專題1.7二次函數(shù)的應(yīng)用及綜合問題（知識(shí)梳理+典例剖析+變式訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍（解析版）【蘇科版】

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題1.7二次函數(shù)的應(yīng)用及綜合問題精講精練【目標(biāo)導(dǎo)航】【知識(shí)梳理】二次函數(shù)的應(yīng)用關(guān)鍵在于建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，這就需要認(rèn)真審題，理解題意，利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，應(yīng)用最多的是根據(jù)二次函數(shù)的最值確定最大利潤(rùn)、最節(jié)省方案等問題． 應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般思路：理解題意；建立數(shù)學(xué)模型；解決題目提出的問題．（一）簡(jiǎn)單應(yīng)用對(duì)于題目明確給出兩個(gè)變量間是二次函數(shù)關(guān)系，并且給出幾對(duì)變量值，要求求出函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用（或者直接給出二次函數(shù)的解析式，進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用）．解答的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用待定系數(shù)法，準(zhǔn)確求出函數(shù)關(guān)系式．（二）建模應(yīng)用利用二次函數(shù)解決拋物線型問題，一般是先根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)計(jì)合適的二次函數(shù)的解析式，把實(shí)際問題中的已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式求解，最后要把求出的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的答案．（三）銷售問題二次函數(shù)解決銷售問題是我們生活中經(jīng)常遇到的問題，這類問題通常是根據(jù)實(shí)際條件建立二次函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)的最值或自變量在實(shí)際問題中的取值解決利潤(rùn)最大問題．（四）運(yùn)用二次函數(shù)求實(shí)際問題中的最值即解二次函數(shù)最值應(yīng)用題，設(shè)法把關(guān)于最值的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，然后按求二次函數(shù)最值的方法求解，求最值時(shí)，要注意求的答案要符合實(shí)際問題．包括二次函數(shù)在沒有限制條件下的最值，二次函數(shù)在給定范圍條件下的最值和分段函數(shù)求最值．1．二次函數(shù)在沒有限制條件下的最值：二次函數(shù)的一般式()化成頂點(diǎn)式，如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值）．2．二次函數(shù)在給定范圍條件下的最值：如果自變量的取值范圍是，如果頂點(diǎn)在自變量的取值范圍內(nèi)，則需要計(jì)算當(dāng)，，時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，比較結(jié)果，最大的函數(shù)值為最大值，最小的函數(shù)值為最小值，如果頂點(diǎn)不在此范圍內(nèi)，則只需要計(jì)算當(dāng)，時(shí)的函數(shù)值，比較結(jié)果，最大的函數(shù)值為最大值，最小的函數(shù)值為最小值（或者用二次函數(shù)的增減性來解）．（五）二次函數(shù)綜合問題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題解決此類問題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題從實(shí)際問題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問題有意義．【典例剖析】【考點(diǎn)1】二次函數(shù)的應(yīng)用：面積問題【例1】（2022秋?興化市期中）某農(nóng)場(chǎng)要建一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)ABCD，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)27m），另外三邊用木欄圍成，木欄長(zhǎng)40m．（1）若雞場(chǎng)的面積為150m2，求AB的值；（2）AB為何值時(shí)，雞場(chǎng)的面積有最大值？最大值是多少？【分析】（1）設(shè)AB長(zhǎng)為xm，則BC＝（40﹣2x）m，由x（40﹣2x）＝150求解．（2）設(shè)雞場(chǎng)面積為S，通過配方法求解．【解答】解：（1）設(shè)AB＝x米，BC＝（40﹣2x）米，根據(jù)題意得：x（40﹣2x）＝150，整理得﹣2x2+40x﹣150＝0，解得：x1＝15，x2＝5，∵40﹣2×5＝30＞27，∴x＝15．答：AB為15m．（2）設(shè)雞場(chǎng)面積為S，則S＝x（40﹣2x）＝﹣2x2+40x＝﹣2（x﹣10）2+200，∴當(dāng)x＝10時(shí)，雞場(chǎng)面積最大為200m2．答：AB為10m時(shí)，雞場(chǎng)的面積有最大值，最大面積是200m2．【變式1.1】（2022秋?徐州期中）如圖，某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為10m），另外三面用柵欄圍成，已知柵欄總長(zhǎng)度為18m，設(shè)矩形垂直于墻的一邊，即AB的長(zhǎng)為xm．（1）若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的面積為36m2，求此時(shí)的x的值；（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的面積最大？最大值是多少？【分析】（1）根據(jù)矩形的面積＝36列出方程，解方程去符合條件的x的取值即可；（2）根據(jù)矩形的面積公式列出函數(shù)解析式，并根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和x的取值范圍求最值．【解答】解：（1）由題意得：x（18﹣2x）＝36，整理得：x2﹣9x+18＝0，解得x1＝3，x2＝6，∵18﹣2x≤10，∴x≥4，∴x＝6；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的面積為y平方米，由題意得：y＝x（18﹣2x）＝﹣2x2+18x＝﹣2（x﹣）+，∵﹣2＜0，4≤x＜18，∴當(dāng)x＝時(shí)，y最大，最大值為，答：當(dāng)x為4.5米時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的面積最大，最大值是平方米．【變式1.2】（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）某農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃建造一個(gè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場(chǎng)一面靠墻（墻的長(zhǎng)度為13m，另外三面用棚欄圍成，中間再用棚欄把它分成兩個(gè)面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長(zhǎng)度為24m，設(shè)較小矩形的寬為xm（如圖）．（1）若矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積為36m2，求此時(shí)x的值；（2）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大？最大值為多少？【分析】（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長(zhǎng)為＝（8﹣x）m，可得（x+2x）×（8﹣x）＝36，解方程取符合題意的解，即可得x的值為2；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積是ym2，根據(jù)墻的長(zhǎng)度為13m，可得0＜x≤，而y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，由二次函數(shù)性質(zhì)即得當(dāng)x＝4時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大值為48m2．【解答】解：（1）根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長(zhǎng)為＝（8﹣x）m，∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，解得x＝2或x＝6，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6時(shí)，3x＝18＞13，不符合題意，舍去，∴x＝2，答：此時(shí)x的值為2；（2）設(shè)矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積是ym2，∵墻的長(zhǎng)度為13m，∴0＜x≤，根據(jù)題意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＝4時(shí)，y取最大值，最大值為48，答：當(dāng)x＝4時(shí)，矩形養(yǎng)殖場(chǎng)的總面積最大，最大面積為48m2．【變式1.3】（2022秋?連云區(qū)校級(jí)月考）已知一個(gè)包裝盒的表面展開圖如圖．（1）若此包裝盒的容積為1125cm3，請(qǐng)列出關(guān)于x的方程，并求出x的值；（2）是否存在這樣的x的值，使得此包裝盒的容積最大？若存在，請(qǐng)求出相應(yīng)的x的值和最大容積；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）利用其容積等于1125cm3，列出有關(guān)x的一元二次方程求解即可；（2）設(shè)此包裝盒的容積是ycm3，可得y＝15x（20﹣x）＝﹣15x2+300x＝﹣15（x﹣10）2+1500，由二次函數(shù)性質(zhì)得x的值是10時(shí)，此包裝盒的容積最大為1500cm3．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：15x（﹣x）＝1125，整理得：x2﹣20x+75＝0，解得：x＝15或x＝5，答：關(guān)于x的方程為15x（﹣x）＝1125，x的值為15或5；（2）存在x的值，使得此包裝盒的容積最大，理由如下：設(shè)此包裝盒的容積是ycm3，根據(jù)題意得：y＝15x（20﹣x）＝﹣15x2+300x＝﹣15（x﹣10）2+1500，∵﹣15＜0，∴x＝10時(shí)，y取最大值，最大值為1500，∴x的值是10時(shí)，此包裝盒的容積最大為1500cm3．【考點(diǎn)2】二次函數(shù)的應(yīng)用：表格問題【例2】（2022春?江陰市校級(jí)月考）據(jù)統(tǒng)計(jì)，某景區(qū)僅有A，B兩個(gè)景點(diǎn)，售票處出示的三種購票方式如表所示：購票方式甲乙丙可游玩景點(diǎn)ABA和B門票價(jià)格100元/人80元/人160元/人據(jù)預(yù)測(cè)，六月份選擇甲、乙、丙三種購票方式的人數(shù)分別有2萬、3萬和2萬．