高中數(shù)學(xué)選修4-4-簡單曲線的極坐標(biāo)方程

1.3簡單曲線的極坐標(biāo)方程2021/5/913、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式復(fù)習(xí)1、極坐標(biāo)系的四要素2、點(diǎn)與其極坐標(biāo)一一對應(yīng)的條件極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位及它的正方向。2021/5/92曲線的極坐標(biāo)方程一定義：如果曲線Ｃ上的點(diǎn)與方程f(,)=0有如下關(guān)系（１）曲線Ｃ上任一點(diǎn)的坐標(biāo)（所有坐標(biāo)中至少有一個(gè)）符合方程f(,)=0；（２）以方程f(,)=0的所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線Ｃ上。則曲線Ｃ的方程是f(,)=0

。2021/5/93

二求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：與直角坐標(biāo)系里的情況一樣①建系（適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系）②設(shè)點(diǎn)（設(shè)M（

，

)為要求方程的曲線上任意一點(diǎn)）③列等式（構(gòu)造⊿，利用三角形邊角關(guān)系的定理列關(guān)于M的等式）

④將等式坐標(biāo)化⑤化簡（此方程f(,)=0即為曲線的方程）2021/5/94例1.半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為(a,0)(a>0)，極坐標(biāo)方程：xC(a,0)OMA(,)

＝2acos2021/5/95OC(a,0)AxM(,)2021/5/96例2.已知圓O的半徑為r，極坐標(biāo)方程？xOrM

＝a2021/5/972021/5/98例3.半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為(a,/2)(a>0)求圓的極坐標(biāo)方程。OxMA

＝2asin2021/5/99例4.如圖，半徑為a的圓的圓心坐標(biāo)為

a>0)，圓的極坐標(biāo)方程？xOMA(,)2021/5/910例5.如圖，Ｃ(

1,

1)，半徑為r圓的極坐標(biāo)方程？2021/5/911解:設(shè)P(ρ,θ)為圓周上任意一點(diǎn),如下圖所示,在△OCP中,CP=r,OC=ρ1,OP=ρ.根據(jù)余弦定理,得CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos(θ-θ1),即r2=ρ12+ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1).也就是ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1)+(ρ12-r2)=0.

即：

2+

1

2-2

1cos(-

1)=r2這就是圓在極坐標(biāo)系中的一般方程.2021/5/912(1)中心在極點(diǎn)，半徑為a；

(2)中心在Ｃ(a,0)，半徑為a；

(3)中心在(a,/2)，半徑為a；

(4)中心在(a,

1)，半徑為a；(5)中心在Ｃ(

1,

1)，半徑為r。

＝a

＝2acos

＝2asin

2+

1

2-2

1cos(-

1)=r2圓的幾種極坐標(biāo)方程2021/5/913你可以用極坐標(biāo)方程直接來求嗎？2021/5/9142021/5/915練習(xí)21.以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)(1,1)為圓心，1為半徑的圓的方程是()2021/5/916（）A、雙曲線B、橢圓

C、拋物線D、圓D2021/5/9172021/5/918（）C2021/5/9192021/5/920思考：在平面直角坐標(biāo)系中過點(diǎn)(3,0)且與x軸垂直的直線方程為;過點(diǎn)(2,3)且與y軸垂直的直線方程為x=3y=3四直線的極坐標(biāo)方程：2021/5/921例1：⑴求過極點(diǎn)，傾斜角為的射線的極坐標(biāo)方程。oMx﹚2021/5/922（2）求過極點(diǎn)，傾斜角為的射線的極坐標(biāo)方程。（3）求過極點(diǎn)，傾斜角為的直線的極坐標(biāo)方程。和2021/5/923

和前面的直角坐標(biāo)系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標(biāo)系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，可以考慮允許極徑可以取全體實(shí)數(shù)。則上面的直線的極坐標(biāo)方程可以表示為或2021/5/924例2、求過點(diǎn)A(a,0)(a>0)，且垂直于極軸的直線L的極坐標(biāo)方程。（學(xué)生們先自己嘗試做）解：如圖，建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)ox﹚AM在中有即可以驗(yàn)證，點(diǎn)A的坐標(biāo)也滿足上式。為直線L上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OM交流做題心得歸納解題步驟：2021/5/925求直線的極坐標(biāo)方程步驟1、據(jù)題意畫出草圖；2、設(shè)點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)；3、連接MO；4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于的方程，并化簡；5、檢驗(yàn)并確認(rèn)所得的方程即為所求。2021/5/926

練習(xí)1求過點(diǎn)A(a,/2)(a>0)，且平行于極軸的直線L的極坐標(biāo)方程。解：如圖，建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)為直線L上除點(diǎn)A外的任意一點(diǎn)，連接OM在中有即可以驗(yàn)證，點(diǎn)A的坐標(biāo)也滿足上式。Mox﹚Asin

＝aIOMIsin∠AMO=IOAI2021/5/927課堂練習(xí)2設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，直線過點(diǎn)解：如圖，建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)為直線上異于A點(diǎn)的任意一點(diǎn)，連接OM，在中，由正弦定理得即顯然A點(diǎn)也滿足上方程A且與極軸所成的角為,求直線的極坐標(biāo)方程?；喌茅woMxA﹚2021/5/928例3：設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，直線過點(diǎn)P且與極軸所成的角為,求直線的極坐標(biāo)方程。oxMP﹚﹚A解：如圖，設(shè)點(diǎn)的任意一點(diǎn)，連接OM，則為直線上除點(diǎn)P外由點(diǎn)P的極坐標(biāo)知設(shè)直線L與極軸交于點(diǎn)A。則在中由正弦定理得顯然點(diǎn)P的坐標(biāo)也是上式的解。即2021/5/929練習(xí)3求過點(diǎn)P(4,/3)且與極軸夾角為/6的直線的方程。2021/5/930直線的幾種極坐標(biāo)方程1、過極點(diǎn)，傾斜角為

2、過點(diǎn)垂直于極軸4、過點(diǎn)，且與極軸成的角度3、過點(diǎn)A(a,/2)(a>0)平行