2024版新教材高考數(shù)學(xué)全程一輪總復(fù)習(xí)第十章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第四節(jié)事件的相互獨(dú)立性與條件概率學(xué)生用書

第四節(jié)事件的相互獨(dú)立性與條件概率【課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)】1.了解兩個隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義，利用獨(dú)立性計(jì)算概率.2.了解條件概率，能計(jì)算簡單隨機(jī)事件的條件概率.3.了解條件概率與獨(dú)立性的關(guān)系，會用乘法公式計(jì)算概率.4.會利用全概率公式計(jì)算概率．必備知識·夯實(shí)雙基知識梳理1.相互獨(dú)立事件對任意的兩個事件A與B，如果P(AB)＝________成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立．如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則P(A1A2…An)＝________________．2．條件概率(1)概念：一般地，設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝________為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率．(2)公式：①利用古典概型：P(A|B)＝________；②概率的乘法公式：P(AB)＝________．3．全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，則對任意事件B?Ω，有P([常用結(jié)論]1．兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生，兩個事件相互獨(dú)立是指一個事件發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響，兩個事件相互獨(dú)立不一定互斥．2．若事件A與事件B相互獨(dú)立，則A與B，A與B，A與3．計(jì)算條件概率P(B|A)時，不能隨便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．夯實(shí)雙基1.思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A＝“第一枚出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于2”，B＝“第二枚出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于6”，則A與B相互獨(dú)立．()(2)對于任意兩個事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()(3)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)．()(4)若A，B相互獨(dú)立，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.4，則A，B都不發(fā)生的概率為0.3.()2．(教材改編)天氣預(yù)報，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為________．3．(教材改編)某班為響應(yīng)校團(tuán)委發(fā)起的“青年大學(xué)習(xí)”號召組織了有獎知識競答活動，第一環(huán)節(jié)是一道必答題，由甲乙兩位同學(xué)作答，每人答對的概率均為0.7，兩人都答對的概率為0.5，則甲答對的前提下乙也答對的概率是________．(用分?jǐn)?shù)表示)4．(易錯)某電視臺的夏日水上闖關(guān)節(jié)目中的前四關(guān)的過關(guān)率分別為56，45A．725B．C．1225D．5．(易錯)從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝________．關(guān)鍵能力·題型突破題型一相互獨(dú)立事件的概率例1[2023·河北元氏模擬]第32屆夏季奧林匹克運(yùn)動會于2021年7月23日至8月8日在日本東京舉辦，某國男子乒乓球隊(duì)為備戰(zhàn)本屆奧運(yùn)會，在某訓(xùn)練基地進(jìn)行封閉式訓(xùn)練，甲、乙兩位隊(duì)員進(jìn)行對抗賽，每局依次輪流發(fā)球，連續(xù)贏2個球者獲勝，通過分析甲、乙過去對抗賽的數(shù)據(jù)知，甲發(fā)球甲贏的概率為23，乙發(fā)球甲贏的概率為14，不同球的結(jié)果互不影響，已知某局(1)求該局打4個球甲贏的概率；(2)求該局打5個球結(jié)束的概率．題后師說獨(dú)立事件概率的求法(1)解答這類概率綜合問題時，一般“大化小”，即將問題劃分為若干個彼此互斥事件，然后運(yùn)用概率的加法公式和乘法公式來求解，在運(yùn)用乘法公式時一定要注意是否滿足相互獨(dú)立，只有相互獨(dú)立才能運(yùn)用乘法公式．