程中的一些階段性結(jié)果的準(zhǔn)確性進行預(yù)判，若與解題目標(biāo)不符，則及時修正調(diào)整.比如在解決定點問題時，采用一般性解法得到結(jié)果，可利用特殊情況對結(jié)果進行驗證判斷結(jié)果.或者結(jié)合圓錐曲線的對稱性，滿足條件的直線不止一條，進而判斷結(jié)果.例2(2021·福建省莆田市模擬)已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，點M(0,1)在橢圓E上，過點N(2,0)作斜率為22的直線恰好與橢圓E有且僅有一個公共點．

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點P為橢圓E的長軸上的一個動點，過點P作斜率為k(k≠0)的直線交橢圓E【思路點撥】第(1)問由題干的所給的2個條件，求出a,b；第(2)由橢圓的對稱性可知，若存在常數(shù)k滿足“使|PA|2,a2+1【規(guī)范解析】(1)因為點M(0,1)在橢圓E上，所以1b2=1，解得b2=1，

故橢圓方程為x2a2+y2=1，

過點N(2,0)作的斜率為22的直線方程為y=22(x-2)，

與橢圓方程進行聯(lián)立，即y=22(x-2)x2a2+y2=1，

整理得，(a2+2)x2-4a2x+2a2=0，

因為直線和橢圓有一個交點，

此時△=16a4-8a2(a2+2)=8a4-16a2=0，

解得a2=2，

所以橢圓E的方程為x22+y2=1練3(2022·浙江省杭州市期中)已知橢圓C:x2a2+y2b(1)求C的方程;(2)已知橢圓C1:x2a2+y2b2=λ，在橢圓C1上任取三點B【規(guī)范解析】(1)以長軸和短軸為對角線的四邊形面積為S=12?2a?2b=2ab，從而2ab=4b2，a=2b，

因為A(1,32)在橢圓上，所以1a2+34b2=1，解得a=2，b=1，

所以橢圓方程為x24+y2=1．

(2)設(shè)B(m,n)，BC，BD的中點分別是E，F(xiàn)，E(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)，

則C(2x1-m,2y1-n)，D(2x2-m,2y2-n).因為BC，BD均與橢圓C相切于E，F(xiàn)點，

所以BC:x1x4+y1y=1，BD:x2x4+y2y=1．

因為B(m,n)在BC，BD兩直線上，所以x1m4+y1n=1x2m4+y2n=1,

所以(x1,y1)，(x2,y2)在直線mx4+ny=1上，即直線EF的方程為mx4+ny=1．

聯(lián)立mx練4(2022·云南省曲靖市聯(lián)考)已知P為圓M：x2+y2=4上一動點，過點P作x軸的垂線段PD，D(1)求點Q的軌跡方程；(2)設(shè)點Q的軌跡為曲線C，過點N(-1,0)作曲線C的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點分別為E、F，過點N作直線EF的垂線，垂足為點H，是否存在定點G，使得|GH|為定值？若存在，求出點G的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【規(guī)范解析】(1)由題意得，設(shè)點Qx,y,Px因為DQ=32DP因為點P在圓x2+y2=4上，所以x所以Q點軌跡方程為x2(2)=1\*GB3①若兩條互相垂直的弦所在直線的斜率均存在，則可設(shè)直線EN:x=ty-1t≠0，聯(lián)立x=ty-1x24設(shè)直線EN與曲線C兩交點的坐標(biāo)分別為x1,y∴y∵EN⊥FN,∴直線FN:x=-1同理可得：yF設(shè)直線EF與x軸交于點Tx則當(dāng)直線EF斜率存在時，由3t4+3t2-∴xT=-4t當(dāng)直線EF斜率不存在時，由-44+3t2=-則直線EF恒過點T-=2\*GB3②若兩條互相垂直的弦所在直線中有一條斜率不存在，則直線EF為x軸，恒過T-47,0綜上：直線EF恒過點T∵NH⊥EF,∴NH⊥HT,∴H在以NT中點-1114,0取G-1114∴存在點G-1114．題型題型三：運算能力解決解析幾何問題，要求學(xué)生在夯實基礎(chǔ)知識、明確運算目標(biāo)、注重算理算法的多樣性的基礎(chǔ)上，提升運算的合理性、簡潔性、準(zhǔn)確性.1.明確幾何特征，探究運算思路：利用數(shù)形結(jié)合思想，明確幾何對象哪些是運動變化的量，哪些是不變的量，分析不同對象之間的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系，再將幾何問題代數(shù)化.2.結(jié)合代數(shù)結(jié)構(gòu)，選擇運算方法：靈活的運用定義與性質(zhì)，計算過程中恰當(dāng)?shù)睦脫Q元法、同構(gòu)、不等式等方法簡化計算，從而實現(xiàn)快速高效的解題.例3(2022·天津市期末)已知中心在原點，焦點為F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0)的橢圓經(jīng)過點(52,-32)．

