河南省洛陽市洛龍區(qū)地礦雙語學校2023-2024學年上學期八年級期中數(shù)學試卷

2023-2024學年河南省洛陽市洛龍區(qū)地礦雙語學校八年級（上）期中數(shù)學試卷一．選擇題（共10小題）1．（2分）下列標志中，可以看作是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）設等腰三角形的一邊長為5，另一邊長為10，則其周長為（）A．15 B．20 C．25 D．20或253．（2分）如圖所示，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D′、C′的位置，則∠C′FB等于（）A．70° B．65° C．50° D．25°4．（2分）如圖，直線a∥b，在Rt△ABC中，若∠1＝58°，∠2＝24°（）A．56° B．34° C．36° D．24°5．（2分）已知∠AOB＝30°，點P在∠AOB內部，P1與P關于OB對稱，P2與P關于OA對稱，則P1、O、P2三點所構成的三角形是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形6．（2分）如圖，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，則OF＝（）A．2 B．1.5 C． D．17．（2分）如圖，點B在CD上，△ABO≌△CDO，∠BOD＝30°時，∠A的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．35°8．（2分）如圖，已知△ABC的周長是36cm，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，若OD＝3cm，則△ABC的面積是（）A．48cm2 B．54cm2 C．60cm2 D．66cm29．（2分）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊使點A落在點A′處，且BA′平分∠ABC，若∠BA′C＝112°，則∠1+∠2的大小為（）A．44° B．41° C．88° D．82°10．（2分）如圖，在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AB＞AC，∠DAB＝∠CAE＝50°連接BE，連接AF．下列結論：①BE＝CD；②∠EFC＝50°；④FA平分∠DFE．其中正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二．填空題（共5小題）11．（3分）在平面直角坐標系中．點P（﹣2，）關于x軸的對稱點坐標是．12．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點A的坐標為（﹣7，3），點C的坐標為（﹣2，0）．13．（3分）如圖，在△PAB中，∠A＝∠B，PB，AB上的點，BN＝AK．若∠MKN＝40°，則∠P的度數(shù)為．14．（3分）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為2，面積是15，AB于點E、F，若點D為底邊BC的中點，則△CDM的周長的最小值為．15．（3分）已知：如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，使CE＝2，連接DE，以每秒2個單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動，設點P的運動時間為t秒秒時，△ABP和△DCE全等．三．解答題（共8小題）16．（1）根據(jù)圖中的相關數(shù)據(jù)，求出x的值．（3分）（2）一個多邊形的內角和是1260°，求這個多邊形的邊數(shù)．（3分）17．現(xiàn)要在三角地ABC內建一中心醫(yī)院，使醫(yī)院到A、B兩個居民小區(qū)的距離相等，并且到公路AB和AC的距離也相等，請確定這個中心醫(yī)院的位置（5分）18．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD＝EC．（1）求證：△ABD≌△EDC.（3分）（2）若AB＝1，BE＝3，求CD的長．（3分）19．如圖，在△ABC中，∠CAB＝69°，E分別在邊AB，BC上，求∠B的度數(shù)．（5分）20．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別為：A（1，1）（4，2）、C（3，4）．（1）若△A1B1C1與△ABC關于y軸成軸對稱，請在圖中作出△A1B1C1，并寫出△A1B1C1三個頂點A1，B1，C1的坐標；（6分）（2）在y軸上一點畫出點P，使PA+PB的值最?。唬?分）（3）計算△A1B1C1的面積．（3分）21．如圖，AB＞AC，∠BAC的平分線與BC邊的中垂線GD相交于點D，DF⊥AC于點F，求證：BE＝CF．（6分）22．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是BC、AC邊上的點，且AD、BE相交于點P，∠AEB＝∠CDA．（1）求∠BPD的度數(shù)．（5分）（2）過點B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的長.（5分）23．在通過構造全等三角形解決的問題中，有一種類型的方法是倍延中線．