(2)在求事件的概率時，有時遇到求“至少……”或“至多……”等事件概率的問題，如果從正面考查這些問題，它們是諸多事件的和或積，求解過程繁瑣，但“至少……”“至多……”這些事件的對立事件卻往往很簡單，其概率也易求出，此時，可逆向思考，先求其對立事件的概率，再利用概率的和與積的互補(bǔ)公式求得原來事件的概率．這是“正難則反”思想的具體體現(xiàn)．鞏固訓(xùn)練1[2023·河南鄭州期末]甲、乙、丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約．甲表示只要面試合格就簽約，乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設(shè)甲面試合格的概率為14，乙、丙每人面試合格的概率都是1(1)恰有一人面試合格的概率；(2)至多一人簽約的概率．題型二條件概率例2[2023·北京大興期末]某次抽獎活動共有50張獎券，其中5張寫有“中獎”字樣，抽完的獎券不再放回．若甲抽完之后乙再抽．(1)求在甲中獎的條件下，乙中獎的概率；(2)證明：甲中獎的概率與乙中獎的概率相等．題后師說求條件概率的常用方法鞏固訓(xùn)練2已知一個不透明的口袋中有4個白球和8個紅球，球除顏色外完全相同．(1)若一個人從口袋中隨機(jī)抽取一個球，求其抽取到白球的概率；(2)若一個人從口袋中隨機(jī)不放回連續(xù)抽取球兩次，每次抽取一個球，求在第一次抽取出白球的條件下第二次抽取出的也是白球的概率．題型三全概率公式的應(yīng)用例3已知甲箱產(chǎn)品中有5個正品和3個次品，乙箱產(chǎn)品中有4個正品和3個次品．(1)如果依次不放回地從乙箱中抽取2個產(chǎn)品，求第2次取到次品的概率；(2)若從甲箱中任取2個產(chǎn)品放入乙箱中，然后再從乙箱中任取一個產(chǎn)品，求從乙箱中取出的這個產(chǎn)品是正品的概率．題后師說利用全概率公式求解概率的步驟鞏固訓(xùn)練3鮮花餅是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥餅，是具有云南特色的云南經(jīng)典點(diǎn)心代表，鮮花餅的保質(zhì)期一般在三至四天．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某超市一天鮮花餅賣出3箱的概率為15，賣出2箱的概率為12，賣出1箱的概率為15，沒有賣出的概率為110，為了保證顧客能夠買到新鮮的鮮花餅，該超市規(guī)定當(dāng)天結(jié)束營業(yè)后檢查貨架上存貨，若賣出2箱及以上，則需補(bǔ)貨至(1)在第一天結(jié)束營業(yè)后貨架上有2箱鮮花餅的條件下，求第二天結(jié)束營業(yè)時貨架上有1箱存貨的概率；(2)求第二天結(jié)束營業(yè)時貨架上有1箱存貨的概率．1.[2020·新高考Ⅰ卷]某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是()A．62%B．56%C．46%D．42%2．[2022·全國乙卷]某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.記該棋手連勝兩盤的概率為p，則()A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B．該棋手在第二盤與甲比賽，p最大C．該棋手在第二盤與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤與丙比賽，p最大3．[2022·新高考Ⅰ卷節(jié)選]一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對照組)，得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，PBAPBA(1)證明：R＝PABP(2)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B)，P(A|B)的估計(jì)值，并利用(ⅰ)的結(jié)果給出R的估計(jì)值．4．[2020·全國Ⅰ卷]甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為12(1)求甲連勝四場的概率；(2)求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率．第四節(jié)事件的相互獨(dú)立性與條件概率必備知識·夯實(shí)雙基知識梳理1．P（A）·P（B）P（A1）P（A2）…P（An）2．（1）P（AB）P（A）（2）①n（AB）3.i-1nP（Ai）P夯實(shí)雙基1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：設(shè)甲地降雨為事件A，乙地降雨為事件B，則兩地恰有一地降雨為AB+AB，∴P(AB+AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.2×0.7＋0.8答案：0.383．解析：記事件A：甲答對，事件B：乙答對，則有：P(A)＝P(B)＝0.7，P(AB)＝0.5，所以P(B|A)＝PABPA＝0.5答案：54．解析：該選手能進(jìn)入第四關(guān)的概率為56×45×35+56答案：D5．