重難專題03 全等三角形的垂線模型（原卷版）

重難專題03全等三角形的垂線模型如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)作，且，連接，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】3【分析】過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，先證明，則，然后根據(jù)求即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則∠DMC=90°=∠ABC，，，，，，，，，，．故填．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積，正確作出輔助線、構(gòu)造全等三角形證得成為解答本題的關(guān)鍵．如圖，在中，以為腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形．連接為邊上的高線，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4），其中正確的結(jié)論有____________(填序號(hào))．【分析】根據(jù)，利用同角的余角相等即可判斷（1）；過(guò)E作于點(diǎn)H，過(guò)F作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，利用K字型全等，易證，從而判斷（2）；同理可證，可得，再證，即可判斷（4）；最后根據(jù)，結(jié)合全等三角形即可判斷（3）．【詳解】解：∵為邊上的高，，∴，∴，故(1)正確；如圖所示，過(guò)E作于點(diǎn)H，過(guò)F作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵為等腰直角三角形，∴，在與中，∵，∴，∴與不全等，故（2）錯(cuò)誤；同理可證，∴，又∵，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，故（4）正確；∵，∴．故（3）正確；綜上：正確的有（1）（3）（4）．故答案為：（1）（3）（4）．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)，掌握K字型全等，作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）如圖，，．求證：．（2）如圖，，．求證：．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足分別為、，通過(guò)三角形全等得到，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足分別為、，通過(guò)角之間的關(guān)系得到點(diǎn)在的平分線上，再通過(guò)三角形全等得到，即可求解；【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足分別為、．，即點(diǎn)在的平分線上，，，垂足分別為、，．在和中，．．在和中，．（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)分別作，，垂足分別為、．，，．即點(diǎn)在的平分線上．，，垂足分別為、，．在和中，．．在和中，．【點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造全等的直角三角形．如圖，已知中，，，是過(guò)的一條直線，且，在，的同側(cè)，于，于．（1）證明：；（2）試說(shuō)明：；（3）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時(shí)，在，的異側(cè)）時(shí)，其余條件不變，問(wèn)與，的關(guān)系如何？請(qǐng)證明；（4）若直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖位置（此時(shí)，在，的同側(cè)）時(shí)其余條件不變，問(wèn)與，的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果，不需說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合，直接用AAS證明三角形全等即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，進(jìn)而可得；（3）方法同（1）證明，進(jìn)而可得（4）方法同（1）結(jié)論同（2）證明，進(jìn)而可得．【詳解】（1）證明：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴．（2）解：∵，∴，．又∵，∴．（3）解：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴．∴，，，∴（4）解：．理由如下：∵，∴．又∵，，∴，，∴．又∵，∴，∴，．又∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．我們?cè)诘谑隆度热切巍分袑W(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定，在一些探究題中經(jīng)常用以上知識(shí)轉(zhuǎn)化角和邊，進(jìn)而解決問(wèn)題．例如：我們?cè)诮鉀Q：“如圖1，在中，，，線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且于點(diǎn)D，于點(diǎn)E．求證：，”這個(gè)問(wèn)題時(shí)，只要證明，即可得到解決，積累經(jīng)驗(yàn)：（1）請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；類比應(yīng)用：（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，中，，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，求點(diǎn)B與x軸的距離．拓展提升：（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)AD⊥DE、BE⊥DE得到∠D=∠E=90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)以及同角的余角相等，推出∠DAC=∠BCE，進(jìn)而證明△ADC≌△CEB，最后再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，通過(guò)證明△AOC≌△CEB，進(jìn)而得出CO=BE，再根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)即可得到結(jié)果；（3）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，再過(guò)點(diǎn)A、B分別作AE⊥CF，BD⊥CF，通過(guò)證明△CDB≌△AEC，進(jìn)而得出BD=CE，AE=CD，最后根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，1)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，2)即可求出點(diǎn)B坐標(biāo)．【詳解】解：（1）證明：∵，∴，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，∵，∴，又∵，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)(1，0)，∴，∴，即點(diǎn)B到x軸的距離是1；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥x軸于點(diǎn)F，再過(guò)點(diǎn)A、B分別作AE⊥CF，BD⊥CF，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，

