數(shù)學(xué)建模思想融入高中函數(shù)教學(xué)的研究

數(shù)學(xué)建模思想融入高中函數(shù)教學(xué)的研究摘要《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》單獨把＂數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)文化＂當作大教學(xué)板塊列出，規(guī)定高中階段至少每年安排一次比較完整的數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模活動，將數(shù)學(xué)和實際生活緊密聯(lián)系起來，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和思維意識，并且做出了具體的教學(xué)要求，老師由所學(xué)具體數(shù)學(xué)課程知識點出發(fā)，找到生活中的原型，引導(dǎo)學(xué)生做出自己的判斷并給出相應(yīng)的理由和證明。這有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)文化，通過將數(shù)學(xué)模型抽象出來，最終實現(xiàn)數(shù)學(xué)建模由隱形課程向顯性課程跨越?！督逃科胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標準》明確把數(shù)學(xué)建模加入高中數(shù)學(xué)課程中，并設(shè)立＂數(shù)學(xué)探究＂＂數(shù)學(xué)建模＂等學(xué)習(xí)探究活動。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；高中數(shù)學(xué)；函數(shù)教學(xué)；教學(xué)方法目錄TOC\o"1-5"\h\z\u1引言 11.1選題背景 11.2研究意義 12數(shù)學(xué)建模概述 13函數(shù)及其教學(xué)現(xiàn)狀 33.1函數(shù)概述 33.2對數(shù)函數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀 44對數(shù)函數(shù)模型在實際中的應(yīng)用 4參考文獻 7致謝 81引言1.1選題背景在我國，受到應(yīng)試教育的影響，高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是為了迎戰(zhàn)高考這一目的而教學(xué)，高考需要考什么內(nèi)容，我們的老師就教什么內(nèi)容，這樣一來就使得我們的數(shù)學(xué)變得枯燥乏味，喪失了數(shù)學(xué)本身的趣味，學(xué)生丟失了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)習(xí)成績也就隨之不容易提高。甚至有些老師和學(xué)生家長使用題海戰(zhàn)術(shù)，讓學(xué)生一味的做題，造成了普遍地做難題、做死題的局面。數(shù)學(xué)本就來源于生活，然而為高考而學(xué)的教學(xué)模式已經(jīng)使數(shù)學(xué)知識與實際生活相脫離。即使現(xiàn)在提倡的是素質(zhì)教育，但現(xiàn)實還是以考試分數(shù)的高低來劃分優(yōu)劣，在這種目的下的教學(xué)過程中，我們的老師著重講解解題的技巧和推理方法，而忽略了培養(yǎng)學(xué)生運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決生活實際問題的能力，也忽略了培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。而且老師在講完課后不是讓學(xué)生去理解題目本身的意義，是布置多個類似的題型作為作業(yè)練習(xí)，這樣的教學(xué)過程沒有讓學(xué)生運用所學(xué)解決實際問題，才使得學(xué)生覺得學(xué)數(shù)學(xué)難，提不起興趣。1.2研究意義1、從理論方面豐富數(shù)學(xué)建模的教學(xué)原則，放大策略，為中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供理論依據(jù)；2、從實踐方面指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)，為數(shù)學(xué)教育者們提供可以參考的案例。2數(shù)學(xué)建模概述數(shù)學(xué)建模，其本質(zhì)就是把一個實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，通過建立數(shù)學(xué)等量關(guān)系，運用數(shù)學(xué)知識去求解、討論，從而解決問題。對實際問題從數(shù)學(xué)的角度進行觀察和分析，稱為建模思想。建模思想從心理學(xué)角度看，就是運用數(shù)學(xué)知識建立數(shù)學(xué)模型的傾向性，解決數(shù)學(xué)問題即為學(xué)生建模。數(shù)學(xué)模型的特點：（1）模型的逼真性和可行性、（2）模型的漸進性、（3）模型的強健性、（4）模型的可轉(zhuǎn)移性、（5）模型的非預(yù)制性、（6）模型的條理性、（7）模型的技藝性、（8）模型的局限性數(shù)學(xué)建模的基本步驟（如圖1）：實際問題實際問題建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型模型求解模型求解實際問題的合理再求模型解實際問題的合理再求模型解檢驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)果檢驗?zāi)Ｐ徒Y(jié)果修改模型修改模型（圖1）解題基本步驟如下：分析實際問題：了解問題的實際背景、明確建模的目的、收集必要的信息、盡量弄清問題的主要特征，形成一個比較清晰的問題。建立模型：將文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識和相關(guān)專業(yè)知識建立數(shù)學(xué)模型。模型求解：利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識求解模型，求出模型的解。模型驗證：將模型的解進行檢驗，還原為實際問題的意義。