(1)求橢圓方程；

(2)若M是橢圓上任意一點，【思路點撥】第(1)問結(jié)合焦點坐標(biāo)及橢圓上的點的坐標(biāo)，求出橢圓方程；第(2)問通過數(shù)形結(jié)合分析幾何特征，將線段長的比值轉(zhuǎn)化為線段在y軸上的投影長的比值，即用點的縱坐標(biāo)表示簡化計算，避免用兩點間的距離公式使結(jié)果復(fù)雜化.【規(guī)范解析】(1)∵F1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0)，橢圓經(jīng)過點(52,-32)，

∴2a=(52+2)2+(-32)2+(52-2)2+(-32-0)2=3102+102=210，

則a=10，又c=2，∴b2=a2-c2=10-4=6．

故橢圓方程為：x210+y26練5(2022·重慶市月考)作斜率為-1的直線l與拋物線C:y2=2px交于A,B兩點(如圖所示)，點P1,2在拋物線C上且在直線(1)求C的方程并證明．直線PA和PB的傾斜角互補．(2)若直線PA的傾斜角為θ(π4<θ<【規(guī)范解析】(1)因為點P(1,2)在拋物線C上，

所以22=2p×1，解得p=2，因此拋物線C的方程為y2=4x．

設(shè)直線l的方程為y=-x+b．

因為直線l與拋物線C交于A,B兩點，且點P(1,2)在直線l的上方，

所以設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，且1+2-b>0，即b<3．

由y=-x+by2=4x，得x2-2b+4x+b2=0，

而由Δ=-2b+42-4b2=16b+1>0得b>-1，

因此-1<b<3，x1+x2=2b+4，x1x2=b2，

因此kPA+kPB=y1-2x1-1+y2-2x2-1=-x1-2+bx1-1+-x2-2+bx2-1

=-x1-1-3+bx1-1+練6(2023·江蘇省南通市模擬)已知橢圓E:x2a2+(1)求E的方程;(2)設(shè)任意過F2的直線為l交E于M，N，分別作E在點M，N上的兩條切線，并記它們的交點為P，過F1作平行于l的直線分別交PM,PN于A，B，求【規(guī)范解析】(1)由題意得，2a2-b2=4，2b=4，解得b2=4，a2=8，

所以橢圓E的方程為x28+y24=1;

(2)由題意得，F(xiàn)2(2,0)，顯然l的斜率不為0，

設(shè)直線l的方程為x=ty+2，M(x1,y1)，N(x2,y2)，

聯(lián)立x28+y24=1x=ty+2，消x整理得(t2+2)y2+4ty-4=0，

Δ=16t2+16t2+2>0，y1+y2=-4tt2+2，y1y2=-4t2+2，

由題意知，M，N不在x軸上，則分別作E在點M，N上的兩條切線的斜率存在，

聯(lián)立過M，N的切線方程x1x8+y1y4=1x2x8+y<<<專題訓(xùn)練>>><<<專題訓(xùn)練>>>1.(2022·湖北省黃岡市月考)已知點Q(-2,0)與拋物線y2=2px(p>0)，過拋物線焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，與y軸交于點P，若AB=3BP，且直線QA的斜率為1，則p=【解析】解：由題意知A在第一象限，B在第四象限．

由AB=3BP知xA=4xB，則yA=-2yB．

又A，F(xiàn)，B三點共線，∴2pyA+yB=yByB22p-p2?y2.(2022·遼寧省部分重點中學(xué)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M3,0，N-3,0，動點Q滿足直線QM與QN的斜率乘積為-(1)求動點Q的軌跡方程C1(2)已知C2:x215+y210=1，在C2上取一點Px0,y00<x0<3,y0>0作C1的兩條切線PA,PB，其中A,B【解析】解：(1)設(shè)Qx,y，由題意得kQM?kQN=yx-3?yx+3=-49

