2021屆中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)卷：整式

2020-2021學(xué)年度數(shù)學(xué)中考二輪專題復(fù)習(xí)卷-整式

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、選擇題

1.下列運算正確的是

A.X64-X2=X3B.Q=2

C.(x+2y)2=x2+2xy+4y?D.

2.圖(1)是一個長為2a,寬為2b(a>b)的長方形，用剪刀沿圖中虛線(對稱軸)剪開,

把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖(2)那樣拼成一個正方形，則中間

空的部分的面積是

(1)

A.abB.(a+b)2C.(a-b)2D.a2-b2

3.下列計算，正確的是

A.-|-3|=-3B.3°=0C.3-'=-3D.強=±3

4.下列運算正確的是

A.-(a—l)=-a-lB.(-2a3)2=4a6

C.(a-b)2=a2-b2D.a3+a2=2afl

5.下列圖形都是由同樣大小的棋子按一定規(guī)律組成，其中第①個圖形有1顆棋子，第②個

圖形一共有6顆棋子，第③個圖形一共有16顆棋子，…，則第⑥個圖形中棋子的顆數(shù)為【】

??

圖①圖②圖③

A.51B.70C.76D.81

6.計算3X?+X2的結(jié)果是【】

A.2x2B.3x2C.3xD.3

7.下列計算結(jié)果正確的是

A.3a-(-a)=2aB.a3x(-a)2=a5C.a5-^-a-a5D.(-a2)=a6

8.下列運算正確的是

A.52?5=56B.(52)=55C.524-5=5D.(x/5)2=5

9.把￡-2a2+a分解因式的結(jié)果是

A.a2(a-2)+aB.a(a2-2a)

C.a(a+1)(a-1)D.a(a-1)"

10.下列運算正確的是

A.x?x=x2B.(xy)2=xy2C.(x2)3=x6D.x2+x2=x4

11.下列計算正確的是

842236

A.a3-a3=2a3B.a24-a2=2a4C.a4-a=aD.(-2a)=-8a

12.下列運算正確的是

A.(a+b)2=a2+b"B.x'+x^x"

C.(a;，)2=a5D.(2x2)(-3x3)=-6x5

13.下面的計算一定正確的是

A.b3+b=2b6B.(-3pq)2=-9p2q2C.5產(chǎn)3ys=15y'D.b9^-b=b3

14,下列運算正確的是

A.ms*m2=nisB.(m2)3=mbC/-y.m3-?rm2_-mD.3m-m=2

15.對于實數(shù)4、b,給出以下三個判斷:

①若同=,貝!|4a=4b.

②若時<網(wǎng)，則a<b.

③若。=一。，則(-a)2=b2.其中正確的判斷的個數(shù)是

A.3B.2C.1D.0

16.若|aI=2,bI=a,則a+b為()

A.±6B.6C.±2、±6D.以上都不對

17.下面式子正確的是()

A.x3-x2=x6B.x5+x5=x]i]C.x6-7-x3=x2D.(x3)3=x9

18.下列運算正確的是

2

A.x-2x=xB.(xy2)°=xy2C.(-V2)=4I).夜xG=#

19.下列計算正確的是

A.6X2+3X=9X3

B.6X2?3X=18X2

C.(-6x2)3=-36x6

D.6x'+3x=2x

20.下列運算正確的是

,1

A.2a-2=—rB.2a-3b=5abC.3a』2=3D.V16=±4

2a2

二、填空題

21.分解因式：3ab--a2b=.

22.計算：a">5a=.

23.分解因式x，-xy2的結(jié)果是.

24.如果x=l時，代數(shù)式2ax'+3bx+4的值是5,那么x=-1時，代數(shù)式2ax"+3bx+4的值

是.

25.分解因式：3a?+6a+3=.

26.分解因式：x3-4x=.

27.分解因式：ab2+a=.

28.二次三項式為x、4x+3,配方的結(jié)果是.

29.若與一3/"是同類項，則m-n=

30.己知方程(x-8=2y,用含y的代數(shù)式表示x,那么x=

31.若忱一3|+(/+2)2=0,則加+2〃的值是.

32.已知a、b為兩個連續(xù)的整數(shù)，且4<而<h,則〃+8=.

33.己知：a+匕=—3,ab=2,則，/￡>+。匕？=.

34.若尸2'"+1,y=3+2"',則用x的代數(shù)式表示y為.

