新疆柯坪縣柯坪湖州國(guó)慶中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

20232024學(xué)年第一學(xué)期九月月考試卷高二數(shù)學(xué)（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）注意：1．答題前在試卷和答題卡上填寫好自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)、座位號(hào)等信息．2．請(qǐng)按照要求將正確答案填寫在答題卡內(nèi)．3．試卷整潔，字跡清晰．一、單選題（每小題5分，共60分）1.下列說法正確的是（）A.四邊形一定是平面圖形B.不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面C.梯形不一定是平面圖形D.平面和平面一定有交線【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間元素的位置關(guān)系和三大公理及推論分別判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】解：對(duì)于選項(xiàng)A,四邊形不一定是平面圖形,也可能是空間四邊形,故A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面,故B正確;對(duì)于選項(xiàng)C,梯形中，有一組對(duì)邊平行,可以確定一個(gè)平面,故梯形一定是平面圖形，C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,若平面和平面平行,則其沒有交線,故D錯(cuò)誤;故選:B.2.如圖，在正方體的六個(gè)面中，與底面垂直的面有（）A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，可直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎襟w中，側(cè)棱都和底面垂直，因此側(cè)面都垂直于底面；故在正方體的六個(gè)面中，與底面垂直的面有個(gè)，分別為四個(gè)側(cè)面.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題型.3.如圖，一塊矩形木板ABCD的一邊AB在平面α內(nèi)，把這塊矩形木板繞AB轉(zhuǎn)動(dòng)，在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，AB的對(duì)邊CD與平面α的位置關(guān)系是（）A.平行 B.相交C.在平面α內(nèi) D.平行或在平面α內(nèi)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面平行判定定理?xiàng)l件可得.【詳解】在旋轉(zhuǎn)過程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD?α.故選：D.4.在長(zhǎng)方體中，，，，則和所成的角是（）A.60° B.45° C.30° D.90°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)可知即為和所成的角.【詳解】如圖所示：易知，所以和所成的角，即為和所成的角，在中，，所以.即和所成的角是.故選：A5.如圖，為正方體，則以下結(jié)論：①平面；②；③平面．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】對(duì)于①，由正方體的性質(zhì)可知，再由線面平行的判定定理可得結(jié)論；對(duì)于②，由正方體的性質(zhì)可得，再結(jié)合三垂直線定理可得結(jié)論；對(duì)于③，由正方體的性質(zhì)可得，，從而可由線面垂直的判定定理得到結(jié)論【詳解】由正方體的性質(zhì)得，，所以結(jié)合線面平行的判定定理可得：平面；所以①正確．由正方體的性質(zhì)得，因?yàn)槭窃诘酌鎯?nèi)的射影，所以由三垂線定理可得：，所以②正確．由正方體的性質(zhì)得，由②可得，所以，同理可得，進(jìn)而結(jié)合線面垂直的判定定理得到：平面，所以③正確．故選：D．6.三個(gè)平面可將空間分成個(gè)部分，則的最小、最大值分別是（）A.4，7 B.6，7 C.4，8 D.6，8【答案】C【解析】【分析】考慮三個(gè)平面兩兩平行三個(gè)平面、兩兩相交有三條交線且三條交線交于一點(diǎn)兩種情況.詳解】當(dāng)三個(gè)平面兩兩平行時(shí),把空間分成四個(gè)部分;當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交有三條交線且三條交線交于一點(diǎn)時(shí),把空間分成八個(gè)部分.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì)及推論,培養(yǎng)了空間想象能力.7.下列表述中正確的是（）A.若直線平面，直線，則B.若直線平面，直線，且，則C.若平面內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面的距離相等，則D.若平面滿足，，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間線面關(guān)系的定義及幾何特征，逐一分析四個(gè)命題的真假，可得答案．【詳解】若直線平面，直線，則可能，可能，可能與只相交不垂直，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若直線平面，直線，且，則可能，可能與只相交不垂直，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若平面內(nèi)有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面的距離相等，則可能，可能與相交，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若平面滿足，，，則，由面面垂直的性質(zhì)可知，D選項(xiàng)正確.故選：D8.已知平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角是，且平面內(nèi)的直線和斜線在平面內(nèi)的射影的夾角是，則直線所成的角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意畫出幾何示意圖，利用直線與平面的位置關(guān)系找出直線所成的角即可求出其大小.【詳解】設(shè)直線交平面于點(diǎn)，在直線上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，連接，則，再過點(diǎn)作，垂足為，連接，如圖所示：易知平面，直線平面，所以，又，為，平面，所以平面；又平面，所以，可得，設(shè)，則，所以在中，，因此.故選：C.9.已知兩直線和平面，若，，則直線的關(guān)系一定成立的是（）

