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第十四章機械振動和機械波第一節(jié)簡諧振動及其描述1.機械振動簡稱振動,是指物體在某一中心位置兩側所做的往復運動,這一中心位置叫做平衡位置,物體受到總是指向平衡位置的合外力叫做回復力,2.由平衡位置指向振動物體所在位置的有向線段叫做物體的位移,振動物體離開平衡位置的最大距離叫做振幅。3.每一次完整的振動叫做一次全振動,物體完成一次全振動所需要的時間叫做振動的周期(T)。單位時間內完成的全振動的次數(shù)叫做振動的頻率(f),頻率的單位是赫茲(Hz)顯然有f=eq\f(1,T)。4.物體所受的回復力跟位移大小成正比的機械振動叫做簡諧振動。5.把一個小球安放在彈簧的一端,彈簧的另一端固定,小球穿在光滑的水平桿上,可以在桿上滑動,小球和桿之間的摩擦不計,這樣的系統(tǒng)稱為彈簧振子,其中的小球叫做振子。彈簧振子是個理想模型。6.“平衡位置”不等于“平衡狀態(tài)”。平衡位置是指回復力為零的位置,物體在該位置所受的合外力不一定為零。(如單擺擺到最低點時,沿振動方向的合力為零,但在指向懸點方向上的合力卻不等于零,所以并不處于平衡狀態(tài))7.簡諧運動的位移與時間的關系可以用正弦函數(shù)(或余弦函數(shù))表示,如果用正弦函數(shù)表示,則可表示為x=Asin(ωt+Φ)。8.如圖所示,如果懸掛小球的細線的質量與伸縮可以忽略,線長又比球的直徑大得多,這樣的裝置叫做單擺,在偏角θ很小時,單擺可看成簡諧運動。如果設單擺的擺長為l,重力加速度為g,則單擺的周期T=2πeq\r(\f(l,g))。9.阻尼振動是指振動中受阻力,能量減少,振幅逐漸減小的振動;無阻尼振動是指振動中無阻力,能量無損失,振幅大小不變的振動。10.受迫振動是指物體在外界周期性驅動力作用下的振動。11.物體在受迫振動中,當驅動力的頻率跟物體的固有頻率相等的時候,受迫振動的振幅最大,這種現(xiàn)象叫共振。例1如圖所示,為一彈簧振子,O為振動的平衡位置,將振子拉到位置C從靜止釋放,振子在BC間往復運動,已知BC間的距離為20cm,振子在4秒鐘內振動了10次。(1)求振幅、周期和頻率;(2)若規(guī)定從O到C的方向為正方向,試分析振子在從C→O→B過程中所受回復力F,加速度a和速度υ的變化情況。【解析】(1)eq\x\to(BC)=2A,A=10cm,T=eq\f(t,n)=0.4s,f=eq\f(1,T)=2.5Hz(2)按題設從O→C為正方向,則當振子在平衡位置右側時位移為正,在平衡位置左側時位移為負。所以當振子從C→O運動時,位移方向為正,大小在減少,回復力方向為負,加速度方向為負,回復力和加速度的大小都在減小。振子的速度方向為負,加速度與速度方向一致,速度在增大;振子到達O位置時位移X=0,F(xiàn)、a均為零,υ最大。當振子從O→B運動時,位移方向為負,位移x在增大,回復力F、加速度a方向為正,大小在增大,此過程速度方向為負,a與υ反向,振子從O→B做減速運動,υ在減小,到達B位置時F、a為正向最大,υ=0。例2有一個單擺,其擺長l=1.02m,擺球的質量m=0.1kg,從和豎直方向成擺角θ=4°的位置無初速度開始運動(如圖所示),問:(1)已知振動的次數(shù)n=30次,用了時間t=60.8s,重力加速度g多大?(2)擺球的最大回復力多大?(3)擺球經(jīng)過最低點時速度多大?(4)此時懸線拉力為多大?(5)如果將這個擺改為秒擺,擺長應怎樣改變?為什么?(取sin4°=0.0698,cos4°=0.9976,π=3.14)【解析】(1)θ<5°,單擺做簡諧運動,其周期T=t/n=60.8/30s=2.027s,根據(jù)T=2πeq\r(l/g)得,g=4×π2×1.02/2.0272=9.791m/s2。(2)最大回復力為F1=mgsin4°=0.1×9.791×0.0698N=0.068N。