35.若a"'=3,a"=L,則=。

2

三、計算題

36.計算1(—2)2+阿^+]逐一2]

37.(11?丹東)(本題8分)計算：|2-2|+4sin45。—>/§+(>/§―a)°

38.計算：V24-V3+V6x^.

39.計算：V8-4sin45°+(3-7t)0+|-4|

40.解不等式組，并把不等式組的解集在數(shù)軸上表示出來。

'2x-3<9-x

10-3x<2x—5

計算：我+|夜-1卜一+

計算：(_])2("3T-2|+(6_;r)°xO^x(()。

20,3

計算:(72-3)°-79-(-1)-|-2|+

計算：|T|—+2)；

四、解答題

觀察下列等式，并回答有關(guān)問題:

13+23=-X22X32；

4

13+23+33=-X32X42；

4

13+23+33+43=-X42X52；

4

46.若n為正整數(shù)，猜想F+23+33+…+/=

47.利用上題的結(jié)論比較"+23+33+…+100?與500C?的大小.

48.計算下圖陰影部分面積：

(1)用含有。、b的代數(shù)式表示陰影面積；

(2)當(dāng)。=1,6=2時，其陰影面積為多少？

49.寫出一個只含字母x的代數(shù)式，要求(1)要使此代數(shù)式有意義，字母x必須取全體大

于1的實數(shù)，(2)此代數(shù)式的值恒為負數(shù).

50.先化簡，再求值：2(b2-a2)+(a+b)(a-b)-(a-b)2,其中。=-3,b=2。

51.定義運算“@"如下：當(dāng)時，a@b=ab-a;當(dāng)a<bH、t,a@b=ab+b?(1)

計算：2@(—；)(2)若x@(x+3)=8,求x的值？

參考答案

1.D

【解析】

試題分析：根據(jù)同底幕除法，立方根，二次根式的加減法運算法則和完全平方公式逐一計算

作出判斷：

A.X6-rX2=X6-2=X4,本選項錯誤；

B.亞亞=-2,本選項錯誤；

C.(x+2y)'=x2+4xy+4y2,本選項錯誤；

D.曬-瓜=3叵-2叵=叵,本選項正確。

故選Do

2.C

【解析】

試題分析：由題意可得，正方形的邊長為a+b,故正方形的面積為(a+b):

又：原矩形的面積為2a?2b=4ab,/.中間空的部分的面積=(a+b)--4ab=(a—b)"(>

故選Co

3.A

【解析】

試題分析：針對絕對值，零指數(shù)累，負整數(shù)指數(shù)'幕，算術(shù)平方根的概念分別進行計算作出判

斷：

A.-|-3|=-3,選項正確；B.3°=1,選項錯誤；

C.3-*=-,選項錯誤；D.囪=3,選項錯誤。

3

故選Ao

4.B

【解析】

試題分析：根據(jù)去括號，積的乘方和累的乘方，合并同類項運算法則和完全平方公式逐一計

算作出判斷：

A.應(yīng)為一(a-l)=-a+l,選項錯誤；

B.(-2a3)2=(-2)2-a3x2=4a6,選項正確；

C.應(yīng)為(a-b)2=a?-2ab+b2,選項錯誤；

D.應(yīng)為a'和a?不是同類項，不可合并，選項錯誤。

故選Bo

5.Co

【解析】由圖知，圖中棋子的顆數(shù)與次序之間形成數(shù)對(1,1),(2,6),(3,16),…。

設(shè)棋子的顆數(shù)與次序之間的關(guān)系為尸ax?+bx+c,

a+b+c=l[a=l

將(1,1),(2,6),(3,16)代入，得'a+2b+c=6，解得(b=l。

9a+3b+c=16c=-l

???平行四邊形的個數(shù)與次序之間的關(guān)系為產(chǎn)*X2-*X+1。

22

當(dāng)x=6時，y=76o

，第⑥個圖形中棋子的顆數(shù)是76。故選C。

6.Co

【解析】根據(jù)同底幕除法運算法則計算即可得出結(jié)果：3x3+x?=3x3-2=3x。故選c。

7.B

【解析】

試題分析：根據(jù)整式的加減，同底數(shù)幕的乘法，同底數(shù)基的除法，事的乘方與積的乘方運算

法則逐一計算作出判斷：

A、3a-(-a)=4a^2a,故本選項錯誤；

B、a3x(-a)2=a3xa2=a3+2=a5,故本選項正確；

C、a54-a=a5-1=a4^a5,故本選項錯誤；

D、(_a2)'=(_l)3a2x3=_a6ra6,故本選項錯誤。

故選Bo

8.D

【解析】

試題分析：根據(jù)同底數(shù)暴的乘法，塞的乘方，同底數(shù)基的除法，二次根式的化簡運算法則逐

一計算作出判斷：

A、52*53=55,本選項錯誤；

B、(52)3=56,本選項錯誤；

C、524-53=5-1,本選項錯誤；

D、(百『=5,本選項正確。

故選D?