（1）如圖1，AD是△ABC的中線，AB＝7，求AD的取值范圍，我們可以延長AD到點M，連接BM，易證△ADC≌△MDB，在△ABM中利用三角形的三邊關系可求得AM的取值范圍，從而得到中線AD的取值范圍是；（5分）（2）如圖2，AD是△ABC的中線，點E在邊AC上，且AE＝EF，求證：AC＝BF；（5分）（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，連接CE，ED，試猜想線段BC，CD，并予以證明．（5分）2023-2024學年河南省洛陽市洛龍區(qū)地礦雙語學校八年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2分）下列標志中，可以看作是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念，可得答案．【解答】解：A、是中心對稱圖形；B、是中心對稱圖形；C、是軸對稱圖形；D、是中心對稱圖形；故選：C．【點評】本題考查了軸對稱圖形，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．（2分）設等腰三角形的一邊長為5，另一邊長為10，則其周長為（）A．15 B．20 C．25 D．20或25【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為5和10，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．【解答】解：分兩種情況：當腰為5時，5+3＝10；當腰為10時，5+10＞10，周長是：10+10+5＝25．故選：C．【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．3．（2分）如圖所示，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在D′、C′的位置，則∠C′FB等于（）A．70° B．65° C．50° D．25°【分析】根據(jù)平角的定義和折疊的性質即可得到結論．【解答】解：∵∠EFB＝65°，∴∠EFC＝115°，∵把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C′的位置，∴∠EFC′＝∠EFC＝115°，∴∠C′FB＝115°﹣65°＝50°，故選：C．【點評】本題考查了折疊的性質，平角的定義，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．4．（2分）如圖，直線a∥b，在Rt△ABC中，若∠1＝58°，∠2＝24°（）A．56° B．34° C．36° D．24°【分析】先根據(jù)對頂角的定義得出∠3的度數(shù)，再由三角形內角與外角的關系求出∠A的度數(shù)．【解答】解：如圖，∵∠1＝58°，a∥b，∴∠3＝∠8＝58°．∵∠2＝24°，∠A＝∠3﹣∠5，∴∠A＝58°﹣24°＝34°．故選：B．【點評】本題考查的是平行線的性質，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等是解答此題的關鍵．5．（2分）已知∠AOB＝30°，點P在∠AOB內部，P1與P關于OB對稱，P2與P關于OA對稱，則P1、O、P2三點所構成的三角形是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【分析】由對稱性可知OP＝OP1，∠P1OB＝∠BOP，OP＝OP2，∠P2OA＝∠AOP，則有OP1＝OP2，∠P1OP2＝60°，即可求解．【解答】解：∵P1與P關于OB對稱，∴OP＝OP1，∠P7OB＝∠BOP，∵P2與P關于OA對稱，∴OP＝OP2，∠P6OA＝∠AOP，∴OP1＝OP2，∠P7OP2＝2∠BOA，∵∠AOB＝30°，∴∠P8OP2＝60°，∴△P1OP8為等邊三角形，故選：D．【點評】本題考查軸對稱的性質，熟練掌握軸對稱的性質，等邊三角形的性質是解題的關鍵．6．（2分）如圖，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，則OF＝（）A．2 B．1.5 C． D．1【分析】過E點作EH⊥OA于H點，如圖，根據(jù)角平分線的性質得到EH＝EC＝1，再根據(jù)平行線的性質得到∠FEO＝∠BOE＝15°，則FE＝FO，接著計算出∠EFH＝30°，則利用含30度角的直角三角形三邊的關系得到EF＝2，從而得到OF的長．【解答】解：過E點作EH⊥OA于H點，如圖，∵∠AOE＝∠BOE＝15°，∴OE平分∠AOB，而EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH＝EC＝1，∵EF∥OB，∴∠FEO＝∠BOE＝15°，∴∠FEO＝∠FOE，∴FE＝FO，∵∠EFH＝∠FEO+∠FOE＝30°，∴EF＝2EH＝7，∴OF＝2．故選：A．【點評】本題考查了角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了平行線的性質、含30度角的直角三角形三邊的關系．7．（2分）如圖，點B在CD上，△ABO≌△CDO，∠BOD＝30°時，∠A的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．35°【分析】根據(jù)全等三角形對應邊相等可得OB＝OD，全等三角形對應角相等可得∠ABO＝∠D，再根據(jù)等邊對等角求出∠OBD＝∠D，然后求出∠ABC，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等解答即可．