并且當(dāng)甲、乙兩種門票價(jià)格不變時(shí)，丙種門票價(jià)格每下降1元，將有600人原計(jì)劃購買甲種門票的游客和400人原計(jì)劃購買乙種門票的游客改為購買丙種門票．①若丙種門票價(jià)格下降10元，求景區(qū)六月份的門票總收入；②問：將丙種門票價(jià)格下降多少元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值？最大值是多少萬元？【分析】①根據(jù)題意丙種門票價(jià)格下降10元，列式100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）計(jì)算，即可求景區(qū)六月份的門票總收入；②設(shè)丙種門票價(jià)格降低m元，景區(qū)六月份的門票總收入為W萬元，由題意可得W＝100（2﹣0.06x）+80（3﹣0.04x）+（160﹣x）（2+0.06x+0.04x），化簡(jiǎn)得W＝﹣0.1（x﹣24）2+817.6，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果．【解答】解：①由題意得：100×（2﹣10×0.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（2+10×0.06+10×0.04）＝798（萬元）．答：景區(qū)六月份的門票總收入為798萬元；②設(shè)丙種門票價(jià)格降低x元，景區(qū)六月份的門票總收入為W萬元，由題意，得W＝100（2﹣0.06x）+80（3﹣0.04x）+（160﹣x）（2+0.06x+0.04x），化簡(jiǎn)，得W＝﹣0.1（x﹣24）2+817.6，∵﹣0.1＜0，∴當(dāng)x＝24時(shí)，W取最大值，為817.6萬元．答：當(dāng)丙種門票價(jià)格下降24元時(shí)，景區(qū)六月份的門票總收入有最大值，最大值是817.6萬元．【變式2.1】（2022秋?海安市校級(jí)月考）某商家獨(dú)家銷售具有地方特色的某種商品，每件進(jìn)價(jià)為40元，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，一周的銷售量y件與銷售單價(jià)x（x＞50）元/件的關(guān)系如表：銷售單價(jià)x（元/件）…55607075…一周的銷售量y（件）…450400300250…（1）試銷過程發(fā)現(xiàn)，一周銷量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元/件）之間關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)一周的銷售利潤(rùn)為S元，請(qǐng)求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，并確定當(dāng)銷售單價(jià)在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，一周的銷售利潤(rùn)不低于8000元？（3）在雅安地震發(fā)生時(shí)，商家已將商品一周的銷售利潤(rùn)全部寄往災(zāi)區(qū)，已知商家購進(jìn)該商品的貨款不超過10000元，請(qǐng)你分析該商家當(dāng)時(shí)最大捐款數(shù)額是多少元？【分析】（1）設(shè)y＝kx+b，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，求出k、b的值，即可得出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)利潤(rùn)＝（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）×銷售量，列出函數(shù)關(guān)系式，繼再利用銷售利潤(rùn)為8000，進(jìn)而得出銷售單價(jià)的范圍；（3）根據(jù)購進(jìn)該商品的貸款不超過10000元，求出進(jìn)貨量，然后求最大銷售額即可．【解答】解：（1）設(shè)y＝kx+b，由題意得，，解得：，則函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣10x+1000（x≥50）；（2）由題意得，S＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，當(dāng)S＝8000時(shí)，8000＝﹣10（x﹣70）2+9000，解得：x1＝60，x2＝80，∵﹣10＜0，∴函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝70，∴當(dāng)60＜x＜80時(shí)，銷售利潤(rùn)一周的銷售利潤(rùn)不低于8000元；（3）∵由40（﹣10x+1000）≤10000解得：x≥75，又由于最大進(jìn)貨量為：y＝10000÷40＝250，由題意可知，當(dāng)x＝75時(shí)，可以銷售250件商品，結(jié)合圖形，故此時(shí)利潤(rùn)最大．S＝250×（75﹣40）＝8750（元），∴該商家在10000元內(nèi)的進(jìn)貨條件下，最大捐款為8750元．【變式2.2】（2022秋?如東縣期中）某汽車4S店銷售A，B兩種型號(hào)的轎車，具體信息如下表：每輛進(jìn)價(jià)（萬元）每輛售價(jià)（萬元）每季度銷量（輛）A60x﹣x+100B50y﹣2y+150（注：廠家要求4S店每季度B型轎車的銷量是A型轎車銷量的2倍．）根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）用含x的代數(shù)式表示y；（2）今年第三季度該4S店銷售A，B兩種型號(hào)轎車的利潤(rùn)恰好相同（利潤(rùn)不為0），試求x的值；（3）求該4S店第四季度銷售這兩種轎車能獲得的最大利潤(rùn)．【分析】（1）根據(jù)4S店每季度B型轎車的銷量是A型轎車銷量的2倍列出等量關(guān)系，化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)該4S店銷售A，B兩種型號(hào)轎車的利潤(rùn)恰好相同列出方程，解方程求出的解滿足利潤(rùn)不為0；（3）設(shè)該4S店第四季度銷售這兩種轎車能獲得的利潤(rùn)為w萬元，根據(jù)總利潤(rùn)＝銷售A，B兩種車的利潤(rùn)之和列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：﹣2y+150＝2（﹣x+100），整理得：y＝x﹣25；（2）根據(jù)題意得：（x﹣60）（﹣x+100）＝（y﹣50）（﹣2y+150），由（1）知，y＝x﹣25，∴（x﹣60）（﹣x+100）＝（x﹣75）（﹣2x+200），整理得：x2﹣190x+9000＝0，解得x1＝90，x2＝100，∵x＝100時(shí)利潤(rùn)為0，∴x的值為90；（3）設(shè)該4S店第四季度銷售這兩種轎車能獲得的利潤(rùn)為w萬元，則w＝（x﹣60）（﹣x+100）+（y﹣50）（﹣2y+150）＝（x﹣60）（﹣x+100）+（x﹣75）（﹣2x+200）＝﹣3x2+510x﹣21000＝﹣3（x﹣85）2+675，∵﹣3＜0，∴當(dāng)x＝85時(shí)，w有最大值，最大值為675，答：該4S店第四季度銷售這兩種轎車能獲得的最大利潤(rùn)為675萬元．【變式2.3】（2020秋?東臺(tái)市月考）近期江蘇省各地均發(fā)布“霧霾”黃色預(yù)警，我市某口罩廠商生產(chǎn)一種新型口罩產(chǎn)品，每件制造成本為18元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（萬件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系滿足下表．銷售單價(jià)x（元/件）……20253040……每月銷售量y（萬件）……60504020……（1）若y是x的一次函數(shù)，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+100；（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月獲得的利潤(rùn)為440萬元？（3）如果廠商每月的制造成本不超過540萬元，那么當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，廠商每月獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少萬元？【分析】（1）設(shè)y＝kx+b，用待定系數(shù)法可得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+100，（2）根據(jù)題意得：（x﹣18）（﹣2x+100）＝440，即可解得當(dāng)銷售單價(jià)為40元或28元時(shí)，廠商每月獲得的利潤(rùn)為440萬元；（3）根據(jù)廠商每月的制造成本不超過540萬元，得﹣2x+100≤30，解得x≥35，設(shè)廠商每月獲得的利潤(rùn)是w萬元，w＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）2+512，由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)銷售單價(jià)為35元時(shí)，廠商每月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為510萬元．【解答】解：（1）設(shè)y＝kx+b，將（20，60），（30，40）代入得：，解得，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+100，故答案為：y＝﹣2x+100；（2）根據(jù)題意得：（x﹣18）（﹣2x+100）＝440，解得x＝40或x＝28，答：當(dāng)銷售單價(jià)為40元或28元時(shí)，廠商每月獲得的利潤(rùn)為440萬元；（3）∵廠商每月的制造成本不超過540萬元，∴y≤，即﹣2x+100≤30，解得x≥35，設(shè)廠商每月獲得的利潤(rùn)是w萬元，w＝（x﹣18）（﹣2x+100）＝﹣2x2+136x﹣1800＝﹣2（x﹣34）2+512，∵﹣2＜0，對(duì)稱軸為直線x＝34，∴x＝35時(shí)，w取最大值，最大值為﹣2×（35﹣34）2+512＝510（萬元），答：當(dāng)銷售單價(jià)為35元時(shí)，廠商每月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為510萬元．【考點(diǎn)3】二次函數(shù)的應(yīng)用：銷售圖象問題【例3】（2021秋?漣水縣期末）某超市銷售一批成本為20元/千克的綠色健康食品，深受游客青睞．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該食品每天的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示．（1）求該食品每天的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若超市按售價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于40元銷售，則銷售單價(jià)定為多少，才能使銷售該食品每天獲得的利潤(rùn)W（元）最大？最大利潤(rùn)是多少？【分析】（1）將點(diǎn)（25，130）、（35，110）代入一次函數(shù)表達(dá)式，用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)利潤(rùn)＝每千克的利潤(rùn)×銷售量列出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）設(shè)每天的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，由圖象得：，解得：，∴每天的銷售量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+180；（2）W＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+180）＝﹣2x2+220x﹣3600，∴函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝55，∵﹣2＜0，20≤x≤40，∴當(dāng)x≤55時(shí)，W隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝40時(shí)，W有最大值，最大值為2000，∴銷售單價(jià)定為40元時(shí)，才能使銷售該食品每天獲得的利潤(rùn)W（元）最大，最大利潤(rùn)是2000元．