9.D

【解析】

試題分析：要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，

則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)

分解因式。因此，

先提取公因式a后繼續(xù)應(yīng)用完全平方公式分解即可：a3-2a2+a=a(a?-2a+l)=a(a-l)2。

故選Do

10.C

【解析】

試題分析：根據(jù)同底數(shù)塞的乘法，塞的乘方與積的乘方，合并同類項運算法則逐一計算作出

判斷：

A、x,x^x'^xVx2,故本選項錯誤;

B、(xy)WyVxy2,故本選項錯誤；

C、(x2)3=x2x3=xb,故本選項正確；

D、X2+X2=2X2=X\故本選項錯誤。

故選C

11.D

【解析】

試題分析：根據(jù)同底數(shù)基的乘法，合并同類項，同底數(shù)累的除法，累的乘方與積的乘方運算

法則逐一計算作出判斷：

A、a3-a3=a3+3=a6,選項錯誤;

B、a2+a2=2a2,選項錯誤；

C、a*+a4=a8T=a4,選項錯誤；

D、(-2a2)3-(-2)3a2x3--8a6,選項正確。

故選Do

12.D

【解析】

試題分析：根據(jù)合并同類項，幕的乘方，單項式乘單項式運算法則和完全平方公式逐一計算

作出判斷：

A、(a+b)2=a2+2ab+b",本選項錯誤；

B、X3+X3=2X3,本選項錯誤；

C、(a3)2=xb,本選項錯誤；

D、(2x2)(-3x3)=-6x5,本選項正確。

故選Do

13.C

【解析】

試題分析：根據(jù)合并同類項，幕的乘方與積的乘方，單項式乘單項式，同底數(shù)暴的除法運算

法則逐一計算作出判斷：

A、b3+b3=2b3,故本選項錯誤；

B、(-3Pqy=9p2q2,故本選項錯誤；

C、5y3*3y5=15y8,故本選項正確;

D、b=bMA故本選項錯誤。

故選Co

14.C

【解析】

試題分析：根據(jù)同底數(shù)暴的乘法，幕的乘方，同底數(shù)幕的除法，合并同類項運算法則逐一計

算作出判斷：

A、m5*m2=m6,本選項錯誤;(m2)3=mb,本選項錯誤;

C、m3-rm2=m,本選項正確；D、3m-m=2m,本選項錯誤。

故選C。

15.C

【解析】

試題分析：①若同=網(wǎng)，當(dāng)a=-b時，結(jié)論不成立。

②若向<例，設(shè)a=T,b=-2,但a>b,結(jié)論不成立。

③若a=—Z?,貝ij(―a)2=/A結(jié)論成立。選配

考點：實數(shù)

點評：本題難度較低，主要考查學(xué)生對實數(shù)大小知識點的掌握。注意分析ab異號情況下絕

對值相等等。

16.D

【解析】

試題分析：因為a|=2,所以a=2,或者a=-2,又因為|b|=a,所以b=a，或者b=-a,當(dāng)a=2,

b=a=2,所以a+b=4；當(dāng)a=2,b=-a=-2,所以a+b=O；當(dāng)a=-2,b=a=-2,所以a+b=-4；當(dāng)a=-2,