當我們面臨新的建模問題時，這個流程具有指導(dǎo)意義。但是，不是每個建模問題都要經(jīng)過這些問題，其順序也是可變的，具體的建模問題要經(jīng)過哪些步驟并沒有一定的模式。通常與實際問題的性質(zhì)，建模的目的有關(guān)。數(shù)學(xué)作為一種思想、一種語言、一種方法、一種模型，應(yīng)強調(diào)其它方面的應(yīng)用，多層次、多角度的廣泛應(yīng)用，數(shù)學(xué)建模就是探討數(shù)學(xué)應(yīng)用最直接，有效的途徑之一，可以說有數(shù)學(xué)的地方就有數(shù)學(xué)建模。3函數(shù)及其教學(xué)現(xiàn)狀3.1函數(shù)概述1.函數(shù)的解析式與定義域一個函數(shù)的給出總是以解析式的形式出現(xiàn)，一些函數(shù)通過簡單的變換可以成為一個解析式，是一個函數(shù)的直接的表現(xiàn)方式；定義域是函數(shù)中自變量的取值范圍的規(guī)定。明確了解這兩點對函數(shù)的學(xué)習(xí)來說具有重大的意義。例如，某高級中學(xué)打算建一個平面圖形為矩形的游泳池，現(xiàn)有建筑材料長100米，求平面圖形的面積S與矩形的長度x之間的函數(shù)解析式。假如我們設(shè)矩形的長度為x米，那么矩形的寬度就為（50-x）米，那么可得函數(shù)的解析式為：S=x（50-x）。在這樣的解析過程中直接看起來并不存在問題，但是在數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)嚴謹思想的要求下可以發(fā)現(xiàn)缺乏對函數(shù)定義域的確定，即自變量x的范圍并沒有確定，具體的長度必須大于0，而且小于50，這樣就可以寫出正確的函數(shù)表達式為：S=x（50-x）（0＜x＜50）。因此，在寫出函數(shù)的表達式時是不能忽略自變量的取值范圍的，這是對函數(shù)本身的隱性限制，否則不能得到滿分。2.函數(shù)單調(diào)性與定義域函數(shù)的單調(diào)性與定義域有著密切的關(guān)系，雖然一次函數(shù)不是單調(diào)遞增就是單調(diào)遞減，但是在多次與高次函數(shù)中卻并不是如此。如，二次函數(shù)的圖像有最高點或者最低點，這個最高（低）點就把函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)定義劃分為單調(diào)遞減與單調(diào)遞增的兩個區(qū)間，高次函數(shù)則是根據(jù)函數(shù)圖像中的拐點按照定義域劃分為多個單調(diào)區(qū)間。還有常見的對（指）數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，它在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，但是值域是有限制的。3.函數(shù)的奇偶性與不等式定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件，所以判斷函數(shù)的奇偶性要優(yōu)先考慮函數(shù)的定義域。奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性為“奇同偶反”。如，y=x2就是標準的偶函數(shù)，y=x3就是標準的奇函數(shù)。函數(shù)與不等式的結(jié)合緊密，如求函數(shù)的定義域，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的最值、極值等，都要用到不等式（組）的解法，而不等式本身也是一個難點。在教學(xué)中，我們要讓學(xué)生打好不等式的基礎(chǔ)，這樣才能為函數(shù)學(xué)習(xí)創(chuàng)造條件。（1）16世紀初，當?shù)谝粡垖?shù)表問世后，天文學(xué)家兼數(shù)學(xué)家的拉普拉斯?jié)M腔熱情的稱贊這是一項“使天文學(xué)生命倍增”的發(fā)明。其實從數(shù)學(xué)的角度看，對數(shù)產(chǎn)生的意義就更為深遠了。伽利略甚至說“給我一個空間，時間及對數(shù)，我即可創(chuàng)造一個宇宙”。對數(shù)與解析幾何，微積分被人們視為17世紀數(shù)學(xué)領(lǐng)域里最偉大的三大成就。（2）對數(shù)（log）是17世紀初根據(jù)現(xiàn)實生活的需要發(fā)明的數(shù)學(xué)概念，當時隨著關(guān)于天文學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了計算龐大數(shù)據(jù)的必要性。因為當時計算工具并不發(fā)達，所以只能由人們一步一步的計算。但是如果利用對數(shù)的計算性質(zhì)，可以將乘法轉(zhuǎn)化為加法，除法轉(zhuǎn)化為減法，則是處理大數(shù)之間的乘法與除法時則非常方便。（3）定義：一般的，我們把函數(shù)logaxa>0（4）對數(shù)函數(shù)計算性質(zhì)：logloglog3.2對數(shù)函數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀當前的對數(shù)函數(shù)教學(xué)內(nèi)容包括：定義、性質(zhì)、定理、應(yīng)用，而且對數(shù)函數(shù)有自己的一個模型。在目前的對數(shù)函數(shù)教學(xué)中，存在以下問題=1\*GB3①.重理論、輕應(yīng)用.=2\*GB3②.重演繹、輕歸納，教師采用“滿堂灌”教學(xué)，啟發(fā)思維少，學(xué)生處于被動地位.=3\*GB3③數(shù)學(xué)建模融入教學(xué)不徹底.=4\*GB3④多媒體教學(xué)手段應(yīng)用不太廣泛，教師還停留在黑板加粉筆字，缺少直觀性、趣味性.=5\*GB3⑤與其它學(xué)科缺少連接.4對數(shù)函數(shù)模型在實際中的應(yīng)用例1、我們知道，燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為v=5log2O10=1\*GB2⑴計算當一只兩歲燕子靜止時的耗氧量是多少單位？=2\*GB2⑵當一只兩歲燕子的耗氧量是80個單位時，它的飛行速度是多少？解：=1\*GB2⑴由題意知，當燕子靜止時，它的速度v=0.