【變式3.1】（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)月考）云南某星級(jí)酒店共有50個(gè)房間供給受疫情影響需要隔離的人員居住，每間房?jī)r(jià)不低于200元且不超過350元，酒店還需對(duì)隔離人員居住的每個(gè)房間每天支出各種費(fèi)用共計(jì)120元已知需要隔離的人員居住的房間數(shù)y（單位：間）和每個(gè)房間定價(jià)x（單位：元）符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖是y關(guān)于x的函數(shù)圖象．（1）求y與x之間的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)房?jī)r(jià)定為多少元時(shí)，酒店利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【分析】（1）根據(jù)圖象設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝kx+b，然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)酒店利潤(rùn)數(shù)＝單個(gè)房間的利潤(rùn)×隔離人員居住房間數(shù)列出二次函數(shù)的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題．【解答】解：（1）由題意，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝kx+b，把（280，40），（290，38）代入得：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)解析式為y＝﹣x+96（200≤x≤350）；（2）設(shè)酒店的利潤(rùn)為w元，則w＝（x﹣120）y＝（x﹣120）（﹣x+96）＝﹣x2+120x﹣11520＝﹣（x﹣300）2+6480，∵﹣＜0，230≤x≤350∴當(dāng)x＝300時(shí)，w取得最大值，最大值為6480元，答：當(dāng)每間房?jī)r(jià)定價(jià)為300元時(shí)，酒店每天所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是6480元．【變式3.2】（2022?淮陰區(qū)校級(jí)一模）近年來，電動(dòng)車駕駛安全越來越被重視．某商店銷售頭盔，每個(gè)進(jìn)價(jià)50元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，當(dāng)售價(jià)為60元時(shí)，每月可銷售300個(gè)；售價(jià)每增加1元，銷售量將減少10個(gè)．為了提高銷售量，當(dāng)售價(jià)為80元時(shí)，啟用網(wǎng)絡(luò)主播直播帶貨，此時(shí)售價(jià)每增加1元，需支付給主播300元．物價(jià)局對(duì)此頭盔規(guī)定：售價(jià)最高不超過110元．如圖中的折線ABC表示該品牌頭盔的銷售量y（單位：個(gè)）與售價(jià)x（單位：元）之間的函數(shù)關(guān)系．（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)（80，100），并求線段BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）啟用網(wǎng)絡(luò)主播直播帶貨后，當(dāng)售價(jià)為多少元時(shí)，該商家獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【分析】（1）當(dāng)x＝80時(shí)，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即點(diǎn)B（80，100），設(shè)線段BC的表達(dá)式為：y＝kx+b，將點(diǎn)（80，100）、（110，250）代入上式，即可求解；（2）當(dāng)60≤x≤80時(shí)，w＝（x﹣50）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣70）2+4000，當(dāng)80≤x≤110時(shí)，w＝（x﹣50）（5x﹣300）＝5（x﹣85）2+2875，分別求取最大值，即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)x＝80時(shí)，y＝300﹣10×（80﹣60）＝100，即點(diǎn)B（80，100），設(shè)線段BC的表達(dá)式為：y＝kx+b，將點(diǎn)（80，100）、（110，250）代入上式得：，解得，故線段BC對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y＝5x﹣300；故答案為：（80，100）；（2）設(shè)啟用網(wǎng)絡(luò)主播直播帶貨后，獲得的利潤(rùn)為w元，當(dāng)80≤x≤110時(shí)，w＝（x﹣50）（5x﹣300）﹣300（x﹣80）＝5（x﹣85）2+2875，當(dāng)x＝110時(shí)，w取得最大值為6000，故當(dāng)80≤x≤85時(shí)，w隨x的增大而減小，即w≤3000，當(dāng)85≤x≤110時(shí)，w隨x的增大而增大，即w≤15250．故當(dāng)x＝110時(shí)，w的值最大；綜上，當(dāng)售價(jià)為110元時(shí)，該商家獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為6000．【變式3.3】（2022春?豐縣月考）某商場(chǎng)購進(jìn)一種每件成本為100元的新商品，在商場(chǎng)試銷發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)x（元/件）與每天銷售量y（件）之間滿足如圖所示的關(guān)系：（1）求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）寫出每天的利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）疫情期間，有關(guān)部門規(guī)定每件商品的利潤(rùn)率不得超過30%，那么將售價(jià)定為多少，來保證每天獲得的總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)率＝利潤(rùn)÷成本×100%）（4）疫情過后，有關(guān)部門規(guī)定每件商品的利潤(rùn)率不得超過50%，每銷售一件商品便向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)a元（10≤a≤25），捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn)，該商品每天銷售的總利潤(rùn)仍隨著售價(jià)的增大而增大．請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．【分析】（1）設(shè)與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法可求出其解析式，再求出x的取值范圍即可；（2）根據(jù)利潤(rùn)﹣（售價(jià)﹣單價(jià)）x銷售量，即可得出答案；（3）根據(jù)題意可求出的取值范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案；（4）根據(jù)題意可求出x的取值范圍和W與xa的關(guān)系式，再將其配方，根據(jù)該商品每天銷售的總利潤(rùn)仍隨著售價(jià)的增大而增大，即可得出關(guān)于a的不等式，解出a的解集即可得出答案．【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），由所給函數(shù)圖象可知：，解得：．∴y＝﹣x+180，令y＝0，則﹣x+180＝0，解得：x＝180．故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+180（100＜x≤180）；（2）∵y＝﹣x+180，∴W＝（x﹣100）y＝（x﹣100）（﹣x+180），＝﹣x2+280x﹣18000，即每天的利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式為W＝﹣x2+280x﹣18000（100＜x≤180）；（3）根據(jù)題意可得：≤30%，解得：x≤130，∴100＜x≤130，∵W＝﹣x2+280x﹣18000＝﹣（x﹣140）2+1600，∴當(dāng)x＝130時(shí)，W有最大值，且Wmax＝﹣（130﹣140）2+1600＝1500（元）．故將售價(jià)定為130元，每天獲得的總利潤(rùn)最大，最大總利潤(rùn)是1500元．（4）根據(jù)題意可知≤50%，解得：x≤150，W＝﹣x2+280x﹣18000﹣a（﹣x+180）＝﹣[x﹣（140+）]2+﹣40a+1600，∵該商品每天銷售的總利潤(rùn)仍隨著售價(jià)的增大而增大，∴140+≥150，解得：a≥20，∵10≤a≤25，∴20≤a≤25．【考點(diǎn)4】二次函數(shù)的應(yīng)用：最大利潤(rùn)【例4】（2022春?崇川區(qū)校級(jí)月考）在“鄉(xiāng)村振興”行動(dòng)中，某村辦企業(yè)以A，B兩種農(nóng)作物為原料開發(fā)了一種有機(jī)產(chǎn)品，A原料的單價(jià)是B原料單價(jià)的1.5倍．若用900元收購A原料會(huì)比用900元收購B原料少100kg，生產(chǎn)該產(chǎn)品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒還需其它成本9元．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價(jià)是60元時(shí)，每天可以銷售500盒；每漲價(jià)1元，每天少銷售10盒．（1）求每盒產(chǎn)品的成本（成本＝原料費(fèi)+其它成本）；（2）若每盒產(chǎn)品漲價(jià)x元（x≤12，且x為整數(shù)），每天的利潤(rùn)是w元，①求w與x的函數(shù)解析式（不需要寫出自變量的取值范圍）；②若要使該產(chǎn)品銷售過程中的日利潤(rùn)不低于15750元，不超過15990元，請(qǐng)直接寫出x的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意列方程先求出兩種原料的單價(jià)，再根據(jù)成本＝原料費(fèi)+其他成本計(jì)算每盒產(chǎn)品的成本即可；（2）①根據(jù)利潤(rùn)等于售價(jià)減去成本列出函數(shù)關(guān)系式即可；②根據(jù)①中的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．【解答】解：（1）設(shè)B原料單價(jià)為m元，則A原料單價(jià)為1.5m元，根據(jù)題意，得﹣＝100，解得m＝3，經(jīng)檢驗(yàn)，m＝3是方程的解，∴1.5m＝4.5，∴每盒產(chǎn)品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元），答：每盒產(chǎn)品的成本為30元；（2）①根據(jù)題意，得w＝（30+x）（500﹣10x）＝﹣10x2+200x+15000，∴w關(guān)于x的函數(shù)解析式為：w＝﹣10x2+200x+15000；②由①知w＝﹣10x2+200x+15000＝﹣10（x﹣10）2+16000，當(dāng)﹣10x2+200x+15000＝15750時(shí)，x＝5或15，當(dāng)﹣10x2+200x+15000＝15990時(shí)，x＝11或9，所以當(dāng)年日利潤(rùn)不低于15750元，不超過15990元，5≤x≤9或11≤x≤15．