b=-a=2,所以a+b=O,所以選D

考點：絕對值

點評：本題考查絕對值，解答本題的關(guān)鍵是掌握絕對值的概念，會求一個數(shù)的絕對值，本題

屬基礎(chǔ)題

17.D

【解析】

試題分析?選工及A中"?"='所以A錯t吳；選項B中'+"=’所以B錯

誤；選項C中1?十Y=%6-3=%3,所以C錯誤；選項D中卜3丫=/*3=/，所以選D

考點：慕的運算

點評：本題考查事的運算，熟悉基的運算性質(zhì)，利用基的運算性質(zhì)來進行計算，屬基礎(chǔ)題

18.D

【解析】

試題分析：根據(jù)合并同類項，零指數(shù)幕，二次根式的性質(zhì)和乘除法運算法則逐一計算作出判

斷：

A、x-2x=-x,故本選項錯誤；

B、(xy2)。在xy2^0的情況下等于1,不等于xy2,故本選項錯誤；

C、(-也丫=2,故本選項錯誤；

D、夜x^="色=^，故本選項正確。

故選Do

19.D

【解析】

試題分析：根據(jù)合并同類項，單項式乘單項式，募的乘方與積的乘方，整式的除法運算法則

逐一計算作出判斷：

A、6x2和3x不是同類基,不能合并，錯誤；

B、6X2*3X=18X3,本選項錯誤；

C、(-6x2)3=-216x6,本選項錯誤；

D^6X24-3X=2X,本選項正確。

故選Do

20.C

【解析】

試題分析：根據(jù)負整數(shù)指數(shù)累，單項式乘單項式，整式的除法運算法則和算術(shù)平方根的概念

逐一計算作出判斷：

A、2a-2=4,本選項錯誤；

a-

B、2a-3b=6ab,本選項錯誤；

C、3a2+a?=3a°=3,本選項正確；

D、A/話=4,本選項錯誤。

故選Co

21.b(3b-a)

【解析】

試題分析：確定出公因式為ab,然后提取即可：3ab2-a'b=ab(3b-a)o

22.5a

【解析】

試題分析：根據(jù)單項式乘單項式法則計算即可得：a、5a=5a3。

23.x(x+y)(x-y)

【解析】

試題分析：要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，

則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)

分解因式。因此，

先提取公因式x后繼續(xù)應(yīng)用平方差公式分解即可：x3-xy2-x(x2-y2)=x(x+y)(x-y)。

24.3

【解析】

試題分析：Vx=l時，代數(shù)式2ax3+3bx+4=2a+3b+4=5,即2a+3b=1,

.\x=-1時,代數(shù)式2ax3+3bx+4=-2a-3b+4=-(2a+3b)+4=-1+4=3。

25.3(a+l)2

【解析】

試題分析：要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，

則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)

分解因式。因此，

先提取公因式3后繼續(xù)應(yīng)用完全平方公式分解即可：3a2+6a+3=3(a2+2a+l)=3(a+l)\

26.x(x+2)(x-2)

【解析】

試題分析：要將一個多項式分解因式的一般步驟是首先看各項有沒有公因式，若有公因式，

則把它提取出來，之后再觀察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考慮用公式法繼續(xù)

分解因式。因此，

先提取公因式x后繼續(xù)應(yīng)用平方差公式分解即可：X3-4X=X(X2-4)=X(X+2)(X-2)O

27.a(b2+l)

【解析】

試題分析：根據(jù)觀察可知公因式是a,提出a即可：ab2+a=a(b2+l)o

28.(x-2)2-1

【解析】

試題分析：原式前兩項加上4再減去4變形后，利用完全平方公式化簡即可得到結(jié)果.

解：x2-4x+3

=x2-4x+4-1

=(x-2)'-1.

故答案為：(x-2)z-l.

點評：此題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.

29.9

【解析】

試題分析：同類項的定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫同類項.

由題意得《,解得《，貝打"一〃=6—(—3)=9.

〃+7=4[n=-3

考點：同類項的定義

點評：本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟練掌握同類項的定義，即可完成.

30.10y+40

【解析】

試題分析：由題意把含x的項放在等號的左邊，其它項移到等號的右邊，再化含x的項的系

數(shù)為1即可.

—x-8=2y

5'

—x=2y+8

x=1Oy+4().

考點：解二元一次方程

點評：本題屬于基礎(chǔ)應(yīng)用題，只需學(xué)生熟練掌握解二元一次方程的方法，即可完成.

31.—1

【解析】

試題分析：根據(jù)任何數(shù)的絕對值與平方均為非負數(shù)，可判斷m-3=0,n+2=0.

解得m=3,n=-2.故m+2n=3-4=T

考點：整式運算

點評：本題難度較低，主要考查學(xué)生整式運算知識點的掌握。為中考常考題型，要求學(xué)生牢

固掌握。

32.7；

【解析】

試題分析：依題意，易知、歷YJHYJ正

...3YJTTY4。又因為且＜b,所以a=3,b=4.則a+b=7.

