專題16 函數(shù)與幾何中的最值問題（原卷版）

專題16函數(shù)與幾何中的最值問題目錄一、熱點(diǎn)題型歸納【題型一】將軍飲馬型求最值【題型二】搭橋模型求最值【題型三】胡不歸模型求最值二、最新模考題組練【題型一】將軍飲馬型求最值【典例分析】（2023·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）在中，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段，的垂直平分線的交點(diǎn)，連接，，．(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，則______°；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，連接，判斷的形狀，并證明；②如圖3，直線與交于點(diǎn)，滿足．為直線上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，用等式表示，與之間的數(shù)量關(guān)系為______，并證明．【提分秘籍】基本規(guī)律1.在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最??；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：A、A'是關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。2.在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）臺(tái)球兩次碰壁模型變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線m，n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.變式二：已知點(diǎn)A位于直線m，n的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.【變式演練】1．如圖，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），與y軸的交點(diǎn)是點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)PB＋PC的值最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在y軸上運(yùn)動(dòng)，是否存在點(diǎn)M，N，使得且以點(diǎn)C，M，N為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．2．問題情境：如圖1，P是⊙O外的一點(diǎn)，直線PO分別交⊙O于點(diǎn)A，B，則PA是點(diǎn)P到⊙O上的點(diǎn)的最短距離．（1）探究證明：如圖2，在⊙O上任取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)A，B重合），連接PC，OC．求證：PA＜PC．（2）直接應(yīng)用：如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是弧CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，則AP的最小值是．（3）構(gòu)造運(yùn)用：如圖4，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A1MN，連接A1B，則A1B長(zhǎng)度的最小值為．（4）綜合應(yīng)用：如圖5，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點(diǎn)A（﹣2，3），B（4，5）為圓心，以1，2為半徑作⊙A，⊙B，M，N分別是⊙A，⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，直接寫出PM+PN的最小值為．【題型二】搭橋模型求最值【典例分析】【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個(gè)問題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．如圖，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)，線段的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”．(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點(diǎn)是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接，，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到．①若，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離是______；②當(dāng)，，時(shí)，求的大小；(2)如圖2，點(diǎn)是內(nèi)的一點(diǎn)，且，，，求的最小值．【提分秘籍】基本規(guī)律已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè)，且PQ間長(zhǎng)度恒定，在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：過A點(diǎn)作AC//m，且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC，交直線m于Q，Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：過A點(diǎn)作AE//m，且AE長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，作B關(guān)于m的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'E，交直線m于Q，Q向左平移PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。【變式演練】1．【問題提出】（1）如圖1，四邊形是正方形，是等邊三角形，M為對(duì)角線（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接、，．若連接，則的形狀是________．（2）如圖2，在中，，，求的最小值．【問題解決】（3）如圖3，某高新技術(shù)開發(fā)區(qū)有一個(gè)平行四邊形的公園，千米，，公園內(nèi)有一個(gè)兒童游樂場(chǎng)E，分別從A、B、C向游樂場(chǎng)E修三條，求三條路的長(zhǎng)度和（即）最小時(shí)，平行四邊形公園的面積．2．中，．(1)如圖1，若，平分交于點(diǎn)，且．證明：；(2)如圖2，若，取中點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接并延長(zhǎng)至，使，猜想線段、、之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，若，為平面內(nèi)一點(diǎn)，將沿直線翻折至，當(dāng)取得最小值時(shí)，直接寫出的值．【題型三】胡不歸模型求最值【典例分析】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1和直線l2相交于y軸上的點(diǎn)B，分別交x軸于A、C且∠OBC＝30度．（1）求直線l2的解析式；（2）點(diǎn)E坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)F為直線l1上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)EF＋CF最小時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的最小值．【提分秘籍】基本規(guī)律一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最?。?，即求BC+kAC的最小值．構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．將問題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。谇笮稳纭癙A+kPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型?！咀兪窖菥殹?．已知，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD上的兩點(diǎn)，連接BE、CF，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，連接DG，H為CF上一點(diǎn)，連接BH、DH，(1)如圖1，若H為CF的中點(diǎn)，且，，求線段AB的長(zhǎng)；(2)如圖2，若，過點(diǎn)B作于點(diǎn)I，求證：；(3)如圖2，在（1）的條件下，P為線段AD（包含端點(diǎn)A、D）上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，過點(diǎn)B作于點(diǎn)Q，將沿BC翻折得，N為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN，當(dāng)面積最大時(shí)，直接寫出的最小值．2．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，拋物線恰好經(jīng)過這兩點(diǎn)．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)C的坐標(biāo)是，將繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．①寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在此拋物線上；②若點(diǎn)P是y軸上的任一點(diǎn)，求取最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)．1．（2023·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知二次函數(shù)的圖像交軸于點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)作軸的垂線，分別交直線和拋物線于點(diǎn)、．①若點(diǎn)在線段上，求的最大值；②以為斜邊作等腰直角，當(dāng)點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2023·江蘇南京·一模）如圖，已知拋物線（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)B．(1)若直線y＝mx+n經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；(2)在拋物線的對(duì)稱軸x＝﹣1上找一點(diǎn)M，使MA+MC的值最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)設(shè)P為拋物線的對(duì)稱軸x＝﹣1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．3．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線y=-x2+bx+c與直線AB交于A（-4，-4），B（0，4）兩點(diǎn)，直線AC：y=-交y軸與點(diǎn)C，點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)EF∥y軸交AC于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．（1）直接寫出拋物線y=-x2+bx+c的解析式為_______；（2）在y軸上存在一點(diǎn)H，連接EH，HF，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A，E，F(xiàn)，H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E，H的坐標(biāo)；（3）在（2）的前提下，以點(diǎn)E為圓心，EH長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為圓E上一動(dòng)點(diǎn)，求AM+CM的最小值．4．（2023·江蘇南通·校考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，將Rt△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得Rt△DCE．(1)如圖1，當(dāng)DE∥AC時(shí)，AB、DC交于點(diǎn)F，AB、DE交于點(diǎn)P，求證：AP＝AC；(2)如圖2，當(dāng)B在DE上時(shí)，連AD，求的值；(3)若Rt△ACB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋α（0＜α≤90°），BC＝2，M是BC中點(diǎn)，N在AC延長(zhǎng)線上，CN＝1，在旋轉(zhuǎn)過程中，2EM＋EN的最小值為_________．5．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）在中，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，交于點(diǎn)M，求的長(zhǎng)；（3）如圖3，連接，直線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．6．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，．P是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），延長(zhǎng)到Q，使交于點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．(1)若，求證：；(2)探究：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F的位置是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；(3)求C，E兩點(diǎn)距離的最小值．7．（2022·江蘇泰州·校聯(lián)考三模）如圖，已知中，，，，是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)與重合，連接．(1)求證：；(2)若點(diǎn)是上的一點(diǎn)，且，①若與的面積比是，請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖（2）中作出折疊后的（保留作圖痕跡，不寫作法）；②求的最小值．8．（2022·江蘇連云港·