平方差公式幾何的意義課件

平方差公式幾何的意義課件(a+b)(a-b)=a2+b2一、教材分析1、教學(xué)內(nèi)容：根據(jù)《新課標(biāo)》要求和教材的編寫意圖，本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容有三點(diǎn)：（1）平方差公式的推導(dǎo)（2）平方差公式的幾何論證（3）平方差公式的應(yīng)用。2、教材的地位、作用及前后聯(lián)系：平方差公式這一內(nèi)容屬于數(shù)學(xué)再創(chuàng)造活動(dòng)的結(jié)果，它在整式乘法，因式分解，分式運(yùn)算及其它代數(shù)式的變形中起著十分重要的作用，因此，它是構(gòu)建學(xué)生有價(jià)值的數(shù)學(xué)知識體系并形成相應(yīng)數(shù)學(xué)技能的重要內(nèi)容，它是讓學(xué)生感悟換元思想，感受數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造性的好教材。3、從學(xué)生學(xué)習(xí)過程的角度看學(xué)生剛學(xué)過多項(xiàng)式的乘法，已具備學(xué)習(xí)并運(yùn)用平方差公式的知識結(jié)構(gòu)，通過創(chuàng)造問題情境，讓學(xué)生在探究相應(yīng)問題，建立并運(yùn)用公式從而拓展學(xué)生知識技能結(jié)構(gòu)成為可能。但是，由于學(xué)生初次學(xué)習(xí)公式，只有原始的的換元思想，雖然在學(xué)習(xí)過程中有進(jìn)一步的感悟和深化，但是，在運(yùn)用公式時(shí)，認(rèn)清結(jié)構(gòu)不易，而且本課節(jié)所學(xué)的公式運(yùn)用僅是局部的，因此，教學(xué)時(shí)不可撥高追求一步到位，而應(yīng)在今后滾動(dòng)中逐步達(dá)到靈活運(yùn)用的目的，使之與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)同步發(fā)展完善。4、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)和關(guān)鍵《新課標(biāo)》明確指出：“經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用的過程，將有利于學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心”，因此本節(jié)課采用“問題情景——建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展”的模式進(jìn)行教學(xué)。重點(diǎn)定為平方差公式的理解，難點(diǎn)應(yīng)為平方差公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是“認(rèn)清結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)a、b”。二、目標(biāo)分析

1、學(xué)情分析

(1)有利積極因素：通過實(shí)際問題的探究，學(xué)生已感受到多項(xiàng)式乘法運(yùn)算的重要性，同時(shí)，有了對式的運(yùn)算，“快”，“準(zhǔn)”的積極心理，學(xué)生已具備學(xué)

習(xí)公式的知識與技能結(jié)構(gòu)，通過新課程教學(xué)的實(shí)施，學(xué)生已具有獨(dú)立探索，合作交流的習(xí)慣。因而讓學(xué)生獨(dú)立探索，合作交流得出并運(yùn)用平方差公式就有了可能。

(2)不利消極因素：一方面由于本課內(nèi)容的特點(diǎn)所決定，運(yùn)用平方差公式的關(guān)鍵是認(rèn)清兩個(gè)多項(xiàng)式相乘是否具有(a+b)(a-b)的形式，由于兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的形式復(fù)雜多變，學(xué)生較易被假象所述惑，另一方面學(xué)生初學(xué)公式只有原始的換元思想，有些同學(xué)多項(xiàng)式相乘還不夠熟練，由此，根據(jù)課標(biāo)要求，我確定本節(jié)課的目標(biāo)如下：2、知識目標(biāo)(1)經(jīng)歷探索平方差公式的過程，熟記平方差公式；(2)能說出平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，會(huì)用平方差公式進(jìn)行簡單運(yùn)算；(3)會(huì)推導(dǎo)平方差公式，能靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算。3、能力目標(biāo)：通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中建立平方差公式模型，感受數(shù)學(xué)公式的意義和作用。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，抽象思維能力，感悟換元變換的思想方法，在運(yùn)用公式解決實(shí)際問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，逆向思維，從而提高學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力。

4、情感與態(tài)度：讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)既來源于生活

實(shí)際，又是解決生活中許多問題的工具，從而促使學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)。三、教法分析

《新課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)“讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成與應(yīng)用過程”，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的主動(dòng)性、積極性，根據(jù)這樣的原則和所要完成的教學(xué)目標(biāo)，我采用如下的教學(xué)方法和手段：1、教學(xué)方法：啟發(fā)式、討論式，相結(jié)合的教學(xué)方法。啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生積極地思考并對學(xué)生的思維進(jìn)行調(diào)控，幫助學(xué)生優(yōu)化思維過程，在此基礎(chǔ)上，提供學(xué)生交流討論的機(jī)會(huì)，學(xué)生學(xué)會(huì)對自己的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行組織和澄清，并能清楚地、準(zhǔn)確地表達(dá)自