考點：實數(shù)

點評：本題難度較低，主要考查學(xué)生對實數(shù)無理數(shù)知識點的掌握?？疾榱斯烙嫙o理數(shù)的大小

的應(yīng)用。

33.-6

【解析】

試題分析：a2b+ab2=ah(a+h),因為a+b=-3,ab=2,所以

a2b+ab2=a/?(a+8)=-3x2=-6

考點：因式分解

點評：本題考查因式分解，解答本題的關(guān)鍵是掌握因式分解的兩種方法，提公因式和公式法,

本題難度不大，比較簡單

34.x+2

【解析】

試題分析：若x=2"'+l,y=3+2",那么2"'=x—l,2'"=y—3,所以x—l=y—3,解得

y=x+2

考點：代數(shù)式

點評：本題考查代數(shù)式，考生解答本題的關(guān)鍵是通過審題，列出式子，從而解答出相應(yīng)的字

母的數(shù)值來，以次達到解答本題

35.72

【解析】

試題分析：因為=42,"+43"=(十)2+(詭)3,又因為=3,優(yōu)，=g,

所以/吁3.=32+士=9x8=72

考點：幕的運算

點評：本題考查塞的運算，解答本題的重點是掌握同底數(shù)的基相乘，同底數(shù)的基相除，以及

它們的運算性質(zhì)

36.=10-

【解析】

試題分析：1、J(—2)2+次記+2—斗

=2+6+2-6

=10—V3

考點：實數(shù)運算

點評：本題難度較低，主要考查學(xué)生對實數(shù)運算知識點的掌握。為中考?？碱}型，要求學(xué)生

多做訓(xùn)練牢固掌握解題技巧。

]/?

37.解：原式="^+4x——2.y/2,+1

」+20-2亞+1

4

5

——

4

【解析】略

38.572

【解析】

試題分析：在二次根式的運算中有乘方先算乘方，再算乘除，最后算加減.按乘除法則

Va-Vb=Vab(a>0,b>0)，■^=

^(a>O,b^O),把同類二次根式相加減，計算可

得50.

試題解析：V24-V3+V6xV3

=78+718

=272+372

=5A/2.

考點：二次根式的運算.

39.解：原式=2夜—4xJ+1+44分

2

=55分

【解析】略

40.3Wx<4

【解析】解：由不等式(1)得X<4X>-2,由不等式(2)得X—3故不等式的解集為3Wx

<4

41.解：原式=-4-4-2a+2+2夜=-6。

【解析】

試題分析：針對有理數(shù)的乘方，負整數(shù)指數(shù)塞，零指數(shù)塞，絕對值，二次根式化簡4個考點

分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果。

42.解：原式=2亞+0-1-1+2=30。

【解析】

試題分析：針對二次根式化簡，絕對值，零指數(shù)幕，負整數(shù)指數(shù)累4個考點分別進行計算，

然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果。

43.解：原式=-1-2+1x2x4=-3+8=5。

【解析】針對有理數(shù)的乘方，絕對值，零指數(shù)基，立方根化簡，負整數(shù)指數(shù)塞5個考點分別

進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果。

44.解：原式=1-3+1-2+9=6。

【解析】針對零指數(shù)幕，算術(shù)平方根，有理數(shù)的乘方，絕對值，負整數(shù)指數(shù)幕5個考點分別

進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運算法則求得計算結(jié)果。

45.解：原式=4-3+1=2。

【解析】針對絕對值，二次根式化筒，零指數(shù)靠3個考點分別進行計算，然后根據(jù)實數(shù)的運

算法則求得計算結(jié)果。

46.—?2(?+1)2

4

47.l3+23+33+---+10tf>50()(f

【解析】(1)-n2(?+l)2……(1分)

4

13+23+33+---+100?=ixlOO2xlOl2

4

=(-xl00xl01)2=505tf>500tf所以廣+23+33+--+10C>500。

2

48.(1)4a2+2"+3〃；(2)20

【解析】

試題分析：先根據(jù)長方形的面積公式結(jié)合圖形的特征列出代數(shù)式，再把。=1，人=2代入求

解即可.

(1)

S陰影二(a+3b+a)(2a+b)-2a?3b=4a2+6ah+2ah+3h2-6ab=4a?+2a/?+3〃？；

(2)當(dāng)。=1,。=2時，=4xl2+2xlx2+3x22=20.