化簡得C1:x29+y24=1(x≠±3)

(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為Px0,y0，由題意可知x0215+y0210=1

，=1\*GB3①

因為0<x0<3，所以過點P作C1切線的斜率顯然存在，

設(shè)直線的斜率為為k，即y=kx+y0-kx0，

將該直線方程與C1聯(lián)立：y=kx+y0-kx0x29+y24=1

得：9k2+4x2+18ky0-kx0x+9y0-kx02-36=0．

令Δ=0，整理得x02-9k2-2x0y0k+y02-4=0，=2\*GB3②

3.(2022·吉林省松原市模擬)已知離心率為22的橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A，左焦點為F，及點P(-4,0)，且|OF|，|OA|，|OP|成等比數(shù)列．

(1)求橢圓C的方程；

(2)斜率不為0的動直線l過點P且與橢圓C相交于M、N兩點，記PM=λPN，線段【解析】解：(1)依題意：ca=22所以橢圓C的方程是x28(2)解法一：設(shè)M(x1,相減得：(x1又由PM=λPN，知x1由MQ=λQN，知x1+λ代入(*)式得：18?x3?(-4)+0=1，即x3=-2，

又因為點Q在橢圓內(nèi)，所以(-2)28+y324<1?0<|y3|<2，

所以△OPQ的面積S=12×4|y3所以(1+λ)y2=8tt2所以y3=2λy21+λ=2λ1+λ?8t(t2+2)(1+λ)=2λ(1+λ)2?8tt2+2=2t，

因此△OPQPQ=PM+MQ=λ1-λMN+λ1+λMN=因為y1=λy4.(2022·安徽省名校聯(lián)考)已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F，離心率e=2，直線l：x=a2c與E的一條漸近線交于Q，與x軸交于P，且|FQ|=3．

(1)求E的方程；

(2)過F【解析】解：(1)由x=a2cy=bax得yQ=abc，

又|PF|=c-a2c=b2c，

∴且|FQ|2=(abc)2+(b2c)2=b2=3，

∴b=3，

又離心率e=2，∴a2+b2a2=4，∴a=1．

∴E的方程為：x2-y23=1．

(2)設(shè)過點F5.(2022·河北省模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點F(1)求雙曲線E的方程;(2)如圖，過圓O:x2+y2=1上一點M作圓O的切線l與雙曲線E的左右兩支分別交于P，Q兩點，以PQ為直徑的圓經(jīng)過雙曲線E【解析】解：(1)由ba=3|3c|2=3?c=2a=1b=3,E的方程：x2-y23=1.

(2)由已知直線l的斜率存在，設(shè)l：y=kx+m，設(shè)直線l與雙曲線E的左右兩支交于Px1,y1，Qx2,y2兩點，

所以3-k2≠0,Δ=4k2m2+4m2+3=(1+k2)x1x2+(mk-1)(x=1\*GB3①當(dāng)m=-k時，點M與右頂點A重合，不合題意舍去；=2\*GB3②當(dāng)m=2k時，代入m2=1+k2，得k2=13，k=±33，滿足條件，6.(2023·廣東省深圳市模擬)已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a,b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c>0，M(c,3)在C上，且C的離心率為2．

(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若O為坐標(biāo)原點，∠F1MF【解析】解：(1)由題意可得e=ca=2，即c=2a，b=c2-a2=3a，

又M(c,3)在C上，可得c2a2-9b2=1，

解得b=3，a=1，

則雙曲線的方程為x2-y23=1；

(2)由(1)可得M(2,3)，F(xiàn)1(-2,0)，F(xiàn)2(2,0)，

曲線D的方程為x24+y23=1，

在直角三角形MF1F2中，MF2⊥F1F2，

|MF2|=3，|F1F2|=4，|MF1|=5，7.(2023·浙江省金麗衢聯(lián)考)設(shè)雙曲線C:x2a2-y(1)求雙曲線C的方程；(2)若A-2,1,B2,1，點C在線段