人教A版數(shù)學(xué)選修2-1講義模塊復(fù)習(xí)課Word版含答案

一、常用邏輯用語1．命題及其關(guān)系(1)原命題：若p，則q.則逆命題：若q，則p．否命題：若?p，則?q．逆否命題：若?q，則?p．(2)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性．2．充分條件與必要條件(1)若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)若p?q，則p是q的充要條件．(3)若p?q，qp，則p是q的充分不必要條件．(4)若pq，q?p，則p是q的必要不充分條件．(5)若pq，qp，則p是q的既不充分也不必要條件．3．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞(1)命題p∧q的真假：“全真則真”，“一假則假”．(2)命題p∨q的真假：“一真則真”，“全假則假”．(3)命題?p的真假：p與?p的真假性相反．4．全稱命題與特稱命題的否定(1)全稱命題的否定p：x∈M，p(x)．?p：x0∈M，?p(x0)．(2)特稱命題的否定p：x0∈M，p(x0)．?p：x∈M，?p(x)．二、圓錐曲線與方程1．橢圓(1)橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦點(diǎn)在y軸上：eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)．(3)橢圓的幾何性質(zhì)①范圍：對于橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，－a≤x≤a，－b≤y≤b．②對稱性：橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，關(guān)于x軸，y軸及原點(diǎn)對稱．③頂點(diǎn)：橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．④離心率：e＝eq\f(c,a)，離心率的范圍是e∈(0，1)．⑤a，b，c的關(guān)系：a2＝b2＋c2．2．雙曲線(1)雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡，(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，焦點(diǎn)在y軸上：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．(3)雙曲線的幾何性質(zhì)①范圍：對于雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，y≥a或y≤－a，x∈R，②對稱性：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)關(guān)于x軸，y軸及原點(diǎn)對稱．③頂點(diǎn)：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(－a，0)，A2(a，0)，雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1′(0，－a)，A2′(0，a)，④漸近線：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(a,b)x．⑤離心率：e＝eq\f(c,a)，雙曲線離心率的取值范圍是e∈(1，＋∞)，⑥a，b，c的關(guān)系：c2＝a2＋b2．3．拋物線(1)拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(不經(jīng)過點(diǎn)F)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．(2)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上：y2＝±2px(p>0)，焦點(diǎn)在y軸上：x2＝±2py(p>0)．(3)拋物線的幾何性質(zhì)①范圍：對于拋物線x2＝2py(p>0)，x∈R，y∈[0，＋∞)②對稱性：拋物線y2＝±2px(p>0)，關(guān)于x軸對稱，拋物線x2＝±2py(p>0)，關(guān)于y軸對稱．③頂點(diǎn)：拋物線y2＝±2px和x2＝±2py(p>0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)．④離心率：拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義知e＝1．三、空間向量與立體幾何1．空間向量及其運(yùn)算(1)共線向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)．(2)P，A，B三點(diǎn)共線?eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))(x＋y＝1)．(3)共面向量定理：p與a，b共面?p＝xa＋yb．(4)P，A，B，C四點(diǎn)共面?eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))＋zeq\o(OC,\s\up8(→))(x＋y＋z＝1)．(5)空間向量基本定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底．(6)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，②λa＝(λa1，λa2，λa3)，③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，④a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，⑤a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，⑥|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))，⑦cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3))\r(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,3)))，⑧若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up8(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2＋（z2－z1）2)．2．立體幾何中的向量方法(1)異面直線所成的角兩條異面直線所成的角為θ，兩條異面直線的方向向量分別為a，b，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)．(2)直線與平面所成的角直線與平面所成的角為θ，直線的方向向量為a，平面的法向量為n，則sinθ＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|)．(3)二面角二面角為θ，n1，n2為兩平面的法向量，則|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)．1．一個(gè)命題的逆命題和否命題有相同的真假性． (√)[提示]一個(gè)命題的逆命題和否命題互為逆否命題，因此具有相同的真假性．2．使a>b成立的充分不必要條件是a>b－1. (×)[提示]a>b－1a>b.3．“p∧q”的否定為“(?p)∨(?q)”，“p∨q”的否定為“(?p)∧(?q)”． (√)[提示]“且”的否定為“或”，“或”的否定為“且”．