11.2 與三角形有關的角【解析版】

第一章三角形11.2與三角形有關的角1三角形的內角和三角形的內角和等于180°。解釋（1）在?ABC中，（2）直角三角形Rt?ABC的兩個內角互余，即若∠（3）有兩個角互余的三角形是直角三角形.2三角形的外角三角形的一個外角等于與不相鄰的兩個內角的和.解釋（1）把?ABC的一邊BC延長，得到∠ACD，像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.（2）如上圖，∠ACD=∠A+【題型1】三角形的內角和【典題1】具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是()A．∠A=∠B=3∠C B．∠A+∠B=∠C C．∠A=∠B=12∠C D．∠A:∠B:∠解析A、由∠A=∠B=3∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠A=B、由∠A+∠B=∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°，是直角三角形，故不符合題意；C、由∠A=∠B=12∠C及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°，故不符合題意；D、由∠A:∠B:∠C=1:2:3及∠A+∠B+∠C=180°可得∠C=90°，∠A=30°，∠B=60°，是直角三角形，故不符合題意；故選:A．【典題2】如果三角形中任意兩個內角∠α與∠β滿足2∠α+∠β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準直角三角形”．如圖，在△ABC中，∠A=65°，∠C=75°，BD平分∠ABC交AC于點D．在線段AB上取一點F，當△BFD是“準直角三角形”時，則∠DFB=°．解析∵∠A=65°，∠C=75°，∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=40°，又∵BD平分∠ABC交AC于點D．∴∠1=12∠ABC=20°，則∠ADB=180°∴∠2＜∠ADB=95°，∠2+∠3=160°①當2∠1+∠2=90°時，△BFD是“準直角三角形”，即:∠2=90°﹣2∠1=50°，∠DFB=∠3=160°﹣∠2=110°；②當2∠1+∠3=90°時，△BFD是“準直角三角形”，即:∠3=90°﹣2∠1=50°，∠2=160°﹣∠3=110°＞95°，不符合題意；③當2∠2+∠1=90°時，△BFD是“準直角三角形”，即∠2=90°-∠12=35°④當2∠2+∠3=90°時，△BFD是“準直角三角形”，即:∠2+(∠2+∠3)=90°，∠2=﹣70°，不符合題意；⑤當2∠3+∠1=90°時，△BFD是“準直角三角形”，即∠3=90°-∠12=35④當2∠3+∠2=90°時，△BFD是“準直角三角形”，即:∠3+(∠2+∠3)=90°，∠3=﹣70°，不符合題意；綜上，∠DFB=110°或∠DFB=125°，故答案為:110或125．【鞏固練習】1.△ABC中，∠A=45°，∠B=63°，則∠C=()A．72° B．92° C．108° D．180°答案A解析∵∠A+∠B+∠C=180°，又∵∠A=45°，∠B=63°，∴45°+63°+∠C=180°，∴∠C=72°，故選:A．2.△ABC中，若∠A+∠B=4∠C，則∠C度數為()A．32° B．34° C．36° D．38°答案C解析∵△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=4∠C，∴5∠C=180°，解得∠C=36°．故選:C．3.若一個三角形三個內角度數的比為2:3:5，那么這個三角形是()A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形答案A解析∵三角形三個內角度數的比為2:3:5，∴最大內角的度數是180°∴此三角形是直角三角形，故選:A．4.如圖，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠D=∠C=90°，∠B=30°，點E在線段BC上，DE交AC于點F，若DE∥AB，則∠DAF的度數為()A．15° B．20° C．22.5° D．30°答案D解析在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=90°﹣30°=60°，∵DE∥AB，∴∠D+∠DAB=180°，∵∠D=90°，∴∠DAB=180°﹣90°=90°，∴∠DAF=∠DAB﹣∠CAB=90°﹣60°=30°．故選:D．5.已知△ABC的三個內角互不相等，如果∠A為最小的內角，那么下列四個度數中，∠A最大可取()A．20° B．58° C．60° D．89°答案B解析∵∠A是最小的內角，且三個內角互不相等，∴∠B＞∠A，∠C＞∠A，∴∠A+∠B+∠C＞∠A+∠A+∠A=3∠A，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴3∠A＜180°，∴∠A＜60°，即∠A最大可取58°．