(3)單擺振動過程中,重力勢能與動能互相轉化,不考慮阻力,機械能守恒,其總機械能E等于擺球在最高處的重力勢能E,或在最低處的速度v=eq\r(2gl1-cos4°)=0.219m/s。(4)由T-mg=mv2/l得懸線拉力為T=mg+mv2/l=0.1×9.791+0.1×0.2192/1.02=0.52N(5)秒擺的周期T=2s,設其擺長為l0,根據(jù)T=2πeq\r(l/g)得,g不變,則T∝eq\r(l)即T∶T0=eq\r(l)∶eq\r(l0)故l0=Teq\o\al(2,0)l/T2=22×1.02/2.0272=0.993m,其擺長要縮短Δl=l—l0=1.02m—0.993m=0.027m例3一質點做簡諧運動,其位移和時間的關系如圖所示。(1)求t=0.25×10-2s時質點的位移;(2)在t=1.5×10-2s到t=2×10-2s的振動過程中,質點的位移、回復力、速度、動能、勢能如何變化?(3)在t=0到t=8.5×10-2s時間內,質點的路程、位移各多大?【解析】(1)由題圖可知A=2cm,T=2×10-2s,振動方程為x=Asin(ωt-eq\f(π,2))=-Acosωt=-2coseq\f(2π,2×10-2)tcm=-2cos100πtcm當t=0.25×10-2s時,x=-2coseq\f(π,4)cm=-eq\r(2)cm。(2)由題圖可知在1.5×10-2s到2×10-2s的振動過程中,質點的位移變大,回復力變大,速度變小,動能變小,勢能變大。(3)在t=0到t=8.5×10-2s時間內經(jīng)歷eq\f(17,4)個周期,質點的路程s=17A=34cm,位移為2cm?!敬鸢浮?1)-eq\r(2)cm(2)見解析(3)34cm,2cm例4如圖甲是一個單擺振動的情形,O是它的平衡位置,B、C是擺球所能到達的最遠位置,設向右為正方向,圖乙是這個單擺的振動圖象。根據(jù)圖象回答:(1)單擺振動的頻率是多大?(2)開始時擺球在何位置?(3)若當?shù)氐闹亓铀俣葹?0m/s2,試求這個擺的擺長是多少?(計算結果保留兩位有效數(shù)字)【解析】(1)由題圖乙知周期T=0.8s,則頻率f=eq\f(1,T)=1.25Hz。(2)由題圖乙知,t=0時擺球在負向最大位移處,因向右為正方向,所以開始時擺球在B點。(3)由T=2πeq\r(\f(l,g)),得l=eq\f(gT2,4π2)≈0.16m?!敬鸢浮?1)1.25Hz(2)B點(3)0.16m1.以下各裝置中,哪個作為單擺更合適()A.1m長的橡皮繩上掛一個鐵球B.1m長的鐵絲上掛一個乒乓球C.0.3m長的細線下掛一個大鋼球D.1m長的細線下掛一個小鋼球2.(多選)小球做簡諧運動,則下述說法正確的是()A.小球所受的回復力大小與位移成正比,方向相反B.小球的加速度大小與位移成正比,方向相反C.小球的速度大小與位移成正比,方向相反D.小球速度的大小與位移成正比,方向可能相同也可能相反3.如圖所示,彈簧振子在BC間振動,O為平衡位置,BO=OC=5cm,若振子從B到C的運動時間是1s,則下列說法中正確的是()A.振子從B經(jīng)O到C完成一次全振動B.振動周期是1s,振幅是10cmC.經(jīng)過兩次全振動,振子通過的路程是20cmD.從B開始經(jīng)過3s,振子通過的路程是30cm4.(多選)某質點做簡諧運動,其位移隨時間變化的關系式為x=Asineq\f(π,4)t,則質點()A.第1s末與第3s末的位移相同B.第1s末與第3s末的速度相同C.3s末至5s末的位移方向都相同D.3s末至5s末的速度方向都相同5.(多選)一質點做簡諧運動的振動圖象如圖所示,質點的速度方向與加速度方向相同的時間段是()A.0~0.3s B.0.3~0.6sC.0.6~0.9s D.0.9~1.2s6.如圖甲所示,彈簧振子以O點為平衡位置,在A、B兩點之間做簡諧運動,取向右為正方向,振子的位移x隨時間t的變化如圖乙所示,下列說法正確的是()A.t=0.8s時,振子的速度方向向左B.t=0.2s時,振子在O點右側6cm處C.t=0.4s和t=1.2s時,振子的加速度完全相同D.t=0.4s到t=0.8s的時間內,振子的速度逐漸減小7.