【解答】解：∵△ABO≌△CDO，∴OB＝OD，∠ABO＝∠D，∴∠OBD＝∠D＝（180°﹣∠BOD）＝，∴∠ABC＝180°﹣75°×2＝30°，∵AO∥BC，∴∠A＝∠ABC＝30°．故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的性質，等邊對等角的性質，平行線的性質，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．8．（2分）如圖，已知△ABC的周長是36cm，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，若OD＝3cm，則△ABC的面積是（）A．48cm2 B．54cm2 C．60cm2 D．66cm2【分析】過點O作OE⊥AC于點E，OF⊥AB于點F，連接OA，根據(jù)角平分線的性質可得OD＝OE＝OF＝3cm，再根據(jù)S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×OD×C△ABC即可計算結果．【解答】解：如圖，過點O作OE⊥AC于點E，連接OA，∵OB、OC分別平分∠ABC，OD⊥BC，∴OD＝OE＝OF＝3（cm），∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×AB×OF+×AC×OE＝×OD×C△ABC＝×2×36＝54（cm2）．故選：B．【點評】本題主要考查角平分線的性質，熟知角平分線的性質是解題關鍵．9．（2分）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊使點A落在點A′處，且BA′平分∠ABC，若∠BA′C＝112°，則∠1+∠2的大小為（）A．44° B．41° C．88° D．82°【分析】由題意得△ADE≌△A′DE，那么∠DAE＝∠DA′E．如圖，連接AA′．根據(jù)三角形外角的性質，得∠1＝∠DAA′+∠AA′D，∠2＝∠EAA′+∠AA′E，那么∠1+∠2＝∠DAE+∠DA′E＝2∠DAE．欲求∠1+∠2，需求∠DAE．由三角形內角和定理得∠DAE＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．由BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，得∠ABC＝2∠A′BC，∠ACB＝2∠A′CB，那么∠ABC+∠ACB＝2∠A′BC+2∠A′CB＝2（∠A′BC+∠A′CB）．由∠BA′C＝112°，得∠A′BC+∠A′CB＝180°﹣∠BA′C＝68°，從而解決此題．【解答】解：如圖，連接AA′．∵∠BA′C＝112°，∴∠A′BC+∠A′CB＝180°﹣∠BA′C＝68°．∵BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠A′BC，∠ACB＝2∠A′CB．∴∠ABC+∠ACB＝7∠A′BC+2∠A′CB＝2（∠A′BC+∠A′CB）＝136°．∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝44°．由題意得：△ADE≌△A′DE．∴∠DAE＝∠DA′E＝44°．∵∠5＝∠DAA′+∠AA′D，∠2＝∠EAA′+∠AA′E，∴∠1+∠8＝∠DAA′+∠EAA′+∠DA′A+∠EA′A＝∠DAE+∠DA′E＝2∠DAE＝88°．故選：C．【點評】本題主要考查三角形內角和定理、角平分線的定義、圖形折疊的性質，三角形外角的性質，熟練掌握三角形內角和定理、角平分線的定義、圖形折疊的性質，三角形外角的性質是解決本題的關鍵．10．（2分）如圖，在△ABD和△ACE中，AB＝AD，AB＞AC，∠DAB＝∠CAE＝50°連接BE，連接AF．下列結論：①BE＝CD；②∠EFC＝50°；④FA平分∠DFE．其中正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】先由∠DAB＝∠CAE＝50°證明∠BAE＝∠DAC＝50°+∠BAC，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△BAE≌△DAC，得BE＝CD，可判斷①正確；設BE交AC于點G，因為∠AEB＝∠ACD，所以∠EFC＝∠CGE﹣∠ACD＝∠CGE﹣∠ABE＝∠CAE＝50°，可判斷②正確；作AI⊥BE于點I，AJ⊥CD于點J，由S△BAE＝S△DAC得AI?BE＝AJ?CD，則AI＝AJ，即可證明FA平分∠DFE，可判斷④正確；假設∠DAF＝∠EAF，則∠DAF﹣∠DAB＝∠EAF﹣∠CAE，所以∠BAF＝∠CAF，由∠AFD＝∠AFE，∠BFD＝∠CFE，得∠AFB＝∠AFC，即可推導出△AFB≌△AFC，得AB＝AC，與已知條件相矛盾，可判斷③錯誤，于是得到問題的答案．【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE＝50°，∴∠BAE＝∠DAC＝50°+∠BAC，在△BAE和△DAC中，，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴BE＝CD，∠AEB＝∠ACD，故①正確；設BE交AC于點G，∴∠EFC＝∠CGE﹣∠ACD＝∠CGE﹣∠ABE＝∠CAE＝50°，故②正確；作AI⊥BE于點I，AJ⊥CD于點J，∵S△BAE＝S△DAC，∴AI?BE＝，∴AI＝AJ，∴點A在∠DFE的平分線上，∴FA平分∠DFE，故④正確；假設∠DAF＝∠EAF，則∠DAF﹣∠DAB＝∠EAF﹣∠CAE，∴∠BAF＝∠CAF，∵∠AFD＝∠AFE，∠BFD＝∠CFE，∴∠AFD+∠BFD＝∠AFE+∠CFE，∴∠AFB＝∠AFC，在△AFB和△AFC中，，∴△AFB≌△AFC（ASA），∴AB＝AC，與已知條件相矛盾，∴∠DAF≠∠EAF，故③錯誤，∴①②④這3個結論正確，故選：C．