【變式4.1】（2022?射陽縣一模）新冠疫情爆發(fā)后，某超市發(fā)現(xiàn)使用濕巾紙量變大，其中A種濕巾紙售價(jià)為每包18元；B種濕巾紙售價(jià)為每包12元．該超市決定購進(jìn)一批這兩種濕巾紙，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查得知，購進(jìn)2包A種濕巾紙與購進(jìn)3包B種濕巾紙的費(fèi)用相同，購進(jìn)10包A種濕巾紙和購進(jìn)6包B種濕巾紙共需168元．（1）求A、B兩種濕巾紙的進(jìn)價(jià)．（2）該超市平均每天可售出40包A種濕巾紙，后來經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A種濕巾紙單價(jià)每降低1元，則平均每天的銷量可增加8包．為了盡量讓顧客得到更多的優(yōu)惠，該超市將A種濕巾紙調(diào)整售價(jià)后，當(dāng)天銷售A種濕巾紙獲利224元，那么A種濕巾紙的單價(jià)降了多少元？（3）該超市準(zhǔn)備購進(jìn)A、B兩種濕巾紙共600包，其中B種濕巾紙的數(shù)量不少于A種濕巾紙數(shù)量的兩倍．請(qǐng)為該超市設(shè)計(jì)獲利最大的進(jìn)貨方案，并求出最大利潤(rùn)．【分析】（1）設(shè)A種濕巾紙的進(jìn)價(jià)為x元，B種濕巾紙的進(jìn)為y元．根據(jù)“購進(jìn)2包A種濕巾紙與購進(jìn)3包B種濕巾紙的費(fèi)用相同．購進(jìn)10包A種濕巾紙和購進(jìn)6包B種濕巾紙共需168元建立方程組，解方程組即可得；（2）設(shè)種濕巾紙的單價(jià)降了a元，根據(jù)當(dāng)天銷售A種濕巾紙獲利224元建立方程，解方程即可得．（3）設(shè)購進(jìn)種濕巾紙m包，該超市獲得利潤(rùn)為W元，則購進(jìn)B種濕巾紙（600﹣m）包，先求出W與m之間的函數(shù)關(guān)系式，再求出m的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可得．【解答】解：（1）設(shè)種濕巾紙的進(jìn)價(jià)為x元，B種濕巾紙的進(jìn)價(jià)為y元，由題意得：，解得，答：A種濕巾紙的進(jìn)價(jià)為12元，B種濕巾紙的進(jìn)價(jià)為8元．（2）設(shè)A種濕巾紙的單價(jià)降了a元，由題意得：（40+8a）（18﹣a﹣12）＝224，解得a＝2或a＝﹣1（不符題意，舍去）．答：A種濕巾紙的單價(jià)降了2元．（3）設(shè)購進(jìn)種濕巾紙m包，該超市獲得利潤(rùn)為W元，則購進(jìn)B種濕巾紙（600﹣m）包，由題意得：W＝（18﹣12）m+（12﹣8）（600﹣m）＝2m+2400，∵B種濕巾紙的數(shù)量不少于A種濕巾紙數(shù)量的兩倍，∴，解得0＜m≤200，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)0＜m≤200時(shí)，w隨m的增大而增大，則當(dāng)m＝200時(shí)，W取得最大值，最大值為2×200+2400＝2800，答：該超市獲利最大的進(jìn)貨方案是購進(jìn)A種濕巾紙200包，購進(jìn)B種濕巾紙400包，最大利潤(rùn)為2800元．【變式4.2】（2022?南京二模）某農(nóng)場(chǎng)有100畝土地對(duì)外出租，現(xiàn)有兩種出租方式：方式一：若每畝土地的年租金是400元，則100畝土地可以全部租出．每畝土地的年租金每增加5元土地少租出1畝．方式二：每畝土地的年租金是600元．（1）若選擇方式一，當(dāng)出租80畝土地時(shí)，每畝年租金是500元；（2）當(dāng)土地出租多少畝時(shí)，方式一與方式二的年總租金差最大？并求出最大值；（3）農(nóng)場(chǎng)熱心公益事業(yè)，若選擇方式一，農(nóng)場(chǎng)每租出1畝土地捐出a元（a＞0）給慈善機(jī)構(gòu)；若選擇方式二，農(nóng)場(chǎng)一次性捐款1800元給慈善機(jī)構(gòu)．當(dāng)租出的土地小于60畝時(shí)，方式一的年收入高于方式二的年收入，直接寫出a的取值范圍．（注：年收入＝年總租金﹣捐款數(shù)）【分析】（1）根據(jù)年租金＝400+5（100﹣?zhàn)獬鋈サ漠€數(shù)）即可求解；（2）設(shè)出租的土地為x畝，根據(jù)題意分別求出方式一和方式二的租金，然后做差，用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）先求出方式一和方式二的年收入，再做差，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最小值，再根據(jù)當(dāng)租出的土地小于60畝時(shí)，方式一的年收入高于方式二的年收入求出a的取值范圍．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：400+5（100﹣80）＝400+100＝500（元），故答案為：500元；（2）設(shè)出租的土地為x畝，方式一年總租金為y1元，根據(jù)題意，得y1＝[400+5（100﹣x）]?x＝﹣5x2+900x，方式二年總租金為y2元，根據(jù)題意，得y2＝600x，∴y1﹣y2＝﹣5x2+900x﹣600x＝﹣5（x﹣30）2+4500，∴當(dāng)x＝30時(shí)，y1﹣y2有最大值4500，∴當(dāng)土地出租30畝時(shí)，方式一與方式二的年總租金差最大，最大值為4500元；（3）設(shè)出租x畝土地，方式一的年收入為：﹣5x2+900x﹣ax，方式二的年收入為：600x﹣1800，設(shè)方式一與方式二的年總收入差為w元，由題意可得：w＝﹣5x2十900x﹣ax﹣600x+1800＝﹣5x2+（300﹣a）x+1800∴對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝30﹣a，∵a＞0，∴對(duì)稱軸直線x＝30﹣a＜30，∵0＜x≤60，∴當(dāng)x＝60時(shí)，w取得最小值w60＝﹣5×602+（300﹣a）×60+1800＝﹣60a+1800，租出的土地小于60畝時(shí)，方式一的年收入高于方式二的年收入，則w60＝﹣60a+1800≥0，即60a≤1800，解得：a≤30，∵a＞0，∴a的取值范圍是0＜a≤30．【變式4.3】（2022春?錫山區(qū)期中）某商店出售一款電動(dòng)玩具，進(jìn)價(jià)為每件30元，銷售一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)，該玩具的日銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，其銷售單價(jià)、日銷售量的三組對(duì)應(yīng)數(shù)值如表：銷售單價(jià)x（元/件）505570日銷售量y（件）706550（1）請(qǐng)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該商店銷售這款玩具獲得的最大日利潤(rùn)；（3）銷售一段時(shí)間以后，由于原材料成本上漲，該款玩具的進(jìn)價(jià)每件增加了10元，但物價(jià)部門為了規(guī)范市場(chǎng)經(jīng)營(yíng)秩序，規(guī)定銷售單價(jià)不能超過a元/件，在日銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）保持（1）中函數(shù)關(guān)系不變的情況下，該玩具的日銷售最大利潤(rùn)是1500元，求a的值．【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法得關(guān)系式．（2）根據(jù)利潤(rùn)等于每件的利潤(rùn)乘以件數(shù)，再利用配方法求出最值．（3）將1500元代入新函數(shù)，先求解的值，再根據(jù)最大利潤(rùn)為1500元進(jìn)行檢驗(yàn)即可得到的a．【解答】解：∵該玩具的日銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，∴設(shè)解析式為y＝kx+b，由表中數(shù)據(jù)得，解得：，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+120；（2）設(shè)獲得的日利潤(rùn)為w元，由題意得：w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+120）＝﹣x2+150x﹣3600＝﹣（x﹣75）2+2025，∵，∴30≤x≤120，∵﹣1＜0，∴當(dāng)x＝75時(shí)，w有最大值，最大值為2025，∴該商店銷售這款玩具獲得的最大日利潤(rùn)為2025元；（3）∵玩具的進(jìn)價(jià)每件增加了10元，∴進(jìn)價(jià)為：40元，設(shè)此時(shí)的利潤(rùn)為M元，∴M＝y(tǒng)（x﹣40）＝（﹣x+120）（x﹣40）＝﹣x2+160x﹣4800＝﹣（x﹣80）2+1600，∵，∴40≤x≤120，∵該玩具的日銷售最大利潤(rùn)是1500元，∴﹣（x﹣80）2+1600＝1500，解得：x＝90或x＝70，∵當(dāng)x＝90時(shí)，最大利潤(rùn)可以達(dá)到1600元，不合題意，∴a＝70．【考點(diǎn)5】二次函數(shù)的應(yīng)用：拋物型問題【例5】（2022春?崇川區(qū)期末）5月19日，崇川區(qū)進(jìn)行了一次全民核酸檢測(cè)，某小區(qū)上午6點(diǎn)開始檢測(cè)，居民陸續(xù)到采集點(diǎn)排隊(duì)，7點(diǎn)20后排隊(duì)不再新增人數(shù)，秀秀就排隊(duì)采樣的時(shí)間和人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到下表：時(shí)間x（分鐘）020406080859095100人數(shù)y（人）80150200230240180120600秀秀把數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系里描點(diǎn)連線，得到如圖所示函數(shù)圖象：當(dāng)0≤x≤80，y是x的二次函數(shù)；當(dāng)80＜x≤100，y是x的一次函數(shù)．（1）如果B是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，求二次函數(shù)解析式；（2）若排隊(duì)人數(shù)在200人及以上，即為滿負(fù)荷狀態(tài)，問滿負(fù)荷狀態(tài)持續(xù)的時(shí)間多長(zhǎng)？【分析】（1）將A，B點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中即可；（2）利用待定系數(shù)法將一次函數(shù)解析式求出來，然后將y＝200分別代入兩個(gè)函數(shù)求出x，相減即可得出答案．【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)解析式為：y＝a（x﹣80）2+240，將A（0，80）代入得a＝﹣，∴二次函數(shù)解析式為：y＝﹣（x﹣80）2+240＝﹣x2+4x+80；（2）設(shè)BC的解析式為：y＝kx+b，將C（80，240），D（100，0）代入，得：，解得：，∴CD的解析式為：y＝﹣12x+1200，將y＝200代入y＝﹣x2+4x+80中，得：x2﹣160x+4800，解得：x＝40或x＝120（舍去），將y＝200代入y＝﹣12x+1200中，得：﹣12x+1200＝200，解得：x＝，∵﹣40＝，∴滿負(fù)荷狀態(tài)的時(shí)間為分．【變式5.1】（2022?玄武區(qū)二模）跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)的比賽項(xiàng)目．