4．命題p：x∈(0，＋∞)，則x2＋2x＋1>0，則?p為：x0∈(－∞，0]，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋1≤0. (×)[提示]?p應(yīng)為x0∈(0，＋∞)，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋1≤0.5．命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是“若f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)是偶函數(shù)”． (×)[提示]命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是“若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)”．6．命題“菱形的兩條對角線相等”是全稱命題且是真命題． (×)[提示]此命題是全稱命題，但是是假命題．7．“x>6”是“x>1”的充分但不必要條件． (√[提示]x>6?x>1，但x>1x>6.8．若命題p∧q為假，且?p為假，則q假． (√)[提示]由p為真，p∧q為假知，q為假．9．橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為a＋c，最小距離為a－c. (√)[提示]橢圓長軸的端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離有最大值或最小值．10．已知F1(－4，0)，F(xiàn)2(4，0)，平面內(nèi)到F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓． (×)[提示]|F1F2|＝8，故點(diǎn)的軌跡是線段F1F11．橢圓2x2＋3y2＝12的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±eq\r(2))． (×)[提示]橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1，c2＝a2－b2＝2，故橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±eq\r(2)，0)．12．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)，焦距為6，則實(shí)數(shù)m的值為4. (×)[提示]當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，由25－m2＝9得m＝4，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m2－25＝9得m＝eq\r(34).13．已知F1(－5，0)，F(xiàn)2(5，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|－|PF2|＝10，則點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支． (×)[提示]點(diǎn)P的軌跡是一條射線．14．“0≤k<3”是方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示雙曲線的充要條件． (×)[提示]當(dāng)0≤k<3時(shí)，方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示雙曲線，若方程eq\f(x2,k＋1)＋eq\f(y2,k－5)＝1表示雙曲線，則有(k＋1)(k－5)<0，即－1<k<5，故原命題錯(cuò)誤．15．雙曲線2x2－y2＝8的實(shí)軸長為2. (×)[提示]雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1，因此雙曲線的實(shí)軸長為4.16．等軸雙曲線的漸近線相同． (√)[提示]等軸雙曲線的漸近線方程都是y＝±x.17．到定點(diǎn)和定直線距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線． (×)[提示]當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)點(diǎn)的軌跡是一條直線．18．拋物線y＝2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))). (×)[提示]拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(1,2)y，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))).19．拋物線y2＝2px(p>0)中過焦點(diǎn)的最短弦長為2p. (√)[提示]拋物線中通徑是最短的弦長．20．拋物線y＝ax2(a≠0)的準(zhǔn)線方程為y＝2，則實(shí)數(shù)a的值是eq\f(1,8). (×)[提示]拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(1,a)y，則－eq\f(1,4a)＝2，解得a＝－eq\f(1,8).21．若空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C滿足eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))，則點(diǎn)P與A，B，C共面． (√)[提示]eq\f(1,2)＋eq\f(3,2)－1＝1，故四點(diǎn)共面．22．a(chǎn)，b為空間向量，則cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉． (√)[提示]〈a，b〉＝〈b，a〉，則cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉．23．兩個(gè)平面垂直，則這兩個(gè)平面的法向量也垂直． (√)[提示]由平面法向量的定義可知．24．直線與平面垂直，則直線的方向向量與平面的法向量垂直． (×)[提示]直線的方向向量與平面的法向量平行．25．若向量e1，e2，e3是三個(gè)不共面的向量，且滿足k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，則k1＝k2＝k3＝0. (√)[提示]假設(shè)k1≠0，則e1＝－eq\f(k2,k1)e2－eq\f(k3,k1)e3，則e1，e2，e3共面．26．若直線的方向向量與平面的法向量所成的角為150°，則直線與平面所成的角為30°. (×)[提示]直線與平面所成的角為60°.27．若直線與平面所成的角為0°，則直線在平面內(nèi)． (×)[提示]直線與平面也可能平行．28．兩個(gè)平面的法向量所成的角為120°，則兩個(gè)平面所成的二面角也是120°. (×)[提示]二面角的度數(shù)是120°或60°.29．兩條異面直線所成的角為30°，則兩條直線的方向向量所成的角可能是150°. (√)[提示]根據(jù)向量所成角的定義知正確．30．若二面角是30°，則在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)與二面角的棱垂直的直線的方向向量所成的角也是30°. (×)[提示]在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量所成的角是30°或150°.1．