【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質、根據(jù)面積等式證明線段相等、角平分線的判定、三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．二．填空題（共5小題）11．（3分）在平面直角坐標系中．點P（﹣2，）關于x軸的對稱點坐標是（﹣2，﹣）．【分析】根據(jù)“關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)”解答．【解答】解：點P（﹣2，）關于x軸的對稱點坐標是（﹣6，﹣）．故答案為：（﹣2，﹣）．【點評】本題考查了關于x軸、y軸對稱的點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)．12．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點A的坐標為（﹣7，3），點C的坐標為（﹣2，0）（1，5）．【分析】先證明△ACD≌△CBE，然后即可得到AD＝CE，DC＝EB，然后再根據(jù)點A的坐標為（﹣7，3），點C的坐標為（﹣2，0），即可得到點B的坐標．【解答】解：作AD⊥x軸于點D，作BE⊥x軸于點E，則∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，DC＝EB，∵點A的坐標為（﹣7，3），3），∴OD＝7，AD＝3，∴CE＝3，BE＝OD﹣OC＝7﹣2＝8，∴OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝8，∴點B的坐標為（1，5），故答案為：（7，5）．【點評】本題考查全等三角形的判定與性質、坐標與圖形的性質、等腰直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．13．（3分）如圖，在△PAB中，∠A＝∠B，PB，AB上的點，BN＝AK．若∠MKN＝40°，則∠P的度數(shù)為100°．【分析】證明△MAK≌△KBN，根據(jù)全等三角形的性質得到∠BKN＝∠AMK，根據(jù)三角形的外角性質求出∠A，根據(jù)三角形內角和定理計算，得到答案．【解答】解：在△MAK和△KBN中，，∴△MAK≌△KBN（SAS），∴∠BKN＝∠AMK，∵∠MKB是△AMK的外角，∴∠BKN+∠MKN＝∠A+∠AMK，∴∠A＝∠MKN＝40°，∴∠B＝∠A＝40°，∴∠P＝180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案為：100°．【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質、三角形的外角性質、三角形內角和定理，掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．14．（3分）如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為2，面積是15，AB于點E、F，若點D為底邊BC的中點，則△CDM的周長的最小值為7．【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質找到最小值，再根據(jù)三角形的面積公式求解．【解答】解：如圖，連接AD．∵△ABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝?BC?AD＝，∴AD＝6，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴點C關于直線EF的對稱點為點A，∴AD的長為CM+MD的最小值，∴△CDM的周長最短為：AD+CD＝8+1＝7，故答案為：2．【點評】本題考查了軸對稱﹣最短路徑問題，理解轉化思想是解題的關鍵．15．（3分）已知：如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，使CE＝2，連接DE，以每秒2個單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動，設點P的運動時間為t秒1或7秒時，△ABP和△DCE全等．【分析】由條件可知BP＝2t，當點P在線段BC上時可知BP＝CE，當點P在線段DA上時，則有AD＝CE，分別可得到關于t的方程，可求得t的值．【解答】解：設點P的運動時間為t秒，則BP＝2t，當點P在線段BC上時，∵四邊形ABCD為長方形，∴AB＝CD，∠B＝∠DCE＝90°，此時有△ABP≌△DCE，∴BP＝CE，即2t＝2；當點P在線段AD上時，∵AB＝4，AD＝6，∴BC＝4，CD＝4，∴AP＝16﹣2t，此時有△ABP≌△CDE，∴AP＝CE，即16﹣6t＝2；綜上可知當t為1秒或4秒時，△ABP和△CDE全等．故答案為：1或7．【點評】本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．三．解答題（共8小題）16．（1）根據(jù)圖中的相關數(shù)據(jù)，求出x的值．（3分）（2）一個多邊形的內角和是1260°，求這個多邊形的邊數(shù)．