A.與是異面直線 B.C.與是相交直線 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，則存在過直線的平面，使得，于是有，由，得，所以.故選：B．10.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，則平面AD1E與平面ABCD的交線與直線C1D1所成角的正切值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】先找到平面AD1E與平面ABCD的交線，再利用異面直線的定義找到交線與直線C1D1所成角，求解即可.【詳解】延長(zhǎng)與直線相交于F，連接,則平面與平面的交線為，又∵∴為平面與平面的交線與直線所成角，∵是棱的中點(diǎn)，且∥，∴，∴.故選：A.11.已知平面平面，則下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①內(nèi)的任意直線必垂直于內(nèi)的無數(shù)條直線；②在內(nèi)垂直于與的交線的直線必垂直于內(nèi)的任意一條直線；③內(nèi)的任意一條直線必垂直于；④過內(nèi)的任意一點(diǎn)作與交線的垂線，則這條直線必垂直于.A4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理及空間線面、線線關(guān)系逐一判斷即可得解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)①，設(shè)，，，，則，則，故內(nèi)與b平行的無數(shù)條直線均垂直于內(nèi)的任意直線，故①為真命題；對(duì)于選項(xiàng)②，內(nèi)垂直于與交線的直線垂直于平面，則它垂直于內(nèi)的任意直線，故②為真命題；對(duì)于選項(xiàng)③，內(nèi)不與交線垂直的直線不垂直于，故③為假命題；對(duì)于選項(xiàng)④，垂直于交線的直線必須在平面內(nèi)才與平面垂直，否則不垂直，故④為假命題.綜上可得：真命題的個(gè)數(shù)是2個(gè)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的性質(zhì)定理，重點(diǎn)考查了空間線面、線線關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.12.已知為異面直線，為兩個(gè)不同的平面，，，，則（）A.l與都相交 B.l與中至少一條相交C.l與都不相交 D.l與中的一條相交【答案】C【解析】【分析】由直線與平面平行，則直線與平面沒有公共點(diǎn)，即可判斷直線與的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋詍與平面沒有公共點(diǎn)，所以m與l無公共點(diǎn)同理，由知，n與l無公共點(diǎn)，故l與都沒有公共點(diǎn)，即l與都不相交.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題（每小題5分，共20分）13.如圖，在正方體所有經(jīng)過四個(gè)頂點(diǎn)的平面中，垂直于平面的平面有________．【答案】平面，平面，平面【解析】【分析】作出輔助線，證明線面垂直，從而證明出平面⊥平面，同理可證明平面⊥平面，平面⊥平面.【詳解】連接面對(duì)角線，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以平面⊥平面，同理可知平面⊥平面，平面⊥平?故答案為：平面，平面，平面.14.下列圖形中，不一定是平面圖形的是______．（填序號(hào)）①三角形；②四邊形；③圓；④梯形．【答案】②【解析】【分析】根據(jù)三角形、圓、梯形的定義即可判斷它們是否為平面圖形，而四邊形可能為平面或空間四邊形.【詳解】①三角形：由平面上三個(gè)不同點(diǎn)首尾相連所成的圖形，是平面圖形；②四邊形：可能為平面四邊形，也有空間四邊形，不一定在一個(gè)平面上；③圓：同一平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合所成圖形，是平面圖形；④梯形：一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形，是平面圖形；故答案為：②15.對(duì)角線互相垂直的空間四邊形ABCD各邊中點(diǎn)分別為M，N，P，Q，則四邊形MNPQ是______．【答案】矩形【解析】分析】根據(jù)條件畫出圖形，由中位線定理可知，由可知，從而得出結(jié)論．【詳解】如圖所示．點(diǎn)M，N，P，Q分別是四條邊的中點(diǎn)，，，∴，四邊形MNPQ是平行四邊形，又，，，，平行四邊形MNPQ是矩形．故答案為：矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理、平行四邊形的判定定理、異面直線所成的角、矩形的判定，屬于基礎(chǔ)題．16.如圖所示，在正方體中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，則異面直線與EF所成的角的大小為_________.【答案】##【解析】【分析】連接，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得：（或其補(bǔ)角）即為所求，進(jìn)而求解即可.【詳解】如圖，連接，則，故（或其補(bǔ)角）即為所求，又，所以，故答案為：.三、解答題（共70分）17.用集合符號(hào)表示下列語(yǔ)句：（1）點(diǎn)在直線上，點(diǎn)不在直線上；（2）平面與平面相交于過點(diǎn)的直線．【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】【分析】根據(jù)集合的關(guān)系及運(yùn)算表示即可.【小問1詳解】點(diǎn)在直線上，點(diǎn)不在直線上可表示為：【小問2詳解】平面與平面相交于過點(diǎn)的直線可表示為：18.如圖，在正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn).求證：（1）；（2）平面平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）證明出四邊形為平行四邊形，可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】證明：在正方體中，且，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則.【小問2詳解】證明：因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，所以，平面，因?yàn)椋矫妫矫?，所以，平面，因?yàn)?，因此，平面平?19.如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，求證：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】(1)利用線面平行的判定定理即可證明；(2)利用面面平行的判定定理證明.【小問1詳解】如圖，連接，∵分別是的中點(diǎn)，∴.又∵平面，平面，∴直線平面.【小問2詳解】連接SD，∵分別是的中點(diǎn)，∴.又∵平面，平面，∴平面，由(1)知，平面，且平面，平面，，∴平面∥平面.20.如圖，在三棱柱中，，，設(shè)O為與的交點(diǎn)，點(diǎn)P為的中點(diǎn)．求證：平面；【答案】證明見解析【解析】【分析】利用線面平行的判定定理證明.【詳解】如圖，四邊形為平行四邊形，所以為的中點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，所以在中，為中位線，所以,且面，面,所以平面.21.如圖，在正方體中，求異面直線與所成的角的大??；【答案】【解析】【分析】證明，由異面直線夾角的定義可知是異面直線與所成角的平面角，又為正三角形，所以可得結(jié)果為.【詳解】連接，，如下圖所示：因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，則，所以異面直線與所成的角即為直線與所成的角，即是異面直線與所成角的平面角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，所以為正三角形，因此.即異面直線與所成的角的大小為.22.如圖，在三棱柱中，四邊形為菱形，，四邊形為矩形，若，，．（1