代入已知的函數(shù)關(guān)系式可得0=5log2O10=2\*GB2⑵將耗氧量o=80代入已知函數(shù)關(guān)系式，得v=5log280例2、2003年10月15日，我國的“長征”二號F型火箭成功發(fā)射了“神舟五號”載人飛船?；鸺钠痫w重量M是箭體（包括搭載的飛行器）的重量和燃料重量x之和。在不考慮空氣阻力的情況下，假設(shè)火箭的最大速度y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=klnm+x-ln=1\*GB2⑴求“長征”二號F型火箭的最大速度yms與燃料重量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=fx=2\*GB2⑵已知“長征”二號F型火箭的起飛重量是479.8噸，則應(yīng)裝多少噸燃料（精確到0.1噸），才能使該火箭的最大飛行速度達到8kms。順利的把飛船送到預(yù)定的橢圓軌道.解：=1\*GB2⑴依題意把x=e—1m,y=4代入函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kln因此，所求函數(shù)關(guān)系式為y=8整理得：y==2\*GB2⑵設(shè)應(yīng)裝載x噸燃料方能滿足題意，此時m=479.8—x，y=8代入函數(shù)關(guān)系式有：ln479.8479.8-x=1得到即需要裝載303.3噸燃料才可能使火箭把飛船發(fā)送到預(yù)定軌道.例3、某工廠1994年生產(chǎn)某種產(chǎn)品2萬件，計劃從1995年開始，每年的產(chǎn)量比上年增長20%，問從哪一年開始這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過12萬件？解：由題目條件可得2所以，2×兩邊取以1.2為底數(shù)的對數(shù)可得n所以n=10，這家工廠從2004年開始年產(chǎn)量超過12萬件因此，根據(jù)當前對數(shù)函數(shù)的教學(xué)情況和對數(shù)函數(shù)在實際中的應(yīng)用，提出幾點建議：=1\*GB2⑴對數(shù)函數(shù)模型要貫穿對數(shù)函數(shù)整個教學(xué)過程，比如把這種建模思想融入定義、性質(zhì)、定理中讓學(xué)生知道這些定義、性質(zhì)、定理來源于實際，來源于我們的身邊的日常生活。=2\*GB2⑵教師應(yīng)當認真貫徹新課程改革的目標，在教學(xué)中運用啟發(fā)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生積極參與和參加。=3\*GB2⑶教師要深度挖掘教材內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生的求知欲望。=4\*GB2⑷教師要在頭腦中樹立一個數(shù)學(xué)建模的思想，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)建模的含義，增強學(xué)生的動手、思考的能力。=5\*GB2⑸教師教學(xué)要應(yīng)用多媒體教學(xué)，讓學(xué)生能夠直觀的感受事物。比如例2，你可以在多媒體上來演示火箭把飛船送入軌道的動態(tài)演示圖，可以設(shè)置相關(guān)的參數(shù)來控制，讓學(xué)生能夠在實際物體的狀態(tài)下來計算。參考文獻[1]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2008，6.1-2[2]教育部普通高中數(shù)學(xué)課程標準[S].北京：人民教育出版社，2006，101-104[3]候亞林，龐留勇.數(shù)學(xué)建模在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J].湖北成人教育學(xué)報，2009，7-121-123[4]張奠宙，宋乃慶．數(shù)學(xué)教育概論[M].北京：高等教育出版社，2004：168[5]馮永明，張啟凡，中學(xué)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)構(gòu)想與實踐[J].數(shù)學(xué)通訊，2000，13：16-19[6]馮永明，張啟凡，劉風文．中學(xué)數(shù)學(xué)建模的教學(xué)構(gòu)想與實踐[J].數(shù)學(xué)通訊，20001：16-19[7]數(shù)學(xué)建模教育與應(yīng)用課題組．中學(xué)數(shù)學(xué)建模與應(yīng)用教學(xué)的實踐與認識陰，中學(xué)數(shù)學(xué)月刊2000（1）：4-7[8]付軍，朱宏，王憲昌.在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的實踐與思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2007（11）：24-26[9]方俊，吳方.淺談中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)學(xué)建?！彼枷氲臐B透[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2006（9）：46-48[10]王永生.數(shù)學(xué)建模教育醜入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的改革與實踐[J].科教研巧，2008（9）：91-92[11]李明振，齊建華.中學(xué)數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)[J].河南教育學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2002（4）：11-14[12]于梅英.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想的幾點嘗試[J].數(shù)學(xué)通訊，2009（2）：43-44[13]付軍，朱宏，王憲昌.在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的實踐與思考[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2007（4）：93-95[14]楊志文.數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的建模方法初探[J