(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)D[由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示，設(shè)|F1F2|＝2c，∵△PF1F2為等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(c＋2ccos60°，2csin60°)，即點(diǎn)P(2c，eq\r(3)c)．∵點(diǎn)P在過點(diǎn)A，且斜率為eq\f(\r(3),6)的直線上，∴eq\f(\r(3)c,2c＋a)＝eq\f(\r(3),6)，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,4)，∴e＝eq\f(1,4)，故選D.]2．(2017·全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn)．若∠MAN＝60°，則C的離心率為________．eq\f(2\r(3),3)[如圖，由題意知點(diǎn)A(a，0)，雙曲線的一條漸近線l的方程為y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0，∴點(diǎn)A到l的距離d＝eq\f(ab,\r(a2＋b2)).又∠MAN＝60°，MA＝NA＝b，∴△MAN為等邊三角形，∴d＝eq\f(\r(3),2)MA＝eq\f(\r(3),2)b，即eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(3),2)b，∴a2＝3b2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\f(2\r(3),3).]3．(2017·全國卷Ⅱ)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝________．6[如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，∴PM∥OF.由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.∵點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PM∥OF，∴|MP|＝eq\f(1,2)|FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.]4．(2018·全國卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k＞0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．[解](1)由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k＞0)．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq\f(4k2＋4,k2).由題設(shè)知eq\f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程為y＝x－1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝－x0＋5，,（x0＋1）2＝\f(（y0－x0＋1）2,2)＋16，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝3，,y0＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝11，,y0＝－6.))因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.5．(2019·全國卷Ⅲ)圖1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC組成的一個(gè)平面圖形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連接DG，如圖2.圖1圖2(1)證明：圖2中的A，C，G，D四點(diǎn)共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大?。甗解](1)由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG確定一個(gè)平面，從而A，C，G，D四點(diǎn)共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.又因?yàn)锳B?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC，垂足為H.因?yàn)镋H?平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC.由已知，菱形BCGE的邊長為2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝eq\r(3).以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(HC,\s\up6(→))的方向?yàn)閤軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz，則A(－1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，eq\r(3))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝(1,0，eq\r(3))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－1,0)．設(shè)平面ACGD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(CG,\s\up6(→))·n＝0，,\o(AC,\s\up6(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(3)z＝0，,2x－y＝0.))所以可取n＝(3,6，－eq\r(3))．又平面BCGE的法向量可取為m＝(0,1,0)，所以cos〈n，m〉＝eq\f(n·m,|n||m|)＝eq\f(\r(3),2).因此二面角B-CG-A的大小為30°.6．(2017·全國卷Ⅱ)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中點(diǎn)．(1)證明：直線CE∥平面PAB；(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M-AB-D的余弦值．[解](1)證明：取PA的中點(diǎn)F，連接EF，BF.因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD，EF＝eq\f(1,2)AD.由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，又BC＝eq\f(1,2)AD，所以EFBC，四邊形BCEF是平行四邊形，CE∥BF.又BF?平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB.(2)由已知得BA⊥AD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up8(→))的方向?yàn)閤軸正方向，|eq\o(AB,\s\up8(→))|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，eq\r(3))，e