故選:B．6.如圖，一個三角板的兩個直角邊經過矩形相鄰的兩個頂點，若∠1＝α，則∠2的度數為()A．α﹣90° B．α﹣45° C．180°﹣α D．270°﹣α答案C解析如圖，由題意可得∠CBD＝90°，∠A＝90°，∴∠ABC＝∠1﹣∠A＝α﹣90°，∴∠2＝∠CBD﹣∠ABC＝90°﹣(α﹣90°)＝180°﹣α．故選:C．【題型2】三角形的外角【典題1】如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，D為BC邊上的一點，點E在AC邊上，∠ADE＝∠AED，若∠CDE＝10°，則∠BAD的度數為()A．20° B．15° C．10° D．30°解析∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CDE，∠ADE＝∠AED，∠B＝∠C，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝∠ADC﹣∠AED＝∠B+∠BAD﹣∠C﹣∠CDE＝∠BAD﹣∠CDE，∴∠BAD＝2∠CDE＝2×10°＝20°．故選:A．【典題2】如圖，∠ABC＝∠ACB，BD，CD，AD分別平分△ABC的內角∠ABC，外角∠ACF，外角∠EAC．以下結論:①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠BDC＝12∠BAC；④∠ADB＝45°﹣12∠CDB；⑤∠ADC+∠ABD＝90°．其中正確的結論有(A．2個 B．3個 C．4個 D．5個解析①∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAC＝2∠ABC，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正確；②∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB，故②正確；③∵∠DCF+∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝∠DCF，∴2∠DCF+∠ACB＝180°，∵∠BDC+∠DBC＝∠DCF，∴2∠BDC+2∠DBC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+2∠BDC+∠ACB＝180°，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝2∠BDC，∴∠BDC=1④∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∵CD平分∠ACF，∴∠ACF＝2∠DCF，∵∠ADB+∠CDB＝∠DCF，2∠DCF+∠ACB＝180°，∴2∠DCF+∠ABC＝2∠DCF+2∠ABD＝180°，∴∠DCF+∠ABD＝90°，∴∠ADB+∠CDB+∠ADB＝90°，∴∠ABD=45⑤由④得，∠DCF+∠ABD＝90°，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∴∠ADC+∠ABD＝90°，故⑤正確．故選:D．【鞏固練習】1.如圖，∠BCD為△ABC的外角，∠A＝64°，∠BCD＝142°，那么∠B＝()A．60° B．82° C．78° D．80°答案C解析∵∠A＝64°，∠BCD＝142°，∠BCD是△ABC的外角，∴∠B＝∠BCD﹣∠A＝78°．故選:C．2.如圖，CE是△ADC的邊AD上的高．若∠BAD=40°，∠ECD=25°，則∠B的度數為()A．20° B．25° C．30° D．35°答案B解析∵CE是△ADC邊AD上的高，∴∠CED=90°，∵∠ECD=25°，∴∠EDC=90°﹣25°=65°，∴∠B=∠EDC﹣∠BAD=65°﹣40°=25°．故選:B．3.如圖，∠BCD是△ABC的一個外角，E是邊AB上一點，連接CE，下列結論不一定正確的是()A．∠BCD＞∠AB．∠BCD＞∠1 C．∠2＞∠3 D．∠BCD＝∠A+∠B答案B解析A、∠BCD是△ABC的一個外角，則∠BCD＞∠A，不符合題意．B、∠BCD是△ABC的一個外角，則∠1是△BEC的一個外角，∠BCD與∠1無法比較大小，符合題意．C、∠2是△AEC的一個外角，則∠2＞∠3，不符合題意．D、∠BCD是△ABC的一個外角，則∠BCD＝∠A+∠B，不符合題意．故選:B．4.如圖，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，則∠BCD的度數為()A．30° B．40° C．60° D．80°答案B解析反向延長DE交BC于M，如圖:∵AB∥DE，∴∠BMD＝∠ABC＝80°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°；又∵∠CDE＝∠CMD+∠C，∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．