考點：列代數(shù)式，代數(shù)式求值

點評：此類求陰影面積的問題是初中數(shù)學(xué)的重點，是中考常見題，一般難度不大，需熟練掌

握.

【解析】

試題分析：要使此代數(shù)式有意義，字母X必須取全體大于1的實數(shù)，所以X>1；則我們可把

該代數(shù)式寫為一^=,因為此代數(shù)式的值恒為負數(shù)，而代數(shù)式-的值為正，所以要使

我們所寫的代數(shù)式為負數(shù)，則應(yīng)是一了工

s/x-1

考點：代數(shù)式

點評：本題考查代數(shù)式，解答本題需要考生掌握代數(shù)式的概念和意義，并能根據(jù)題意來寫出

滿足要求的代數(shù)式

50.-30

【解析】

試題分析：原式=2(b2-a2)+a2-b2-(a2-2ab+b2)

=2b2-2a2+a2-b2-a2+2ab-b2=-2a2+lab。

當(dāng)a=—3,b=2時，原式一24+2a/?=—2x(—3)2+2x(—3)x2=—30。

考點：化簡求值

點評：本題考查化簡求值，化簡是關(guān)鍵，要求考生利用分式的運算法則來化簡，然后把值代

入所化簡的式子中

51.解⑴-3(2)x=-5或x=l

【解析】

試題分析：根據(jù)示例，可知當(dāng)2>—：時2@(—g)=2x[—g)—2=—3

(2)依題意知,x-(x+3)=-3<0.故x@(x+3)=x(x+3)+(x+3)=8

》(》+3)+(%+3)=8整理得％2+4%-5=0,解得x=l或x=-5,

考點：規(guī)律探究題

點評：本題難度較低，主要考查學(xué)生對規(guī)律探究題型知識點的掌握，為中考?？碱}型，要求

學(xué)生牢固掌握。

1.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟

(1)審題：弄清題意.

(2)找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.

(3)設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母

的式子，?然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程.

(4)解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.

(5)檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，?

是否符合實際，檢驗后寫出答案.

2.和差倍分問題：增長量=原有量義增長率現(xiàn)在量

=原有量+增長量

3.等積變形問題：常見幾何圖形的面積、體積、周長計算公式,

依據(jù)形雖變，但體積不變.

①圓柱體的體積公式V=底面積*高=5?卜=乃，11

②長方體的體積V=KX寬義高=abc

4.數(shù)字問題

一般可設(shè)個位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,百位數(shù)字為c.十位數(shù)

可表示為10b+a,百位數(shù)可表示為100c+10b+a.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程.

5.市場經(jīng)濟問題

（1）商品利潤=商品售價一商品成本價（2）商品利潤率=

商品利潤

X100%

商品成本價

（3）商品銷售額=商品銷售價X商品銷售量

（4）商品的銷售利潤=（銷售價一成本價）X銷售量

（5）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價的百分之幾十出售，如商品打

8折出售，即按原標(biāo)價的80%出售.

6.行程問題：路程=速度X時間時間=路程+速度速度=路

程小時間

（1）相遇問題：快行距+慢行距=原距

（2）追及問題：快行距一慢行距=原距

（3）航行問題：順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）

速度

逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度一水流（風(fēng)）

速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速(靜不速)不變的特點考

慮相等關(guān)系.

7.工程問題：工作量=工作效率X工作時間

完成某項任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1

8.儲蓄問題

利潤=處即粵財堡X100%利息=本金X利率義期數(shù)

本金

實際問題與二元一次方程組題型歸納(練習(xí)題答案)

類型一：列二元一次方程組解決一一行程問題

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，

那么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出

發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？

解：設(shè)甲，乙速度分別為x,y千米/時，依題意得：

(2.5+2)x+2.5y=36

3x+(3+2)y=36

解得：x=6,y=3.6

答：甲的速度是6千米/每小時，乙的速度是3.6千米/每小時。

【變式2】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用

20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。

解：設(shè)這艘輪船在靜水中的速度x千米/小時，則水流速度y千米/小時，有：

20(x-y)=280

14(x+y)=280

解得：x=17,y=3

答：這艘輪船在靜水中的速度17千米/小時、水流速度3千米/小時，

類型二：列二元一次方程組解決一一工程問題

【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2

萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若

只選一個公司單獨完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說

明理由.