如圖，運(yùn)動(dòng)員通過助滑道后在點(diǎn)A處騰空，在空中沿拋物線飛行，直至落在著陸坡BC上的點(diǎn)P處．騰空點(diǎn)A到地面OB的距離OA為70m，坡高OC為60m，著陸坡BC的坡度（即tanα）為3：4．以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．已知這段拋物線經(jīng)過點(diǎn)（4，75），（8，78）．（1）求這段拋物線表示的二次函數(shù)表達(dá)式；（2）在空中飛行過程中，求運(yùn)動(dòng)員到坡面BC豎直方向上的最大距離；（3）落點(diǎn)P與坡頂C之間的距離為50m．【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2+bx+c，把（0，70）（4，75）（8，78）代入可得關(guān)系式；（2）作MN∥y軸分別交拋物線和BC于M、N兩點(diǎn)，先求出BC的關(guān)系式，再分別表示出M、N的縱坐標(biāo)，計(jì)算縱坐標(biāo)的差可得答案；（3）計(jì)算拋物線和線段BC的交點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）∵OA為70m，∴A（0，70），設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2+bx+c，把（0，70）（4，75）（8，78）代入得，解得，所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+x+70；（2）如圖，作MN∥y軸分別交拋物線和BC于M、N兩點(diǎn)，∵坡高OC為60m，著陸坡BC的坡度（即tanα）為3：4，∴OB＝80m，即B（80，0），設(shè)線段BC的關(guān)系式為y＝kx+b，則，解得：，所以線段BC的關(guān)系式為y＝﹣x+60，設(shè)M（a，﹣a2+a+70），則N（a，﹣a+60），則MN＝﹣a2+a+70+﹣60＝﹣a2+a+10＝﹣（a﹣18）2+30.25，答：運(yùn)動(dòng)員到坡面BC豎直方向上的最大距離是30.25米；（3）如圖，由題意得﹣x2+x+70＝﹣x+60，解得x1＝40，x2＝﹣4（舍去），即P（40，30），∴PD＝40米，OD＝30米，∴CD＝60﹣30＝30（米），∴PC＝＝50（米），答：落點(diǎn)P與坡頂C之間的距離為50米，故答案為：50．【變式5.2】（2022秋?如皋市校級(jí)月考）如圖①，一個(gè)可調(diào)節(jié)高度的噴灌架噴射出的水流可以近似地看成拋物線．圖②是噴射出的水流在平面直角坐標(biāo)系中的示意圖，其中噴灌架置于點(diǎn)O處，噴水頭的高度（噴水頭距噴灌架底部的距離）設(shè)置的是1米，當(dāng)噴射出的水流距離噴水頭水平距離為8米時(shí)，達(dá)到最大高度5米．（1）求水流運(yùn)行軌跡的函數(shù)解析式；（2）若在距噴灌架12米處有一棵3.5米高的果樹，問：水流是否會(huì)碰到這棵果樹？請(qǐng)通過計(jì)算說明．【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣8）2+5，用待定系數(shù)法求得解析式；（2）將x＝12代入（1）中所求代數(shù)式，再跟3.5進(jìn)行比較．【解答】解：（1）由題可知：拋物線的頂點(diǎn)為（8，5），設(shè)水流形成的拋物線為y＝a（x﹣8）2+5，將點(diǎn)（0，1）代入可得a＝﹣，∴拋物線為：y＝﹣（x﹣8）2+5．（2）能，理由如下：當(dāng)x＝12時(shí)，y＝﹣（12﹣8）2+5＝4＞3.5，∴水流不能碰到這棵果樹．【變式5.3】（2022秋?如東縣期中）嘉嘉進(jìn)行鉛球訓(xùn)練，他嘗試?yán)脭?shù)學(xué)模型來研究鉛球的運(yùn)動(dòng)情況．他以水平方向?yàn)閤軸方向，1m為單位長(zhǎng)度，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，鉛球從y軸上的點(diǎn)A處出手，運(yùn)動(dòng)路徑可看作拋物線，嘉嘉某次試投時(shí)，鉛球行進(jìn)高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝﹣（x﹣4）2+3．如圖，B是該函數(shù)圖象上的一點(diǎn)．（1）畫出該函數(shù)的大致圖象；（2）若鉛球推出的距離不小于9m，成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀．請(qǐng)通過計(jì)算，判斷嘉嘉此次試投的成績(jī)是否能達(dá)到優(yōu)秀．【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖象即可；（2）根據(jù)題意解方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）函數(shù)圖象如圖所示；（2）解：令y＝0，得﹣（x﹣4）2+3＝0，解得x1＝10，x2＝﹣2（C在x軸正半軸，故舍去），∴拋物線與x軸的坐標(biāo)為（10，0）．∴鉛球推出的距離為10m，∵若鉛球推出的距離不小于9m，成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀，∴嘉嘉此次試投的成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀．【考點(diǎn)6】二次函數(shù)的應(yīng)用：分段函數(shù)問題【例6】（2022春?睢寧縣月考）因?yàn)橐咔?，體育中考中考生進(jìn)入考點(diǎn)需檢測(cè)體溫．防疫部門為了解學(xué)生錯(cuò)峰進(jìn)入考點(diǎn)進(jìn)行體溫檢測(cè)的情況，調(diào)查了一所學(xué)校某天上午考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)y（人）與時(shí)間x（分鐘）的變化情況，數(shù)據(jù)如表：時(shí)間x（分鐘）01234567899＜x≤15人數(shù)y（人）0170320450560650720770800810810（1）研究表中數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)9分鐘內(nèi)考生進(jìn)入考點(diǎn)的累計(jì)人數(shù)是時(shí)間的二次函數(shù)，請(qǐng)求出9分鐘內(nèi)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）如果考生一進(jìn)考點(diǎn)就開始排隊(duì)測(cè)量體溫，體溫檢測(cè)點(diǎn)有2個(gè)，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)每分鐘檢測(cè)20人，求排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)有多少人？全部考生都完成體溫檢測(cè)需要多少時(shí)間？（3）在（2）的條件下，如果要在12分鐘內(nèi)讓全部考生完成體溫檢測(cè)，從一開始就應(yīng)該至少增加幾個(gè)檢測(cè)點(diǎn)？【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求解析式；（2）設(shè)第x分鐘時(shí)的排隊(duì)人數(shù)為w人，由二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)可求當(dāng)x＝7時(shí)，w的最大值＝490，當(dāng)9＜x≤15時(shí)，210≤w＜450，可得排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)是490人，由全部考生都完成體溫檢測(cè)時(shí)間×每分鐘檢測(cè)的人數(shù)＝總?cè)藬?shù)，可求解；（3）設(shè)從一開始就應(yīng)該增加m個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，由“在12分鐘內(nèi)讓全部考生完成體溫檢測(cè)”，列出不等式，可求解．【解答】解：（1）有表格中數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，∴二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)為：y＝ax2+bx，由題意可得：解得：180，∴9分鐘內(nèi)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣10x2+180x；（2）設(shè)第x分鐘時(shí)的排隊(duì)人數(shù)為w人，由題意可得：w＝y(tǒng)﹣40x＝，①當(dāng)0≤x≤9時(shí)，w＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，∴當(dāng)x＝7時(shí)，w的最大值＝490，②當(dāng)9＜x≤15時(shí)，w＝810﹣40x，w隨x的增大而減小，∴210≤w＜450，∴排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)是490人，要全部考生都完成體溫檢測(cè)，根據(jù)題意得：810﹣40x＝0，解得：x＝20.25，答：排隊(duì)人數(shù)最多時(shí)有490人，全部考生都完成體溫檢測(cè)需要20.25分鐘；（3）設(shè)從一開始就應(yīng)該增加m個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，由題意得：12×20（m+2）≥810，解得m≥，∵m是整數(shù)，∴m≥的最小整數(shù)是2，∴一開始就應(yīng)該至少增加2個(gè)檢測(cè)點(diǎn)．【變式6.1】（2022?南京模擬）某地實(shí)施產(chǎn)業(yè)扶貧種植某種水果，其成本經(jīng)過測(cè)算為20元/千克，投放市場(chǎng)后，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種水果在上市的一段時(shí)間內(nèi)的銷售單價(jià)p（元/千克）與時(shí)間t（天）之間的函數(shù)圖象如圖，且其日銷售量y（千克）與時(shí)間t（天）的關(guān)系是：y＝﹣2t+160．（0≤t＜80，且t為整數(shù)）（1）試求銷售單價(jià)p（元/千克）與時(shí)間t（天）之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）哪一天的銷售利潤(rùn)最大？最大日銷售利潤(rùn)為多少？【分析】（1）當(dāng)0≤t≤40時(shí)，設(shè)銷售單價(jià)p（元/千克）與時(shí)間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為p＝kt+b，根據(jù)待定系數(shù)法求解即可，當(dāng)40＜t＜80時(shí)，p＝40，即可求解；（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，分別求出分段函數(shù)中w的最大值，即可求解．【解答】解：（1）當(dāng)0≤t≤40時(shí)，設(shè)銷售單價(jià)p（元/千克）與時(shí)間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為p＝kt+b，∴，∴，∴p＝t+30，當(dāng)40＜t＜80時(shí)，p＝40，綜上所述：p＝；（2）設(shè)日銷售利潤(rùn)為w元，當(dāng)0≤t≤40時(shí)，w＝（p﹣20）?y＝（t+30﹣20）（﹣2t+160）＝＝﹣（t﹣20）2+1800，∵﹣＜0，∴當(dāng)t＝20時(shí)，w有最大值為1800元，當(dāng)40＜t＜80時(shí)，w＝（p﹣20）?y＝20（﹣2t+160）＝﹣40t+3200，∵﹣40＜0，∴w＜﹣40×40+3200，即w＜1600，∴綜上可得，第20天的銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)為1800元．