解析：P(A)＝C32+C22C52＝25，P(AB)＝C22C5答案：1關(guān)鍵能力·題型突破例1解析：(1)設(shè)甲發(fā)球甲贏為事件A，乙發(fā)球甲贏為事件B，該局打4個球甲贏為事件C，由題知，P(A)＝23，P(B)＝14，∴C＝AB∴P(C)＝P(ABAB)＝P(A)P(B)P(A)P(B)＝23×3∴該局打4個球甲贏的概率為112(2)設(shè)該局打5個球結(jié)束時甲贏為事件D，乙贏為事件E，打5個球結(jié)束為事件F，易知D，E為互斥事件，D＝ABABA，E＝ABABA，F(xiàn)＝D∪E∴P(D)＝P(ABABA)＝P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)＝(1－23)×14×(1－23)×1P(E)＝P(ABABA)＝P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)＝23×(1－14)×23×(1－14)×(1－∴P(F)＝P(D∪E)＝P(D)＋P(E)＝1216+1∴該局打5個球結(jié)束的概率為19216鞏固訓(xùn)練1解析：(1)記事件A：甲面試合格，事件B：乙面試合格，事件C：丙面試合格，事件D：恰好有一人面試合格，依題意，事件A、B、C相互獨(dú)立，P(D)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝14(2)至多一人簽約包括甲簽約乙丙沒有簽約、三人都沒有簽約兩種情況，事件F：甲簽約乙丙沒有簽約，事件G：三人都沒有簽約，事件E：至多一人簽約，因?yàn)镕與G互斥，所以P(E)＝P(F)＋P(G)，P(F)＝P(A)(1－P(BC))＝14×(1－13×1P(G)＝(1－P(A))(1－P(BC))＝34×8P(E)＝P(F)＋P(G)＝29+2所以至多一人簽約的概率為89例2解析：(1)設(shè)事件A為甲中獎，事件B為乙中獎，因?yàn)槌橥甑莫勅辉俜呕?，所以甲中獎的條件下，乙抽獎時，有49張獎券且4張寫有“中獎”字樣，所以在甲中獎的條件下，乙中獎的概率P(B|A)＝449(2)證明：P(A)＝550＝1乙中獎分兩種情況，當(dāng)甲不中獎時，乙抽獎時，有49張獎券且5張寫有“中獎”字樣，則在甲不中獎的條件下，乙中獎的概率P(B|A)＝549＝P所以甲不中獎且乙中獎的概率P(AB)＝549×9在甲中獎的條件下，乙中獎的概率P(B|A)＝449＝P所以甲中獎且乙中獎的概率P(AB)＝449×1所以乙中獎的概率P(B)＝45490+4所以甲中獎的概率與乙中獎的概率相等．鞏固訓(xùn)練2解析：(1)從口袋中隨機(jī)抽取一個球，抽取到白球的概率P＝44+8＝1(2)記“第一次抽取出球是白球”為事件A，“第二次抽取出球是白球”為事件B，則第一次抽取出白球和第二次抽取出球也是白球的概率P(AB)＝412×3所以在第一次取出白球的條件下第二次取出的也是白球的概率P(B|A)＝PABPA＝1例3解析：(1)令事件Ai＝“第i次從乙箱中取到次品”，i＝1，2，則P(A1)＝37，P(A2|A1)＝26＝13，P(A2|A1)＝因此P(A2)＝P(A2A1＋A2A1)＝P(A1)·P(A2|A1)＋P(A1)·P(A2|A1)＝3所以第2次取到次品的概率是37(2)令事件A＝“從乙箱取一個正品”，事件B1＝“從甲箱中取出兩個正品”，事件B2＝“從甲箱中取出一個正品一個次品”，事件B3＝“從甲箱中取出兩個次品”，B1，B2，B3互斥，且B1∪BP(B1)＝C52C82＝514，P(B2)＝C51C31C82＝1528，P(B3)＝C32C82＝328，P(A|B1)＝6則P(A)＝P(B1)·P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)·P(A|B3)＝514×6所以從乙箱中取出的這個產(chǎn)品是正品的概率是712鞏固訓(xùn)練3解析：(1)設(shè)事件A：“第二天開始營業(yè)時貨架上有3箱鮮花餅”，事件B：“第二天開始營業(yè)時貨架上有2箱鮮花餅”，事件C：“第二天結(jié)束營業(yè)時貨架上有1箱存貨”，因?yàn)榈谝惶旖Y(jié)束營業(yè)后貨架上有2箱鮮花餅，故第二天只賣出1箱，故P(C|B)＝15(2)由題意P(A)＝110+15+12＝45，P(B)＝15，由全概率公式得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝45×1真題展臺——知道高考考什么？1．解析：記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件A，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件B，則“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件A＋B，“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件A·B，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.82，P(A＋B)＝0.96.所以P(A·B)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.82－0.96＝0.46.所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為46%.故選C.答案：C2．解析：設(shè)第二