專題八 解析幾何-2023屆高考數(shù)學公式定律速記清單

專題八

解析幾何——2023屆高考數(shù)學公式定律速記清單（一）直線與圓1.直線的有關問題(1)直線的斜率公式①已知直線的傾斜角為，則直線的斜率為．②已知直線過點，則直線的斜率為.(2)三種距離公式①兩點間的距離：若，則．②點到直線的距離：點到直線的距離．③兩平行線的距離：若直線l1，l2的方程分別為則兩平行線的距離.(3)直線與圓相交時弦長公式設圓的半徑為R，圓心到弦的距離為d，則弦長．(4)直線方程的五種形式①點斜式：．②斜截式：．③兩點式：．④截距式：．⑤一般式：(A，B不同時為0)． (5)直線的兩種位置關系①當不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時：(ⅰ)兩直線平行：．(ⅱ)兩直線垂直：．②當兩直線方程分別為時：(ⅰ)l1與l2平行或重合．(ⅱ)．2.圓的三種方程①圓的標準方程：．②圓的一般方程：．③圓的直徑式方程：(圓的直徑的兩端點是)．3.直線與圓的位置關系（1）判斷直線與圓的位置關系的方法①代數(shù)方法(判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：相交，相離，相切．②幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設圓心到直線的距離為d，則d<r?相交，d>r?相離，d＝r?相切．(主要掌握幾何方法)．（2）兩圓圓心距與兩圓半徑之間的關系與兩圓的位置關系設圓O1半徑為r1，圓O2半徑為r2.圓心距與兩圓半徑的關系兩圓的位置關系內含內切相交外切外離（二）圓錐曲線的概念與性質，與弦有關的計算問題1．圓錐曲線的定義(1)橢圓：．(2)雙曲線：．(3)拋物線：，點F不在直線l上，于M(l為拋物線的準線)．2．圓錐曲線的重要性質(1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關系①在橢圓中：；離心率為．②在雙曲線中；離心率為．(2)雙曲線的漸近線方程與焦點坐標①雙曲線的漸近線方程為；焦點坐標．②雙曲線的漸近線方程為，焦點坐標．(3)拋物線的焦點坐標與準線方程①拋物線的焦點坐標為，準線方程為．②拋物線的焦點坐標為，準線方程為．3.弦長問題(1)直線與圓錐曲線相交時的弦長斜率為k的直線與圓錐曲線交于點時，(2)拋物線焦點弦的幾個常用結論設AB是過拋物線焦點F的弦，若，則，；②弦長(為弦AB的傾斜角)；③；④以弦AB為直徑的圓與準線相切．（三）直線與圓錐曲線位置關系的判斷與證明問題1．有關圓錐曲線弦長、面積問題的求解方法(1)涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數(shù)的關系、設而不求計算弦長；涉及垂直關系時也往往利用根與系數(shù)的關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．(2)面積問題常采用S△＝×底×高，其中底往往是弦長，而高用點到直線距離求解即可，選擇底很重要，選擇容易坐標化的弦長為底．有時根據(jù)所研究三角形的位置，靈活選擇其面積表達形式，若求多邊形的面積問題，常轉化為三角形的面積后進行求解．(3)在求解有關直線與圓錐曲線的問題時，應注意數(shù)形結合、分類與整合、轉化與化歸及函數(shù)與方程思想的應用．2．弦中點問題的解決方法(1)用“點差法”求解弦中點問題的解題步驟(2)對于弦中點問題常用“根與系數(shù)的關系”或“點差法”求解，在使用根與系數(shù)的關系時，要注意使用條件Δ>0，在用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交．3．與相交有關的向量問題的解決方法在解決直線與圓錐曲線相交，所得弦端點的有關的向量問題時，一般需利用相應的知識，將該關系轉化為端點坐標滿足的數(shù)量關系，再將其用橫(縱)坐標的方程表示，從而得到參數(shù)滿足的數(shù)量關系，進而求解．4.圓錐曲線中最值問題：主要是求線段長度的最值、三角形面積的最值等．5.圓錐曲線中的范圍問題：關鍵是選取合適的變量建立目標函數(shù)和不等關系．該問題主要有以下三種情況：(1)距離型：若涉及焦點，則可以考慮將圓錐曲線定義和平面幾何性質結合起來求解；若是圓錐曲線上的點到直線的距離，則可設出與已知直線平行的直線方程，再代入圓錐曲線方程中，用判別式等于零求得切點坐標，這個切點就是距離取得最值的點，若是在圓或橢圓上，則可將點的坐標以參數(shù)形式設出，轉化為三角函數(shù)的最值求解．(2)斜率、截距型：一般解法是將直線方程代入圓錐曲線方程中，利用判別式列出對應的不等式，解出參數(shù)的范圍，如果給出的只是圓錐曲線的一部分，則需要結合圖形具體分析，得出相應的不等關系．(3)面積型：求面積型的最值，即求兩個量的乘積的范圍，可以考慮能否使用不等式求解，或者消元轉化為某個參數(shù)的函數(shù)關系，用函數(shù)方法求解．6.圓錐曲線中的定點，定值問題定值、定點問題在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量，用變化的量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比