己的數(shù)學(xué)思想，能通過對其他人的思維和策略的考察，擴(kuò)展自己的數(shù)學(xué)知識和使用數(shù)學(xué)語言的能力，學(xué)生會(huì)自覺地、主動(dòng)地、積極地學(xué)習(xí)，以“問”之方式來啟發(fā)學(xué)生深思，以“變”之方式誘導(dǎo)學(xué)生靈活善變，以“梳”之方式引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)。在整個(gè)數(shù)學(xué)過程中加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)。指導(dǎo)學(xué)生深刻思考，細(xì)心觀察，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，養(yǎng)成認(rèn)真思考、細(xì)心觀察的好習(xí)慣。指導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)，一切從習(xí)題特點(diǎn)出發(fā)，根據(jù)習(xí)題特點(diǎn)尋找最佳解題方法，具體在運(yùn)用公式計(jì)算時(shí)，要認(rèn)清結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)a、b。鼓勵(lì)學(xué)生合作交流實(shí)現(xiàn)思維優(yōu)勢互補(bǔ)，相互學(xué)習(xí)。2、教學(xué)手段：利用多媒體等教學(xué)手段，利用多

媒體等教學(xué)手段，利用多媒體幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，另外也提高了教學(xué)效率，節(jié)省時(shí)間，激發(fā)學(xué)生的興趣。四、學(xué)法分析有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法不能單純地依賴模仿與記憶，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，從而使學(xué)生形成自己對數(shù)學(xué)知識的理解和有效的學(xué)習(xí)策略。才能做到舉一反三，無師自通，通過本節(jié)課的教學(xué)，我要讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)以下學(xué)習(xí)方法。1、自主探索——體會(huì)換元思想、化歸思想22、合作交流——再發(fā)明、再發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生在探究合作交流的過程中，展示思維過程，讓學(xué)生的思維全過程得到充分暴露，學(xué)生在再發(fā)現(xiàn)、再發(fā)明的過程中，思維火花發(fā)生強(qiáng)烈碰撞，數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生成為自然的事情。在這樣的活動(dòng)中，學(xué)生不僅能主動(dòng)地獲取知識，而且能不斷豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)探索，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。五、教學(xué)過程本節(jié)課我的設(shè)計(jì)理念是：遵循“教學(xué)、學(xué)習(xí)、研究”同步協(xié)調(diào)的原則，重組教材，恰當(dāng)?shù)貏?chuàng)設(shè)情境、激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，通過獨(dú)立思考，不斷發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析并創(chuàng)造性地解決

問題，教師為學(xué)生構(gòu)建開放的學(xué)習(xí)環(huán)境引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)探索、研究的過程，通過學(xué)生的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造活動(dòng)，體驗(yàn)“數(shù)學(xué)化”的過程，使學(xué)生在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的同時(shí)，真正經(jīng)歷知識的“生長過程”。本教學(xué)過程以情境問題為導(dǎo)引，通過提供挑戰(zhàn)性的問題與同學(xué)和老師比一比運(yùn)算速度。調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)和探究的積極性，從而使學(xué)生有了問題的發(fā)現(xiàn)與提出的自覺意識，在這里我呈現(xiàn)的不僅僅是靜態(tài)的數(shù)學(xué)知識，與學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識的發(fā)展水平相適應(yīng)，讓整節(jié)課體現(xiàn)著數(shù)學(xué)情境是數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的土壤，本課給予學(xué)生充足的時(shí)間和空間，師生互動(dòng)，放手讓學(xué)生帶著問題運(yùn)算、探究，使學(xué)生的能力培養(yǎng)、情感產(chǎn)生與知識的形成相伴而行。計(jì)算下列各題,看誰做的又快又準(zhǔn)確:(1)(a+b)(a-b)(2)(x+y)(x-y)

(3)(2a+b)(2a-b)(4)(2m+3)(2m-3)創(chuàng)設(shè)情景探求新知自主學(xué)習(xí)小組討論，分析公式特征結(jié)構(gòu).①等式左邊的兩個(gè)多項(xiàng)式有什么特點(diǎn)？②等式右邊的多項(xiàng)式有什么規(guī)律？③你能用上面的規(guī)律直接計(jì)算下列各式嗎？④你能用一句話歸納出上述等式的規(guī)律嗎？平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。aabba2-b2abbb(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2a-ba-b解決問題算式與平方差公式中a對應(yīng)的項(xiàng)與平方差公式中b對應(yīng)的項(xiàng)寫成“a2-b2”的形式計(jì)算結(jié)果