故選:B．5.如圖所示，點D是∠ACB內一點，若∠1＝35°，∠2＝40°，∠ADB＝145°，則∠ACB的大小為()A．75° B．70° C．65° D．60°答案B解析在圖中添加字母E，如圖所示．∵∠ADE是△ACD的外角，∠BDE是△BCD的外角，∴∠ADE＝∠ACD+∠2，∠BDE＝∠BCD+∠1．∵∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝145°，∴∠ACD+∠2+∠BCD+∠1＝145°，∴∠ACD+40°+∠BCD+35°＝145°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝145°﹣40°﹣35°＝70°．故選:B．6.如圖，△ABC的兩個外角的平分線相交于點O，若∠A＝80°，則∠O等于()A．40° B．50° C．60° D．80°答案B解析∵∠A＝80°，∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠ACB+∠ABC＝100°，∴∠ECB+∠DBC＝260°，∵∠CBD、∠BCE的平分線相交于點O，∴∠OBC＝12∠DCB，∠OCB＝12∠∴∠OBC+∠OCB＝12×260°＝130°∴∠O＝180°﹣(∠OBC+∠OCB)＝180°﹣130°＝50°，故選:B．7.如圖，點A1是△ABC的內角∠ABC和∠ACD的平分線的交點，點A2是△A1BC的內角∠A1BC和∠A1CD的角平分線的交點，同樣點An+1是△AnBC的內角∠AnBC和∠AnCD的角平分線的交點，若∠A=α，那么∠A2023=．答案α解析∵∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1，∴∠∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1+∠A1BC，∴∠同理可得，∠A…，∴∠∴∠故答案為:α2【題型3】有關角度的計算綜合問題【典題1】如圖，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC．(1)若∠B=76°，∠C=48°，求∠DAE的度數；(2)若∠B﹣∠C=42°，求∠DAE的度數．解析(1)∵AD是△ABC的高，∠B=76°，∠C=48°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣76°﹣48°=56°，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣76°=14°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=28°﹣14°=14°；(2)∵∠B﹣∠C=42°，∴∠B=∠C+42°，∵AD是△ABC的高，∴∠∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣(∠C+42°)=48°﹣∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=69°﹣∠C﹣(48°﹣∠C)=21°．【典題2】如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．(1)如果∠A＝80°，求∠BPC的度數；(2)如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，試探索∠Q、∠A之間的數量關系．(3)如圖③，延長線段BP、QC交于點E，△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，求∠A的度數．解析(1)解:∵∠A＝80°．∴∠ABC+∠ACB＝100°，∵點P是∠ABC和∠ACB的平分線的交點，∴∠(2)∵外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，∴∠=1∴∠(3)延長BC至F，∵CQ為△ABC的外角∠NCB的角平分線，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分線，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝12∠A∵∠如果△BQE中，存在一個內角等于另一個內角的2倍，那么分四種情況:①∠EBQ＝2∠E＝90°，則∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；②∠EBQ＝2∠Q＝90°，則∠Q＝45°，∠E＝45°，∠A＝2∠E＝90°；③∠Q＝2∠E，則90°﹣12∠A＝∠A，解得∠A＝60°④∠E＝2∠Q，則12∠A＝2(90°﹣12∠A)，解得∠A＝綜上所述，∠A的度數是90°或60°或120°．【鞏固練習】1.如圖，AB∥CD，∠1=∠2，BC交AD于點E．