（3分）【分析】（1）利用多邊形的內角和列得方程，解得x的值即可；（2）設這個多邊形的邊數(shù)為n，利用多邊形的內角和列得方程，解得n的值即可．【解答】解：（1）（x+9）°+115°+90°+x°＝（4﹣2）×180°，解得：x＝73；（2）設這個多邊形的邊數(shù)為n，則（n﹣2）?180°＝1260°，解得：n＝9，即這個多邊形的邊數(shù)為3．【點評】本題考查多邊形的內角和，熟練掌握其內角和公式是解題的關鍵．17．現(xiàn)要在三角地ABC內建一中心醫(yī)院，使醫(yī)院到A、B兩個居民小區(qū)的距離相等，并且到公路AB和AC的距離也相等，請確定這個中心醫(yī)院的位置（5分）【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質作出AB的垂直平分線，根據(jù)角平分線性質作出∠BAC的角平分線，即可得出答案．【解答】解：作AB的垂直平分線EF，作∠BAC的角平分線AM，則P為這個中心醫(yī)院的位置．【點評】本題考查了線段垂直平分線性質，角平分線性質的應用，主要考查學生的理解能力和動手操作能力．18．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD＝EC．（1）求證：△ABD≌△EDC；（3分）（2）若AB＝1，BE＝3，求CD的長．（3分）【分析】（1）由“AAS”即可證△ABD≌△EDC；（2）結合（1）可得AB＝DE，BD＝CD，可得結論．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABD＝∠EDC．在△ABD和△EDC中，，∴△ABD≌△EDC（AAS），（2）∵△ABD≌△EDC，∴AB＝DE＝7，BD＝CD，∴CD＝BD＝DE+BE＝1+3＝3．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法是本題的關鍵．19．如圖，在△ABC中，∠CAB＝69°，E分別在邊AB，BC上，求∠B的度數(shù)．（5分）【分析】設∠B＝α．根據(jù)等腰三角形的性質以及三角形外角的性質得出∠EDB＝∠B＝α，∠CED＝∠EDB+∠B＝2α，∠CDA＝∠DCE+∠B＝3α，然后根據(jù)∠CAB＝∠CDA＝69°，即可求解．【解答】解：設∠B＝α．∵AC＝DC＝DE＝BE，∴∠EDB＝∠B＝α，∠CED＝∠ECD，∴∠CED＝∠EDB+∠B＝2α，∠CDA＝∠DCE+∠B＝3α，∵∠CAB＝69°，∴4α＝69°，∴α＝23°，即∠B的度數(shù)為23°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質以及三角形外角的性質，設∠B＝α，列出關于α的方程是解題的關鍵．20．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別為：A（1，1）（4，2）、C（3，4）．（1）若△A1B1C1與△ABC關于y軸成軸對稱，請在圖中作出△A1B1C1，并寫出△A1B1C1三個頂點A1，B1，C1的坐標；（6分）（2）在y軸上一點畫出點P，使PA+PB的值最?。唬?分）（3）計算△A1B1C1的面積．（3分）【分析】（1）利用軸對稱變換的性質分別作出A，B，C的對應點A1，B1，C1即可；（2）連接BA′交y軸于點P，連接AP，點P即為所求；（3）把三角形的面積看成矩形面積減去周圍三個三角形面積即可．【解答】解：（1）如圖1，△A1B3C1即為所求．A1（﹣6，1），B1（﹣2，2），C1（﹣4，4）；（2）如圖，點P即為所求；（3）△A1B2C1的面積為：3×4﹣×5×3﹣×8×2＝3.5．【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質，屬于中考?？碱}型．21．如圖，AB＞AC，∠BAC的平分線與BC邊的中垂線GD相交于點D，DF⊥AC于點F，求證：BE＝CF．（6分）【分析】連接BD，CD，由角平分線的性質和中垂線的性質就可以得出△BED≌△CFD就可以得出結論；【解答】證明：連接BD，CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝∠AFD＝90°，DE＝DF．∵DG垂直平分BC，∴DB＝DC．在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE＝CF；【點評】本題考查了角平分線的性質的運用，線段的垂直平分線的運用，全等三角形的判定及性質的運用，解答時證明三角形全等是關鍵．22．如圖，△ABC是等邊三角形，D、E分別是BC、AC邊上的點，且AD、BE相交于點P，∠AEB＝∠CDA．（1）求∠BPD的度數(shù)．（5分）（2）過點B作BQ⊥AD于Q，若PQ＝3，PE＝1，求BE的長.（5分）【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質可得，∠ABC＝∠C＝60°，又根據(jù)∠AEB＝∠CDA，進而求得∠EBC＝∠BAD，即可得出答案；（2）根據(jù)題意求得∠PBQ＝30°，再根據(jù)直角三角形中30°的角的性質求出BP的長度，即可得出答案．【解答】解：（1）由△ABC是等邊三角形可得，∠ABC＝∠C＝60°，∵∠ADC＝∠ABC+∠BAD，∠AEB＝∠C+∠EBC，∴∠BAD＝∠EBC，∵∠BPD＝∠ABE+∠BAD，∴∠BPD＝∠ABE+∠EBC＝∠ABC＝60°；（2）∵BQ⊥AD于Q，∴∠BQP＝90°，∵∠BPD＝60°，∴∠PBQ＝90°