解：

設(shè)甲、乙兩公司每周完成工程的X和y,則

'1X=—

X+/=10

（6得，故1+工=10（周）11+2-E5周

［4“x+9c,=l,y=—11015

即甲、乙完成這項工程分別需10周，15周

又設(shè)需付甲、乙每周的工錢分別為3元，b萬元則

'_3

（6a+6b=5.2“一，必。"0a=6（萬元）

|得.此時|__

+9b=4.8a=4115b=4②兀）

1?

比較知，從節(jié)約開支角度考慮，選乙公司劃算

類型三：列二元一次方程組解決一一商品銷售利潤問題

【變式1］（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，

共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元,

李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

解：設(shè)甲、乙兩種蔬菜各種植了x、y畝，依題意得：

①x+y=10

②2000x+1500y=18000

解得：x=6.y=4

答：李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了6畝、4畝

【變式2］某商場用36萬元購進A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進價和售價

如下表：

AB

進價（元/件）12001000

售價（元/件）13801200

（注：獲利=售價一進價）求該商場購進A、B兩種商品各多少件;

解：設(shè)購進A的數(shù)量為x件、購進B的數(shù)量為y件，依據(jù)題意列方程組

1200x+1000y=360000

（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000

解得x=200,y=120

答：略

類型四：列二元一次方程組解決一一銀行儲蓄問題

【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費用，在銀行同時用兩種方式共

存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相

同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行

年利率為2.70%.三年后同時取出共得利息303.75元（不計利息稅），問小敏的爸

爸兩種存款各存入了多少元？

解：設(shè)x為第一種存款的方式，丫第二種方式存款，則

X+Y=4000

X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75

解得：X=1500,Y=2500?

答:略。

類型五：列二元一次方程組解決一一生產(chǎn)中的配套問題

【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與

兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成

一批完整的盒子？

解：設(shè)x張做盒身，y張做盒底，則有盒身8x個，盒底22y個

x+y=190

8x=22y/2

解得x=110,y=80

即110張做盒身，80張做盒底

【變式2］某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個螺栓套兩個螺母的配套產(chǎn)品,

每人每天生產(chǎn)螺栓14個或螺母20個，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺

母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。

解：設(shè)生產(chǎn)螺栓的工人為x人,生產(chǎn)蠅的工人為y人

x+y=60

28x=20y

解得x=25,y=35

答：略

【變式3】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做

桌面50個，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做

桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多

少張方桌？

解：設(shè)用X立方米做桌面，用丫立方米做桌腿

X+Y=5..........................⑴

50X：300Y=1：4.......................(2)

解得：Y=2,X=5-2=3

答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。

類型六：列二元一次方程組解決一一增長率問題

【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%,農(nóng)村人

口增加1.1%,這樣全市人口增加1%,求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。

解：設(shè)該城市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有x萬人，農(nóng)村人口有y萬人。

x+y=42

0.8%xX+l.l%xY=42x1%

解這個方程組，得：x=14,y=28

答：該市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有14萬人，農(nóng)村人口有28萬人。

類型七：列二元一次方程組解決一一和差倍分問題

【變式1】略

【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。

如果每位男孩看到藍色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍色的游泳帽

比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？

解：設(shè)：男有X人，女有Y人，則

X-1=Y

2(Y-1)=X

解得：x=4,y=3

答：略

類型八：列二元一次方程組解決一一數(shù)字問題

【變式1】一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個兩位數(shù)除以

它的各位數(shù)字之和，商是5,余數(shù)是1,這個兩位數(shù)是多少？

解：設(shè)這個兩位數(shù)十位數(shù)是x,個位數(shù)是y,則這個數(shù)是(10x+y)

10x+y-3(x+y)=23(1)

10x+y=5(x+y)+1(2)

由(1),(2)得

7x-2y=23

5x-4y=1

解得：x=5

y=6

答：這個兩位數(shù)是56

【變式2】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5,如果把十位上的數(shù)字與個

位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9,求這個兩位數(shù)？

解：設(shè)個位X,十位Y,有

X-Y=5

(10X+Y)+(10+X)=143

即

X-Y=5

X+Y=13

解得：X=9,Y=4

這個數(shù)就是49

【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0,其余兩個數(shù)位上數(shù)字之和是9,如果百位