(2a-3b)(2a+3b)

按要求填寫下面的表格2a2xy13b(2a)2-(3b)2(2x)2-124x2-1鞏固應(yīng)用xx2-y2(x+y)(x-y)x2-y2(2x+1)(2x-1)4a2-9b2例1、計(jì)算：1、（2x+y)(2x-y)=2、(9x+5y)(9x-5y)=(2x)2-y2=4x2-y2(9x)2-(5y)2=81x2-25x2鞏固應(yīng)用

思考:你能計(jì)算嗎？(1)（-4a-0.1）(-4a+0.1)(2)(2x+y)(y-2x)

上面各式能不能用平方差公式進(jìn)行計(jì)算？如果能的話，每一式可以看作是哪兩式（或數(shù)）的和與差的積？

給（a+b)乘上一個(gè)什么樣的多項(xiàng)式能構(gòu)成一個(gè)平方差公式的形式？

(a+b)(a-b)=a2-b2

(a+b)(b-a)=(b+a)(b-a)=b2-a2例：

1、(m+n)(n-m)=2、(-2y+3)(2y+3)=(n+m)(n-m)=n2-m2(3-2y)(3+2y)=9-4y2應(yīng)用探究反饋練習(xí)1、看誰做得最快最準(zhǔn)

(1)教科書P30例2

(2)P30習(xí)題1題2、判斷正誤：如果錯(cuò)誤，應(yīng)怎樣改正？(1)(-a-b)(a-b)=-a2+b2

()

(2)(-a+b)(-a-b)=-a2-b2

()(3)(2x+3)(2x-3)=2x2-9()

(4)(3x-1)(-3x-1)=9x2-1()

應(yīng)用拓展

計(jì)算下列各題：(1)1002×998

(轉(zhuǎn)化思想)

(2)(x+y)(x-y)(x2+y2)

(靈活運(yùn)用)(3)(a+b)2-(a-b)2

(逆向思維訓(xùn)練)

反思小結(jié)

1、本節(jié)你學(xué)到了什么？2、本節(jié)課你有何收獲？3、通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么?4、你還有什么疑惑?

作業(yè)分層布置

P32習(xí)題1.121、2、

選作題：(1)計(jì)算

3982-3992(2)在式子(-3a+2b)()的括號內(nèi)填入怎樣的式子才能用平方差公式計(jì)算.

平方差公式(a+b)(a-b)=?1．理解平方差公式的意義；2．掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征；3．正確地運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；4．添括號法則；5．利用添括號法則靈活應(yīng)用平方差公式．知識與能力學(xué)習(xí)目標(biāo)1．經(jīng)歷探索平方差公式的過程，會(huì)推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的運(yùn)算；

2．在探索平方差公式的過程中，培養(yǎng)符號感和推理能力；

3．通過添括號法則和去括號法則，培養(yǎng)逆向思維能力．過程與方法1．在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號表示，從而體會(huì)數(shù)學(xué)的簡捷美；

2．算法多樣化，培養(yǎng)多方位思考問題的習(xí)慣，提高合作交流意識和創(chuàng)新精神．情感態(tài)度與價(jià)值觀1．平方差公式的推導(dǎo)和應(yīng)用；

2．掌握公式的結(jié)構(gòu)特征及正確運(yùn)用公式；

3．理解添括號法則，進(jìn)一步熟悉乘法公式的合理利用．重點(diǎn)學(xué)習(xí)重難點(diǎn)1．公式的推導(dǎo)由一般到特殊的過程的理解；

2．正確運(yùn)用公式，理解公式中字母的廣泛含義；

3．理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用平方差公式；

4．在多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法中如何適當(dāng)添括號達(dá)到應(yīng)用公式的目的．難點(diǎn)計(jì)算下列多項(xiàng)式的積．（1）（x＋6）（x－6）（2）（m＋5)(m－5)（3）（5x＋2）（5x－2）（4）（x＋4y）（x－4y）觀察上述多項(xiàng)式，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？運(yùn)算出結(jié)果后，你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）（x＋6）（x－6）=x2－62（2）（m＋5)(m－5)=m2－52（3）（5x＋2）（5x－2）=5x2－22（4）（x＋4y）（x－4y）=x2－4y2（1）(x+3)(x?3)；（2）(1+2a)(1?2a)；（3）(x+4y)(x?4y)；（4）(y+5z)(y?5z)；=x2?9=1?4a2=x2?16y2

