人教A版高中數(shù)學必修第二冊同步講義第05講 平面向量的數(shù)量積（一）（原卷版）

第5課平面向量的數(shù)量積（一）目標導航目標導航課程標準課標解讀1.了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功.2.掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量.3.會計算平面向量的數(shù)量積．1、通過閱讀課本在向量前面知識學習的基礎上進一步了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功.2、理解和掌握向量數(shù)量積的定義與投影向量的概念與意義.3、在認真學習的基礎上，深刻掌握平面向量數(shù)量積的意義，為后續(xù)學習空間向量數(shù)量積打好基礎.知識精講知識精講知識點01兩向量的夾角與垂直1．夾角：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角(如圖所示)．當θ＝0時，a與b同向；當θ＝π時，a與b反向．2．垂直：如果a與b的夾角是eq\f(π,2)，則稱a與b垂直，記作a⊥b.【即學即練1】已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？反思感悟求兩個向量夾角的關鍵是利用平移的方法使兩個向量起點重合，作兩個向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出．知識點02向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a，b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量|a|·|b|cosθ叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.思考若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?答案在實數(shù)中，若a≠0，且a·b＝0，則b＝0；但是在數(shù)量積中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因為其中a有可能垂直于b.【即學即練2】若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夾角為135°，則a·b等于()A．－3eq\r(2) B．－6eq\r(2)C．6eq\r(2) D．2知識點03投影向量1．如圖，設a，b是兩個非零向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，我們考慮如下的變換：過eq\o(AB,\s\up6(→))的起點A和終點B，分別作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我們稱上述變換為向量a向向量b的，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．2．如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OM,\s\up6(→))＝a，eq\o(ON,\s\up6(→))＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則eq\o(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量．設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則eq\o(OM1,\s\up6(→))與e，a，θ之間的關系為eq\o(OM1,\s\up6(→))＝|a|cosθe.【即學即練3】（1）已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求a在b上的投影向量．（2）已知||＝6，||＝3，·＝－12，則向量在向量方向上的投影向量的長度為()A．－4 B．4C．－2 D．2知識點04平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設向量a與b都是非零向量，它們的夾角為θ，e是與b方向相同的單位向量．則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.(3)當a∥b時，a·b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a||b|，a與b同向，,－|a||b|，a與b反向.))特別地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)|a·b|≤|a||b|.【即學即練4】(多選)下列說法正確的是()A．向量a在向量b上的投影向量可表示為eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|)B．若a·b<0，則a與b的夾角θ的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C．若△ABC是等邊三角形，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角為60°D．若a·b＝0，則a⊥b能力拓展能力拓展考法01向量的夾角【典例1】在銳角SKIPIF1<0中，關于向量夾角的說法，正確的是（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角B．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是鈍角D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角是銳角【變式訓練】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D是AC的中點，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為______．考法02求兩向量的數(shù)量積【典例2】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為135°，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．12反思感悟定義法求平面向量的數(shù)量積若已知兩向量的模及其夾角，則直接利用公式a·b＝|a|·|b|cosθ.運用此法計算數(shù)量積的關鍵是確定兩個向量的夾角，條件是兩向量的起點必須重合，否則，要通過平移使兩向量符合以上條件．【變式訓練】．已知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為A．3 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0考法03投影向量【典例3】（多選）八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1船八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則下列結論正確的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0向量上的投影為SKIPIF1<0反思感悟投影向量的求法(1)向量a在向量b上的投影向量為|a|cosθe(其中e為與b同向的單位向量)，它是一個向量，且與b共線，其方向由向量a和b的夾角θ的余弦值決定．(2)向量a在向量b上的投影向量為|a|cosθeq\f(b,|b|).【變式訓練】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影為（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．4 D．5分層提分分層提分題組A基礎過關練1．已知向量與SKIPIF1<0的夾角為,且,若,且,,則實數(shù)的值為A． B． C． D．2．若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是兩個互相垂直的單位向量，則向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．如圖，在平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．在四邊形ABCD中，若SKIPIF1<0，則該四邊形為（

）A．平行四邊形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形7．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面上的兩點，滿足SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的形狀是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰（非等邊）三角形 D．等邊三角形8．如圖SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__.9．已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為120°，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.10．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________.11．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求實數(shù)k的值．12．如圖，在△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)設SKIPIF1<0，求x，y的值，并求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的值．題組B能力提升練1．若單位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點E滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．64．（多選）對于任意向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列命題中不正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中至少有一個為SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0夾角的范圍是SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（多選）已知SKIPIF1<0是同一平面內(nèi)的三個向量，下列命題中正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．兩個非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線且反向D．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為銳角，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<06．已知在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0為SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的一點，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0____________.7．如圖，圓SKIPIF1<0是半徑為1的圓，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為圓上的任意2個點，則SKIPIF1<0的取值范圍是___________.8．如圖，直徑SKIPIF1<0的半圓，SKIPIF1<0為圓心，點SKIPIF1<0在半圓弧上，SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0上有動點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為______．9．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為60°．試求：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0的余弦值．10．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別在邊AB，AD，BC上，且滿足AE＝SKIPIF1<0AB，AF＝SKIPIF1<0AD，BG＝SKIPIF1<0BC，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）若EF⊥EG，SKIPIF1<0，求角A的值.題組C培優(yōu)拔尖練1．已知SKIPIF1<0為單位向量，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0取到最大值時，SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．在SKIPIF1<0中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則線段CD長度的最小值為（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<03．（多選）平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影向量為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0 D．若向量SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<04．（多選）如圖，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，