在和中，，∴≌，∴，又∵A的坐標(biāo)為(2，1)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4，2)，∴，，設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b)，則a=4－1=3，b=2+2=4，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，4)．【點(diǎn)撥】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及平面直角坐標(biāo)系中求點(diǎn)坐標(biāo)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建“一線三等角”模型，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．在中，，過(guò)點(diǎn)C作直線，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)N．（1）如圖1，當(dāng)直線在外時(shí)，證明：．（2）如圖2，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)內(nèi)部時(shí)，其他條件不變，則與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)題目條件可以證明，然后根據(jù)全等的性質(zhì)就可以證得結(jié)論；（2）依然是證明，再根據(jù)全等對(duì)應(yīng)邊相等即可得出結(jié)論；【詳解】（1）證明：∵，∴，∴．∵，∴，∴．在和中，∴，∴．

∵，∴．

（2）解：．

∵，∴．∴．∵，∴，∴．在和中，∴，∴．

∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，能熟練運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定是解決本題的關(guān)鍵，本題圖形雖然變了，但解題思路不變．一、單選題1．如圖，，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，，，則的長(zhǎng)是（

）A．8 B．4 C．3 D．22．如圖，在中，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)（

）A． B． C． D．3．如圖，中，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，若的面積為3.5cm2，的面積為4.5cm2，則的面積為(

).A．0.25cm2 B．0.5cm2 C．1cm2 D．1.5cm24．如圖中，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，若點(diǎn)E、B、D到直線AC的距離分別為6、3、2，則圖中實(shí)線所圍成的陰影部分面積S是(

)A．50 B．44 C．38 D．32二、填空題5．如圖，線段AB=8cm，射線AN⊥AB，垂足為點(diǎn)A，點(diǎn)C是射線上一動(dòng)點(diǎn)，分別以AC，BC為直角邊作等腰直角三角形，得△ACD與△BCE，連接DE交射線AN于點(diǎn)M，則CM的長(zhǎng)為_(kāi)_________．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以A（2，0），B（0，1）為頂點(diǎn)作等腰直角三角形ABC（其中∠ABC＝90°，且點(diǎn)C落在第一象限），則點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C'的坐標(biāo)為_(kāi)_____．三、解答題7．如圖，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)A，B分別在坐標(biāo)軸上．（1）如圖①，若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）如圖②，若x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CD垂直x軸于D點(diǎn)，試猜想線段CD與AM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖③，OB＝BF，∠OBF＝90°，連接CF交y軸于P點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BPC與△AOB的面積比是否變化？若不變，直接寫(xiě)出其值，若變化，直接寫(xiě)出取值范圍．8．閱讀下面的題目及分析過(guò)程，并按要求進(jìn)行證明．已知：如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選出其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．①如圖1，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點(diǎn)F，G．（2）請(qǐng)你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對(duì)原題進(jìn)行證明．9．在△ABC中，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，AD⊥MN于點(diǎn)D，BE⊥MN于點(diǎn)E，且AD=CE；（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖1的位置時(shí)，求證：AC⊥BC．（2）判斷AD、BE、DE這三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，線段DE、AD、BE之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你直接寫(xiě)出這個(gè)數(shù)量關(guān)系，不必證明．10．如圖，已知：中，，，分別過(guò)B，C向經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線EF作垂線，垂足為E，F(xiàn)．（1）當(dāng)EF與斜邊BC不相交時(shí)，請(qǐng)證明如圖；（2）如圖2，當(dāng)EF與斜邊BC這樣相交時(shí)，其他條件不變，證明：；11．已知：如圖，，，，，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，且始終保持．（1）證明：；（2）若點(diǎn)在線段上滿足時(shí)，求的長(zhǎng)？（3）在線段的延長(zhǎng)線上，是否存在點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們以“過(guò)等腰三角形頂點(diǎn)的直線”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)探究．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖甲，在中，，且，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．小華分別過(guò)B、C兩點(diǎn)作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E．易證，此時(shí)，線段、、的數(shù)量關(guān)系