【變式6.2】（2022春?錫山區(qū)校級(jí)期中）一大型商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌商品，該商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每周的銷售量y（件）與售價(jià)x（元/件）（x為正整數(shù)）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，下表記錄的是某三周的有關(guān)數(shù)據(jù)：x（元/件）405060y（件）1000095009000（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不求自變量的取值范圍）；（2）在銷售過程中要求銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于150元/件．若某一周該商品的銷售量不少于6000件，求這一周該商場(chǎng)銷售這種商品獲得的最大利潤(rùn)和售價(jià)分別為多少元？（3）抗疫期間，該商場(chǎng)這種商品售價(jià)不大于150元/件時(shí)，每銷售一件商品便向某慈善機(jī)構(gòu)捐贈(zèng)m元（10≤m≤60），捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn)，該商場(chǎng)每周銷售這種商品的利潤(rùn)仍隨售價(jià)的增大而增大．請(qǐng)求出m的取值范圍．【分析】（1）用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式便可；（2）根據(jù)“在銷售過程中要求銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于150元/件．若某一周該商品的銷售量不少于6000件，”列出x的不等式組，求得x的取值范圍，再設(shè)利潤(rùn)為w元，由w＝（x﹣30）y，列出w關(guān)于x的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出利潤(rùn)的最大值和售價(jià)；（3）根據(jù)題意列出利潤(rùn)w關(guān)于售價(jià)x的函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，列出m的不等式進(jìn)行解答便可．【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b（k≠0），把x＝40，y＝10000和x＝50，y＝9500代入得，，解得，，∴y＝﹣50x+12000；（2）根據(jù)“在銷售過程中要求銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于150元/件．若某一周該商品的銷售量不少于6000件，”得，，解得，30≤x≤120，設(shè)利潤(rùn)為w元，根據(jù)題意得，w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣50x+12000）＝﹣50x2+13500x﹣360000＝﹣50（x﹣135）2+551250，∵﹣50＜0，∴當(dāng)x＜135時(shí)，w隨x的增大而增大，∵30≤x≤120，且x為正整數(shù)，∴當(dāng)x＝120時(shí)，w取最大值為：﹣50×（120﹣135）2+551250＝540000，答：這一周該商場(chǎng)銷售這種商品獲得的最大利潤(rùn)為540000元，售價(jià)為120元；（3）根據(jù)題意得，w＝（x﹣30﹣m）（﹣50x+12000）＝﹣50x2+（13500+50m）x﹣360000﹣12000m，∴對(duì)稱軸為直線x＝135+0.5m，∵﹣50＜0，∴當(dāng)x＜135+0.5m時(shí)，w隨x的增大而增大，∵該商場(chǎng)這種商品售價(jià)不大于150元/件時(shí)，捐贈(zèng)后發(fā)現(xiàn)，該商場(chǎng)每周銷售這種商品的利潤(rùn)仍隨售價(jià)的增大而增大．對(duì)稱軸x＝135+0.5m，m大于等于10，則對(duì)稱軸大于等于149，由于x取整數(shù)，實(shí)際上x是二次函數(shù)的離散整數(shù)點(diǎn)，x取30，31，...149時(shí)利潤(rùn)一直增大，只需保證x＝150時(shí)利潤(rùn)大于x＝149時(shí)即可滿足要求，所以對(duì)稱軸要大于149就可以了，∴135+0.5m＞149.5，解得m＞29，∵29＜m≤60，∴29＜m≤60．【變式6.3】（2021秋?沭陽縣校級(jí)期末）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)農(nóng)貿(mào)公司新開設(shè)了一家網(wǎng)店，銷售當(dāng)?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品，其中一種當(dāng)?shù)靥禺a(chǎn)在網(wǎng)上試銷售，其成本為每千克2元．公司在試銷售期間，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y（kg）與銷售單價(jià)x（元）滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系（其中2＜x≤10）．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）銷售單價(jià)x為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【分析】（1）當(dāng)2＜x≤5時(shí)，y＝600；當(dāng)5＜x≤10時(shí)，設(shè)y＝kx+b（k≠0），用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)每天的銷售利潤(rùn)為w元，分別列出當(dāng)2＜x≤5時(shí)和當(dāng)5＜x≤10時(shí)的函數(shù)關(guān)系式并求得相應(yīng)的最大值，然后取其中較大者即可．【解答】解：（1）當(dāng)2＜x≤5時(shí)，y＝600；當(dāng)5＜x≤10時(shí)，設(shè)y＝kx+b（k≠0），把（5，600），（10，400）代入得：，解得，∴y＝﹣40x+800，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝；（2）設(shè)每天的銷售利潤(rùn)為w元，當(dāng)2＜x≤5時(shí)，w＝600（x﹣2）＝600x﹣1200，當(dāng)x＝5時(shí)，w最大＝600×5﹣1200＝1800（元）；當(dāng)5＜x≤10時(shí)，w＝（﹣40x+800）（x﹣2）＝﹣40（x﹣11）2+3240，當(dāng)x＝10時(shí)，w最大＝﹣40×1+3240＝3200（元）．綜上所述，銷售單價(jià)x為10元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3200元．【考點(diǎn)7】二次函數(shù)的綜合：面積問題【例7】（2021秋?欽北區(qū)期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+6與直線y＝x+2相交于A（，）、B（4，6）兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C，點(diǎn)E是直線AB與x軸的交點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求△BCE的面積；（3）是否存在點(diǎn)P，使得△BCE的面積最大？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）把A（，）、B（4，6）代入拋物線y＝ax2+bx+6中列方程組解出即可；（2）利用配方法計(jì)算拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，計(jì)算PC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論；（3）設(shè)P（m，m＝2），表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，計(jì)算PC的長(zhǎng)，同理根據(jù)（2）中△BCE的面積公式可得結(jié)論．【解答】解：（1）把A（，）、B（4，6）代入拋物線y＝ax2+bx+6中得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y＝2x2﹣8x+6；（2）如圖1，∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，∴頂點(diǎn)C（2，﹣2），當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2+2＝4，∴PC＝4﹣（﹣2）＝6，當(dāng)y＝0時(shí)，x+2＝0，∴x＝﹣2，∴E（﹣2，0），∴△BCE的面積＝△PCE的面積+△PBC的面積＝PC?ED+PC?（xB﹣xD）＝PC?（xB﹣xE）＝×6×（4+2）＝18；（3）存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m+2），則C（m，2m2﹣8m+6），∴PC＝m+2﹣（2m2﹣8m+6）＝﹣2m2+9m﹣4，∴△BCE的面積＝PC?（xB﹣xE）＝×（﹣2m2+9m﹣4）×（4+2）＝﹣6（m﹣）2+；∵﹣6＜0，∴當(dāng)m＝時(shí)，△BCE的面積最大，這個(gè)最大值是．【變式7.1】（2022?茌平區(qū)一模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)B（﹣8，0），C（2，0），交y軸點(diǎn)A．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接AC，AB，若點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作PD∥AC，交AB于點(diǎn)D，試猜想△PAD的面積有最大值還是最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）連接OD，在（2）的條件下，求出的值．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）設(shè)P（m，0）（﹣8＜m＜2），則PB＝m+8，PC＝2﹣m，利用三角形面積公式可得S△PAB＝2m+16，由PD∥AC，可得，進(jìn)而得出＝＝，即S△PAD＝﹣（m+3）2+5，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；（3）當(dāng)P（﹣3，0）時(shí)，P為BC邊的中點(diǎn)，進(jìn)而推出D為AB邊的中點(diǎn)，得出，即可求得答案．【解答】解：（1）∵點(diǎn)B（﹣8，0），C（2，0）在二次函數(shù)的圖象上，∴，解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式是y＝x2+x﹣4．（2）猜想：△PAD的面積有最大值．設(shè)P（m，0）（﹣8＜m＜2），則PB＝m+8，PC＝2﹣m，∵B（﹣8，0），C（2，0），∴BC＝2﹣（﹣8）＝10，在y＝x2+x﹣4中，令x＝0，得y＝﹣4，∴A（0，﹣4），∴OA＝4，∴S△PAB＝PB?OA＝（m+8）×4＝2m+16，∵PD∥AC，∴，∴＝＝，∴S△PAD＝S△PAB＝×（2m+16）＝﹣（m+3）2+5，∵，∴當(dāng)m＝﹣3時(shí)，△PAD的面積存在最大值，此時(shí)P（﹣3，0）．（3）當(dāng)P（﹣3，0）時(shí)，P為BC邊的中點(diǎn)，∴，∴D為AB邊的中點(diǎn)，∴，在Rt△AOB中，，∴，∴．【變式7.2】（2022?