(1)如圖1，若AD⊥BD于點D，∠DAB=40°，則∠3的度數為°；(2)如圖2，∠BAD與∠BDF的平分線交于點P，若∠ADB=70°，∠P的度數為°．答案(1)25°(2)55解析∵AB∥CD，∴∠2=∠3，∵∠1=∠2，∴∠(1)∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∵∠DAB=40°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=50°，∴∠3=12×50°=25°故答案為:25°．(2)∵∠BAD與∠BDF的平分線交于點P，∴2∠DAP=∠DAB，2∠BDP=∠BDF，∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADF=180°，即2∠DAP+∠ADB+2∠BDP=180°，∴2(∠DAP+∠BDP)+70°=180°，∴∠DAP+∠BDP=55°，∵∠DAP+∠BDP+∠ADP+∠P=180°，∴∠P=180°﹣(∠DAP+∠BDP)﹣∠ADB=180°﹣55°﹣70°=55°．故答案為:55．2.【課本再現】已知:如圖1，P是三角形ABC內一點，連接PB，PC．求證:∠BPC＞∠A．證明:如圖2，延長BP，交AC于點D．∵∠BPC是△PCD的一個外角(外角的定義)，∴∠BPC＞∠PDC(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角)．∵∠PDC是△ABD的一個外角(外角的定義)，∴∠PDC＞∠A(三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角)．∴∠BPC＞∠A．【知識遷移】如圖3，求證:(1)∠FHG＞∠E；(2)∠FHG＝∠E+∠F+∠G．【拓展延伸】如圖4，五角星五個“角”的和為°．答案證明略，180解析(1)證明:延長GH交EF于點A，如圖3，∵∠FAH是△AEG的外角，∴∠FAH＞∠E，∵∠FHG是△AFH的外角，∴∠FHG＞∠FAH，∴∠FHG＞∠E；(2)證明∵∠FAH是△AEG的外角，∴∠FAH＝∠E+∠G，∵∠FHG是△AFH的外角，∴∠FHG＝∠FAH+∠F，∴∠FHG＝∠E+∠F+∠G；【拓展延伸】解:如圖4，∵∠FEG是△ABE的外角，∠FGE是△CDG的外角，∴∠EFG＝∠A+∠B，∠FGE＝∠C+∠D，∵∠F+∠EFG+∠FGE＝180°，∴∠F+∠A+∠B+∠C+∠D＝180°．故答案為:180．3.【概念認識】:如圖①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線”其中，BD是“鄰AB三分線”，BE是“鄰BC三分線”．(1)如圖②，在△ABC中，∠A＝68°，∠B＝48°，若∠B的三分線BD交AC于點D，那么∠BDC＝°；(2)如圖③，在△ABC中，BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，且BP⊥CP，求∠A的度數；【延伸推廣】:(3)如圖，在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的鄰AB三分線所在的直線與∠ACD的鄰AC三分線所在的直線交于點P，若∠A＝x°，請寫出∠P的度數．(用含x的代數式表示)答案(1)84(2)45°(3)2解析(1)∵∠ABC的三分線BD交AC于點D，∠ABC＝48°，∴∠ABD∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝68°+16°＝84°．故答案為:84．(2)∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，又∵BP、CP分別是∠ABC鄰AB三分線和∠ACB鄰AC三分線，∴∠PBC∴2∴∠ABC+∠ACB＝135°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A＝180°﹣(∠ABC+∠ACB)＝45°．(3)∵∠ABC的鄰AB三分線所在的直線與∠ACD的鄰AC三分線所在的直線交于點P，∴∠PBC∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∵∠PCD是△PCD的外角，∴∠PCD＝∠P+∠PBC，∴2即23∴∠P【A組---基礎題】1.在△ABC中，已知∠A=55°，∠B=35°，則這個三角形是()A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形答案B解析∵∠A=55°，∠B=35°，∴180°-35°-55°=90°所以三角形是一個直角三角形．故選:B．2.若△ABC中，∠A:∠B:∠C=5:3:2，則△ABC是()A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．任意三角形答案B解析設三角形的三個內角的度數分別為:5x，3x，2x，依題意得:5x+3x+2x=180°，解得:x=18°，∴∠A=5x=5×18°=90°，∴△ABC是直角三角形．