；=y2?25z2

=x2?32

；=12?(2a)2

；=x2?(4y)2

；=y2?(5z)2

．計(jì)算

像這樣具有特殊形式的多項(xiàng)式相乘，我們能否找到一個(gè)一般性的公式，并加以熟記，遇到相同形式的多項(xiàng)式相乘時(shí)，直接把結(jié)果寫出來呢？一般地，我們有即兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差．這個(gè)公式叫做（乘法的）平方差公式．（a＋b)(a－b)=a2－b2知識要點(diǎn)

(a+b)·(a-b)a2-b2=

邊長為b的小正方形紙片放置在邊長為a的大正方形紙片上，未蓋住部分的面積為___________．

(a+b)·(a-b)(a+b)(a?b)=a2?b2（1）公式左邊兩個(gè)二項(xiàng)式必須是相同兩數(shù)的和與差相乘；且左邊兩括號內(nèi)的第一項(xiàng)相等、第二項(xiàng)符號相反（互為相反數(shù)或式.（2）公式右邊是這兩個(gè)數(shù)的平方差；即右邊是左邊括號內(nèi)的第一項(xiàng)的平方減去第二項(xiàng)的平方．（3）公式中的a和b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式．｛（4）各因式項(xiàng)數(shù)相同．符號相同的放在前面平方，符號相反的放在后面平方．平方差公式的結(jié)構(gòu)特征例1利用平方差公式計(jì)算：（1）(7+6x)(7?6x)；（2）(3y＋x)(x?3y)；（3）(?m＋2n)(?m?2n)．解：（1）(7+6x)(7?6x)=（2）(3y+x)(x?3y)=（3）(?m+2n)(?m?2n)72-（6x）2=49－36x2x2－3y2=x2－9y2=(－m)2－(2n)2=m2－4n2（1）(b+2)(b?2)；（2）(a+2b)(a?2b)；（3）(?3x+2)(?3x?2)；（4）(?4a+3)(?4a?3)；（5）(?3x+y)(3x+y)；（6）(y?x)(?x?y)．（1）(b+2)(b?2)（3）(?3x+2)(?3x?2)（2）(a+2b)(a?2b)=b2－4=a2－4b2=9x2－4（5）(?3x+y)(3x+y)（4）(?4a+3)(?4a?3)（6）(y?x)(?x?y)=16a2－9=9x2－y2=x2－y2練一練（1）1992×2008（1）1992×2008=(2000

?8)×(2000+8)=20002

?82

=4000000?64=3999936

例2利用平方差公式計(jì)算：[來源:Zxxk.Com]解：（2）996×1004（2）996×1004=(1000

?4)×(1000+4)=10002

?42

=1000000?16=999984

(1)(a+2b)(

a?2b)；(2)(a?2b)(2b?a)；(3)(2a+b)(b+2a)；(4)

(a?3b)(a+3b)；(5)(

2x+3y)(3y?2x)．(不能)(第一個(gè)數(shù)不完全一樣)(不能)(不能)(能)?(a2

?9b2)=?a2

+9b2

；(不能)例3判斷下列式子能否用平方差公式計(jì)算：(1)(x+3)(x-3)=x2-3(2)(-3a-1)(3a-1)=9a2-1(3)(4x+3y)(4x-3y)=4x2-3y2(4)(2xy-3)(2xy+3)=4xy2-9錯(cuò)，x2-9錯(cuò)，1-9a2錯(cuò)，16x2-9y2錯(cuò)，4x2y2-9例4改正錯(cuò)誤法一利用加法交換律，變成公式標(biāo)準(zhǔn)形式．(

3x?5)(3x?5)=(

5)2

?(3x)2

=25?9x2．法二提取兩“?”號中的“?”號，變成公式標(biāo)準(zhǔn)形式．(

3x?5)(3x?5)=－[(3x)2?52]=25?9x2．=(5－3x)(－5＋3x)=-(3x+5)(3x?5)例5用兩種方法計(jì)算(

3x

5)(3x

5)

添括號時(shí)，如果括號前面是正號，括到括號里的各項(xiàng)都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項(xiàng)都改變符號．也就是說，遇“加”不變，遇“減”都變．添括號法則：知識要點(diǎn)（1）(a+b－c)(a-b＋c)例6計(jì)算（2）(a-2b+3)(a－2b-3)=[a+(b-c)][(a-(b-c)]解：（1）(a+b－c)(a-b＋c)=a2－(b－c)2=a2－(b2－2ab＋c2)=a2－b2＋2ab－c2（2）(a－2b＋3)(a－2b-3)=[(a－2b)＋3][(a－2b)-3]=(a－2b)2－9=(a2－4ab＋b2)－9=a2－4ab＋b2－9(3a＋b＋c)(3a＋b－c)=[(3a＋b)＋c][(3a＋b)－c]=(3a＋b)2－c2=9a2＋6ab＋b2－c2練一練例7計(jì)算（1）(x+y)(x-y)(x2