數(shù)字減1,個位數(shù)字加1,則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，

求原三位數(shù)。

解：設(shè)原數(shù)百位是x,個位是y那么

x+y=9

x-y=1

兩式相加得到2x=10=>x=5=>y=5-1=4

所以原數(shù)是504

類型九：列二元一次方程組解決一一濃度問題

【變式1]要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水

各需多少？

解：設(shè)10%的X克，85%的丫克

X+Y=12

X*10%+Y*85%=12*45%

即：X+Y=12

X+8.5Y=54

解得：Y=5.6

答：略

【變式2]一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%

的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？

解：800千克1.75%的農(nóng)藥中含純農(nóng)藥的質(zhì)量為800x1.75%=14千克

含14千克純農(nóng)藥的35%的農(nóng)藥質(zhì)量為14+35%=40千克

由40千克農(nóng)藥稀釋為800千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為800-40=760千克

答：用40F克濃度為35%的農(nóng)藥添加760千克的水，才能配成濃度為1.75%的農(nóng)藥

800千克。

類型十：列二元一次方程組解決一一幾何問題

【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長

邊剪掉3厘米，補到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形

的面積比矩形面積大多少？

解：設(shè)長方形的長寬分別為x和y厘米，則

2(x+y)=48

x-3=y+3

解得:x=15,y=9

正方形的面積比矩形面積大

(x-3)(y+3)-xy=(15-3)(9+3)-15*9=144-135=9(cm2)

答：略

【變式2】一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m,它的周長是132m,則長和寬分別為多少？

解：設(shè)草坪的長為XIE，寬為則

[2j+10=xly=y

所以寬和長分別為竽m、-y-m.

類型十一：列二元一次方程組解決一一年齡問題

【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后,

他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.

解：設(shè)小李X歲，爺爺Y歲，則

5X=Y

3(X+12)=Y+12

兩式聯(lián)立解得：X=12Y=60

所以小李今年12歲，爺爺今年60歲。

類型十二：列二元一次方程組解決一一優(yōu)化方案問題：

【變式】某商場計劃撥款9萬元從廠家購進50臺電視機，已知廠家生產(chǎn)三種不同

型號的電視機，出廠價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元。

(1)若商場同時購進其中兩種不同型號的電視機50臺，用去9萬元，請你研究一下商

場的進貨方案；

(2)若商場銷售一臺甲、乙、丙電視機分別可獲利150元、200元、250元，在以上的

方案中，為使獲利最多，你選擇哪種進貨方案？

解：（1）分情況計算：設(shè)購進甲種電視機X臺,乙種電視機y臺，丙種電視機Z臺.

x-Fjr=50,r=25,

{1500x+2100y=9000025.

x+z=50,x=35,

{1500x+2500y=90000一解得&=15一

jy+z=50,Jr=875

（HI）購進乙、丙兩種電視機1210°y+2500z=90000解得-375（不合實際，舍去）

故商場進貨方案為購進甲種25臺和乙種25臺；或購進甲種35臺和丙種15臺.

（2）按方案（I），獲利150x25+200x25=8750（元）；

按方案（U），獲禾IJ150x35+250xl5=9000（元）.

，選擇購進甲種35臺和丙種15臺.

三、列方程解應(yīng)用題

1.將一批工業(yè)最新動態(tài)信息輸入管理儲存網(wǎng)絡(luò)，甲獨做需6小時，乙獨做需4小時，甲先

做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時才能完成工作？

2.兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍？

3.將一個裝滿水的內(nèi)部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80?毫米的長方體鐵盒中的

水，倒入一個內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到

0.1毫米，萬^3.14）.

4.有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋

需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米，試求各鐵橋的長.

5.有某種三色冰淇淋50克，咖啡色、紅色和白色配料的比是2：3：5,?這種三色冰淇淋

中咖啡色、紅色和白色配料分別是多少克？

6.某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個或乙種零件4個.在這16名工人中,

一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件.?己知每加工一個甲種零件可獲利16元,

每加工一個乙種零件可獲利24元.若此車間一共獲利1440元，?求這一天有幾個工人加

工甲種零件.

7.某地區(qū)居民生活用電基本價格為每千瓦時0.40元，若每月用電量超過a千瓦時，則超過

部分按基本電價的70%收費.

(1)某戶八月份用電84千瓦時，共交電費30.72元，求a.

(2)若該用戶九月份的平均電費為0.36元，則九月份共用電多少千瓦？?應(yīng)交電費是

多少元？

8.某家電商場計劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進50臺電視機.已知該廠家生產(chǎn)3?種不同型號

的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元.

(1)若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下

商場的進貨方案.

(