故選:B．3.如圖，AD平分△ABC的外角∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC＝80°，則∠B＝()A．30° B．40° C．50° D．80°答案C解析∵∠BAC＝80°，∴∠EAC＝100°，∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC＝50°，∵AD∥BC，∴∠B＝∠EAD＝50°．故選:C．4.如圖，將△ABC一角折疊，若∠1+∠2=80°，則∠B+∠C=()A．40° B．100° C．140° D．160°答案C解析連接AA′．∵∠1=∠3+∠4，∠2=∠5+∠6，∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠5+∠6=∠EAD+∠EA′D，∵∠EAD=∠EA′D，∴∠1+∠2=2∠EAD=160°，∴∠EAD=40°，∴∠B+∠C=180°﹣40°=140°，故選:C．5.如圖，線段AD，BC相交于點O，連接AB，CD，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，則∠P，∠B，∠D滿足的關系式是()A．∠P=∠B+∠D B．∠P=∠D﹣∠B C．∠P=12(答案D解析如圖，∵∠BAD和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BEP=∠1+∠B=∠3+∠P，∠PFD=∠2+∠P=∠4+∠D，∴∠B﹣∠P=∠P﹣∠D，即∠P=故選:D．6.如圖，EF與△ABC的邊BC，AC相交，則∠1+∠2∠3+∠4(填“＞”、“＜”或“＝”)．答案＝解析EF與△ABC的邊BC，AC相交，∴∠3＝∠CEF，∠4＝∠CFE，∵∠C+∠CEF+∠CFE＝180°，∴∠C+∠3+∠4＝180°，又∵∠C+∠1+∠2＝180°，∴∠1+∠2＝∠3+∠4．故答案為:＝．7.如圖，AE，AD分別是△ABC的高和角平分線，∠B=30°，∠C=70°，則∠DAE的度數為答案20°解析∵∠BAC+∠C+∠B=180°，∠B=30°，∠C=70°，∴∠BAC=180°﹣30°﹣70°=80°，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD=40°，∵AE是△ABC的高線，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴∠DAE=60°﹣40°=20°．8.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，點E在射線BC上，EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=76°，則∠E的度數為.答案32°解析∵∠ACE=∠B+∠BAC，∴∠BAC=∠ACE﹣∠B=76°﹣40°=36°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=12∠BAC∴∠ADC=∠B+∠DAB=40°+18°=58°，∵EF⊥AD于F，∴∠EFD=90°，∴∠E=90°﹣∠ADC=90°﹣58°=32°．9.如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長線于點E．(1)若∠B＝30°，∠BAC＝130°，求∠E的度數；(2)求證:∠BAC＝∠B+2∠E．答案(1)50°(2)略解析(1)解:∵∠B＝30°，∠BAC＝130°，∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝160°，∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD＝80°，∴∠E＝∠ECD﹣∠B＝50°；(2)證明∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ECA，∵∠ECD＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ECA+∠E，∴∠BAC＝∠B+∠E+∠E＝∠B+2∠E．10.在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，點E是線段AC上的動點(不與點A、D、C重合)，過點E作EF∥AB交直線BD于點F，∠CEF的角平分線所在直線與射線BD交于點G．(1)如圖1，點E在線段AD上運動．①若∠ABC=40°，∠A=60°，則∠DGE=°；②若∠C=40°，則∠DGE=°；③試探究∠DGE與∠C之間的數量關系，并說明理由．(2)若點E在線段DC上運動，請在圖2中補全圖形，并直接寫出∠DGE與∠C之間的數量關系(不必說明理由)．答案(1)①50②70③∠DGE=90°解析(1)①∵EF∥AB，∴∠EFG=∠ABG，∠FED=∠A，又∵BD是∠A