官渡區(qū)二模）拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸正半軸于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線．（1）如圖1，若點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），則b＝﹣，c＝2；（2）若點(diǎn)P為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在（1）的條件下，求四邊形ABCP面積最大時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)和四邊形ABCP的最大面積；（3）如圖2，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)O作MN∥CD分別交拋物線于點(diǎn)M，N，當(dāng)MN＝3CD時(shí)，求c的值．【分析】（1）由點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2）得c＝2，根據(jù)對(duì)稱軸為直線x＝﹣可得b的值；（2）設(shè)點(diǎn)P（x，），根據(jù)S四邊形ABCP＝S△APC+S△ABC，列出四邊形面積關(guān)于m的二次函數(shù)即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABCP面積的最大值；（3）求出，C（0，c），求出直線CD的解析式為：，進(jìn)而求出直線MN的解析式為，聯(lián)立y＝﹣x2﹣x+2，得，分別過C，N作x軸的平行線，過D，M作y軸的平行線交于點(diǎn)G，H，證明△MHN∽△DGC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c交y軸正半軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2），對(duì)稱軸為直線x＝﹣．∴c＝2，x＝﹣＝﹣，∴，故答案為：﹣，2；（2）∵c＝2，，∴y＝﹣x2﹣x+2，令y＝﹣x2﹣x+2＝0，整理得（x﹣1）（x+4）＝0解得x＝1或x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（1，0）；∵C（0，2），∴AB＝5，OC＝2，∴S△ABC＝AB×OC＝5，∵A（﹣4，0），C（0，2）；∴l(xiāng)AC：y＝x+2，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P（x，）（x＜0），則點(diǎn)Q（x，x+2），PQ＝﹣（x+2）＝，∴S△APC＝S△APQ+S△PCQ＝PQ×（xC﹣xA）＝﹣x2﹣4x（x＜0），∴S四邊形ABCP＝S△APC+S△ABC＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，∵﹣1＜0，函數(shù)圖象開口向下，又x＜0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，S四邊形ABCP最大＝9，此時(shí)點(diǎn)P（﹣2，3），∴當(dāng)點(diǎn)P（﹣2，3）時(shí)，四邊形ABCP的最大面積，最大面積為9；（3）∵，∴，∵，C（0，c）∴設(shè)直線CD的解析式為y＝kx+b1（k≠0），代入點(diǎn)D，C的坐標(biāo)得，解得，∴直線CD的解析式為：，∵M(jìn)N∥CD，∴直線MN的解析式為：，由題意，聯(lián)立得：，解得：，由題意，，，∴，分別過C，N作x軸的平行線，過D，M作y軸的平行線交于點(diǎn)G，H，∴∠G＝∠H，∠DCG＝∠MOA＝∠MNH，∴△MHN∽△DGC，∴，∵M(jìn)N＝3CD，∴，∵，C（0，c），∴，∴，又∵，∴．【變式7.3】（2022?老河口市模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+2mx的頂點(diǎn)為A，直線l：y＝x﹣1與x軸交于點(diǎn)B．（1）如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），拋物線與直線l在第一象限交于點(diǎn)C．①求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；②點(diǎn)M為線段BC上不與B，C重合的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)t．當(dāng)EM＞BD時(shí)，求t的取值范圍；（2）過點(diǎn)A作AP⊥l于點(diǎn)P，作AQ∥l交拋物線于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)△APQ的面積為S．直接寫出①S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；②S的最小值及S取最小值時(shí)m的值．【分析】（1）①利用拋物線的頂點(diǎn)可得y＝﹣（x﹣2）2+4，聯(lián)立方程組求解即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；②先證得△OBC是等腰直角三角形，進(jìn)而得出△BDM是等腰直角三角形，可得：EM＝﹣t2+3t+1，BD＝MD＝t﹣1，由EM＞BD，可得﹣t2+3t+1＞t﹣1，即t2﹣2t﹣2＜0，令y＝t2﹣2t﹣2，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得答案；（2）①如圖2，過點(diǎn)A作AG∥y軸交直線l于點(diǎn)G，過點(diǎn)Q作QH⊥AG于點(diǎn)H，則AG＝m2﹣m+1，利用三角函數(shù)可得AP＝AG?sin45°＝（m2﹣m+1），根據(jù)AQ∥直線l，可得直線AG的解析式為y＝x+m2﹣m，進(jìn)而求得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m﹣1，故QH＝m﹣（m﹣1）＝1，AQ＝，運(yùn)用三角形面積公式可求得S＝m2﹣m+；②運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案．【解答】解：（1）①∵拋物線y＝﹣x2+2mx的頂點(diǎn)為A（2，4），∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x，聯(lián)立方程組，解得：，，∵點(diǎn)C在第一象限，∴C（，）；②設(shè)直線l：y＝x﹣1與y軸交于點(diǎn)F，則F（0，﹣1），∴OF＝1，∵B（1，0），∴OB＝1，∴OB＝OF，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBF＝∠OFB＝45°，∴∠MBD＝∠OBF＝45°，∵∠BDM＝90°，∴△BDM是等腰直角三角形，∴BD＝MD，∵M(jìn)（t，t﹣1），D（t，0），E（t，﹣t2+4t），∴EM＝﹣t2+4t﹣（t﹣1）＝﹣t2+3t+1，BD＝MD＝t﹣1，∵EM＞BD，∴﹣t2+3t+1＞t﹣1，∴t2﹣2t﹣2＜0，令y＝t2﹣2t﹣2，當(dāng)y＝0時(shí)，t2﹣2t﹣2＝0，解得：t＝1±，∴當(dāng)y＜0，即t2﹣2t﹣2＜0時(shí)，1﹣＜t＜1+（i），∵點(diǎn)M為線段BC上不與B，C重合的一動(dòng)點(diǎn)，∴1＜t＜（ii），由（i）（ii）得：1＜t＜1+，故t的取值范圍為：1＜t＜1+；（2）①如圖2，過點(diǎn)A作AG∥y軸交直線l于點(diǎn)G，過點(diǎn)Q作QH⊥AG于點(diǎn)H，∵y＝﹣x2+2mx＝﹣（x﹣m）2+m2，∴A（m，m2），∴G（m，m﹣1），∴AG＝m2﹣（m﹣1）＝m2﹣m+1，由（1）②知：∠OFB＝45°，∵AG∥y軸，∴∠AGP＝∠OFB＝45°，∵AP⊥直線l，∴∠APG＝90°，∴AP＝AG?sin45°＝（m2﹣m+1），∵AQ∥直線l，∴設(shè)直線AG的解析式為y＝x+n，把A（m，m2）代入得：m+n＝m2，∴n＝m2﹣m，∴直線AG的解析式為y＝x+m2﹣m，令﹣x2+2mx＝x+m2﹣m，解得：x1＝m，x2＝m﹣1，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為m﹣1，∴QH＝m﹣（m﹣1）＝1，∵AQ∥l，∴∠QAH＝∠AGP＝45°，∠PAQ＝90°，∵∠AHQ＝90°，∴△AHQ是等腰直角三角形，∴AQ＝QH＝，∴S＝AP?AQ＝×（m2﹣m+1）×＝m2﹣m+，故S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式為S＝m2﹣m+；②∵S＝m2﹣m+＝（m﹣）2+，∴當(dāng)m＝時(shí)，S的最小值為．【考點(diǎn)8】二次函數(shù)的綜合：線段最值問題【例8】（2022?濱城區(qū)二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0），經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）連接AC、BC，N為拋物線上的點(diǎn)且在第四象限，當(dāng)S△NBC＝S△ABC時(shí)，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）問的條件下，過點(diǎn)C作直線l∥x軸，動(dòng)點(diǎn)P（m，3）在直線l上，動(dòng)點(diǎn)Q（m，0）在x軸上，連接PM、PQ、NQ，當(dāng)m為何值時(shí)，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值．【分析】（1）由點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)即可求出拋物線的解析式，再將其變形成頂點(diǎn)式后，即可得出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）連接AN，則AN∥BC，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，設(shè)直線AN的解析式為y＝﹣x+d，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)可求出d值，再聯(lián)立直線AN與拋物線的解析式，即可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)M作MM′∥PQ，且MM′＝PQ，連接M′Q，則當(dāng)點(diǎn)M′，Q，N三點(diǎn)共線時(shí)，PM+QN取最小值，此時(shí)PM+PQ+QN最小，由點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)可得出PQ＝3，結(jié)合點(diǎn)M的坐標(biāo)可得出點(diǎn)M′的坐標(biāo)，由點(diǎn)M′，N的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線M′N的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可求出m的值，再利用兩點(diǎn)間的距離公式（勾股定理）可求出M′N的長(zhǎng)度，進(jìn)而可得出PM+PQ+QN最小值．【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．又∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）.（2）連接AN，如圖1所示．∵S△NBC＝S△ABC，且兩三角形有相同的底BC，∴AN∥BC．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+c（k≠0），將B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+c，得：，解得：，∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3．設(shè)直線AN的解析式為y＝﹣x+d，將A（﹣1，0）代入y＝﹣x+d得：1+d＝0，解得：d＝﹣1，∴直線AN的解析為y＝﹣x﹣1．聯(lián)立兩函數(shù)解析式得：，解得：（不符合題意，舍去），，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，﹣5）．（3）過點(diǎn)M作MM′∥PQ，且MM′＝PQ，連接M′Q，如圖2所示．∵M(jìn)M′∥PQ，且MM′＝PQ，∴四邊形MM′QP為平行四邊形，∴M′Q＝MP，∴當(dāng)點(diǎn)M′，Q，N三點(diǎn)共線時(shí)，PM+QN取最小值．∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，3），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，0），∴PQ＝3，∴MM′＝3，∴點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（1，4﹣3），即（1，1）．設(shè)直線M′N的解析式為y＝px+q（p≠0），將M′（1，1），N（4，﹣5）代入y＝px+q，得：，解得：，∴直線M′N的解析式為y＝﹣2x+3．又∵點(diǎn)Q在直線M′N上，∴0＝﹣2m+3，∴m＝，此時(shí)M′N＝M′Q+QN＝MP+QN＝＝3，∴當(dāng)m為時(shí)，PM+PQ+QN最小，PM+PQ+QN的最小值為3+3．【變式8.1】（2022?松江區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y＝2x+8與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）P是拋物線上一點(diǎn)，且位于直線AB上方，過點(diǎn)P作PM∥y軸、PN∥x軸，分別交直線AB于點(diǎn)M、N．①當(dāng)MN＝AB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②聯(lián)結(jié)OP交AB于點(diǎn)C，當(dāng)點(diǎn)C是MN的中點(diǎn)時(shí)，求的值．【分析】（1）先根據(jù)題意求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，代入y＝﹣x2+bx+c即可求得拋物線的表達(dá)式；（2）①證明△PMN∽△OBA，可得，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m（﹣4＜m＜0），則PM＝﹣m2﹣4m，又OA＝4，OB＝8，建立方程求解即可得出答案；②連接OP交AB于點(diǎn)C，先求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)公式可求得C（﹣，），再證明點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，可得C（﹣2，4），建立方程求解即可得出答案．【解答】解：（1）∵直線y＝2x+8與x軸交于點(diǎn)A、與y軸交于點(diǎn)B，∴令x＝0，則y＝8，令y＝0，則x＝﹣4，∴B（0，8），A（﹣4，0），∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B，∴，∴，∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2﹣2x+8；（2）①∵P是拋物線上一點(diǎn)，且位于直線AB上方，過點(diǎn)P作PM∥y軸、PN∥x軸，分別交直線AB于點(diǎn)M、N，∴PM⊥PN，∠PNM＝∠BAO，∴∠MPN＝∠AOB＝90°，∴△PMN∽△OBA，∴，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m（﹣4＜m＜0），則M（m，2m+8），P（m，﹣m2﹣2m+8），∴PM＝﹣m2﹣2m+8﹣（2m+8）＝﹣m2﹣4m，∵B（0，8），A（﹣4，0），∴OA＝4，OB＝8，∵M(jìn)N＝AB，∴，∴＝，解得m1＝m2＝﹣2，∴P（﹣2，8）；②如圖，連接OP交AB于點(diǎn)C，∵PN∥x軸，P（m，﹣m2﹣2m+8），∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為﹣m2﹣2m+8，令y＝﹣m2﹣2m+8，則2x+8＝﹣m2﹣2m+8，解得：x＝，N（，﹣m2﹣2m+8），∵點(diǎn)C是MN的中點(diǎn)，M（m，2m+8），∴C（﹣，），由①知：∠MPN＝90°，又點(diǎn)C是MN的中點(diǎn)，∴PC＝CM＝CN，∴∠CPN＝∠CNP，∠CPM＝∠CMP，∵PM∥y軸、PN∥x軸，∴∠BOC＝∠CPM，∠OBC＝∠CMP，∠OAC＝∠CNP，∠AOC＝∠CPN，∴∠BOC＝∠OBC，∠OAC＝∠AOC，∴AC＝OC，BC＝OC，∴AC＝BC，∴點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，∴C（﹣2，4），∴﹣＝﹣2，解得：m＝±2，∵﹣4＜m＜0，∴m＝﹣2，∴PM＝﹣m2﹣4m＝﹣（﹣2）2﹣4×（﹣2）＝8﹣8，∵PM∥y軸，∴△PCM∽△OCB，∴＝＝＝﹣1，故的值為﹣1．【變式8.2】（2022?徐州二模）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B（2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)（0，2）．（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)Q在以BC為直徑的圓上（點(diǎn)Q與點(diǎn)O，點(diǎn)B，點(diǎn)C均不重合），試探究QO，QB，QC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）E點(diǎn)為該圖象在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作直線BC的平行線，交x軸于點(diǎn)F．若點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)，沿著拋物線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，則點(diǎn)F經(jīng)過的路程為2．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可得二次函數(shù)的解析式；（2）證明△BOC為等腰直角三角形，再分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)Q在半圓BOC相對(duì)的半圓上時(shí)，如圖，連接QC，BQ，OQ，把△OBQ繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCQ′，可證得△OQQ′是等腰直角三角形，故QB+QC＝QO；②當(dāng)點(diǎn)Q在劣弧上時(shí)，如圖，連接QB、QC，在CQ上截取CQ′＝QB，連接OQ′，可證△OCQ′≌△OBQ（SAS），得出△OQQ′是等腰直角三角形，故QC﹣QB＝QO；③當(dāng)點(diǎn)Q在劣弧上時(shí)，如圖，連接QB、QC，在BQ上截取BQ′＝QC，連接OQ′，同理可得QB﹣QC＝QO；（3）先求出直線BC的解析式，設(shè)E的坐標(biāo)E（n，﹣n2+n+2），設(shè)直線EF的解析式為y＝﹣x+b1，將E的坐標(biāo)代入EF解析式中，聯(lián)立兩個(gè)解析式判定Δ，求出直線EF的解析式，計(jì)算出F的橫坐標(biāo)即可求出經(jīng)過的路程．【解答】解：（1）將A（﹣1，0），B（2，0），（0，2）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+2；（2）QB+QC＝QO或QC﹣QB＝QO或QB﹣QC＝QO，理由：∵Q在以BC為直徑圓上，∴∠BOC＝∠BQC＝90°，∵B（2，0），C（0，2），∴OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，∴△BOC為等腰直角三角形，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，①當(dāng)點(diǎn)Q在半圓BOC相對(duì)的半圓上時(shí)，如圖，連接QC，BQ，OQ，把△OBQ繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OCQ′，∵四邊形OBQC是圓內(nèi)接四邊形，∴∠OBQ+∠OCQ＝180°，由旋轉(zhuǎn)知：∠QOQ′＝90°，∠OCQ′＝∠OBQ，CQ′＝BQ，OQ′＝OQ，∴∠OCQ′+∠OCQ＝180°，∴Q、C、Q′三點(diǎn)在同一條直線上，CQ′+CQ＝QQ′，∴QB+QC＝QQ′，∵△OQQ′是等腰直角三角形，∴QQ′＝QO，∴QB+QC＝QO；②當(dāng)點(diǎn)Q在劣弧上時(shí)，如圖，連接QB、QC，在CQ上截取CQ′＝QB，連接OQ′，∵＝，∴∠OCQ＝∠OBQ，在△OCQ′和△OBQ中，，∴△OCQ′≌△OBQ（SAS），∴∠COQ′＝∠BOQ，OQ′＝OQ，∵∠COQ′+∠BOQ′＝90°，∴∠BOQ+∠BOQ′＝90°，即∠QOQ′＝90°，∴△OQQ′是等腰直角三角形，∴QQ′＝QO，∵QQ′＝QC﹣CQ′＝QC﹣QB，∴QC﹣QB＝QO；③當(dāng)點(diǎn)Q在劣弧上時(shí)，如圖，連接QB、QC，在BQ上截取BQ′＝QC，連接OQ′，同理可得：QB﹣QC＝QO，綜上所述，QB+QC＝QO或QC﹣QB＝QO或QB﹣QC＝QO；（3）設(shè)直線BC：y＝kx+m把點(diǎn)B、點(diǎn)C代入得，解得：k＝﹣1，m＝2，∴y＝﹣x+2，又∵EF∥BC，點(diǎn)E在拋物線上，設(shè)E（n，﹣n2+n+2），設(shè)直線EF解析式為y＝﹣x+b1，把E代入得：﹣n2+n+2＝﹣n+b1，∴b1＝﹣n2+2n+2，∴y＝﹣x﹣n2+2n+2，聯(lián)立，∴﹣x﹣n2+2n+2＝﹣x2+x+2，得x2﹣2x﹣n2+2n＝0∵Δ＝4﹣4（﹣n2+2n）＝4+4n2﹣8n＝4（n﹣1）2＝0，∴只有一個(gè)交點(diǎn)，∴n＝1，b1＝﹣1+2+2＝3，∴y＝﹣x+3，當(dāng)y＝0時(shí)x＝3，∴F橫坐標(biāo)最大為3，∴F經(jīng)過路程為：（3﹣2）×2＝2，故答案為：2．【變式8.3】（2022?槐蔭區(qū)二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸分別交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，若A（﹣1，0）且OC＝3OA．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)P（m，n）是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)點(diǎn)，分別連接BD、BC、BP，當(dāng)∠PBA＝2∠CBD時(shí)，求m的值；（3）如圖2，∠BAC的角平分線交y軸于點(diǎn)M，過M點(diǎn)的直線l與射線AB，AC分別交于E，F(xiàn)，已知當(dāng)直線l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，為定值，請(qǐng)直接寫出該定值．【分析】（1）求出A、C兩點(diǎn)，再將所求點(diǎn)代入y＝x2+bx+c，即可求解；（2）先判斷△BCD是直角三角形，在Rt△BCD中，取DG＝BG，構(gòu)造∠CGD＝2∠CBD，利用勾股定理解得CG＝，則tan∠GCD＝tan∠HBA＝＝，由此求出H（0，），求出直線BH解析式，再求直線BH與拋物線的交點(diǎn)P即可；（3）過點(diǎn)M作MT⊥AC交于點(diǎn)T，過點(diǎn)F作FK⊥x軸交于點(diǎn)K，利用△OAC的面積求出OM的長(zhǎng)，從而確定M點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線EF的解析式為y＝kx+，可求E點(diǎn)坐標(biāo)，通過聯(lián)立方程組，求出F點(diǎn)坐標(biāo)，利用tan∠OAC＝tan∠KAF＝＝，設(shè)KF＝a，則AK＝3a，AF＝a，由3a＝﹣，求出a＝，可求AF＝，即可