(多選)如圖是用頻閃照相的方法獲得的彈簧振子的位移-時間圖象(水平方向為x軸,豎直方向為t軸),下列關于該圖象的說法正確的是()A.該圖象的坐標原點是建立在彈簧振子小球的平衡位置B.從圖象可以看出小球在振動過程中是沿t軸方向移動的C.為了顯示小球在不同時刻偏離平衡位置的位移,讓底片沿垂直x軸方向勻速運動D.圖象隨時間的推移而發(fā)生平移8.如圖所示,一單擺懸于O點,擺長為L,若在O點的正下方的O′點釘一個光滑釘子,使OO′=eq\f(L,2),將單擺拉至A處釋放,小球將在A、B、C間來回振動,若振動中擺線與豎直方向夾角小于5°,則此擺的周期是()A.2πeq\r(\f(L,g)) B.2πeq\r(\f(L,2g))C.2π(eq\r(\f(L,g))+eq\r(\f(L,2g))) D.π(eq\r(\f(L,g))+eq\r(\f(L,2g)))9.(多選)如圖所示,A球振動后,通過水平細繩迫使B、C振動,振動達到穩(wěn)定時,下列說法中正確的是()A.只有A、C的振動周期相等B.C的振幅比B的振幅小C.C的振幅比B的振幅大D.A、B、C的振動周期相等10.一個單擺在地面上做受迫振動,其共振曲線(振幅A與驅動力頻率f的關系)如圖所示,則()A.此單擺的固有周期約為0.5sB.此單擺的擺長約為1mC.若擺長增大,單擺的固有頻率增大D.若擺長增大,共振曲線的峰將向右移動11.(多選)小明在實驗室做單擺實驗時得到如圖甲所示的單擺振動情形,O是它的平衡位置,B、C是擺球所能到達的左右最遠位置。小明根據(jù)實驗情況繪制了單擺的振動圖象如圖乙所示,若圖中單擺向右擺動為正方向,g=π2m/s2,則下列選項正確的是()A.此單擺的振動頻率是0.5HzB.根據(jù)圖乙可知開始計時時擺球在C點C.圖中P點向正方向振動D.根據(jù)已知數(shù)據(jù)可以求得此單擺的擺長為1.0m12.(多選)如圖所示為一個豎直放置的彈簧振子,物體沿豎直方向在A、B之間做簡諧運動,O點為平衡位置,A點位置恰好為彈簧的原長。物體由C點運動到D點(C、D兩點未在圖上標出)的過程中,彈簧的彈性勢能增加了3.0J,重力勢能減少了2.0J。對于這段過程說法正確的是()A.物體的動能增加1.0JB.C點的位置可能在平衡位置以上C.D點的位置可能在平衡位置以上D.物體經(jīng)過D點的運動方向可能指向平衡位置1.關于簡諧運動的位移、加速度和速度的關系,下列說法中正確的是()A.位移減小時,加速度減小,速度也減小B.位移方向總是與加速度方向相反,與速度方向相同C.物體的運動方向指向平衡位置時,速度方向與位移方向相反;背離平衡位置時,速度方向與位移方向相同D.物體向負方向運動時,加速度方向與速度方向相同;向正方向運動時,加速度方向與速度方向相反2.彈簧振子以O點為平衡位置,在水平方向上的A、B兩點間做簡諧運動,以下說法正確的是()A.振子在A、B兩點時的速度和加速度均為零B.振子在通過O點時速度的方向將發(fā)生改變C.振子的加速度方向總跟速度方向相反D.振子離開O點的運動總是減速運動,靠近O點的運動總是加速運動3.如圖甲所示,水平的光滑桿上有一彈簧振子,振子以O點為平衡位置,在a、b兩點之間做簡諧運動,設向右為正方向,其振動圖象如圖乙所示。由振動圖象可知()A.振子的振動周期等于t1B.在t=0時刻,振子的位置在a點C.在t=t1時刻,振子的速度為零D.從t1到t2,振子正從O點向b點運動4.(多選)如圖所示為一個單擺在地面上做受迫振動的共振曲線(振幅A與驅動力頻率f的關系),則()A.此單擺的固有周期約為2sB.此單擺的擺長約為1mC.若擺長增大,單擺的固有頻率增大D.若擺長增大,共振曲線的峰將右移5.一彈簧振子做簡諧運動,周期為T,則()A.若t時刻和(t+Δt)時刻振子運動的位移大小相等、方向相同,則Δt一定等于T的整數(shù)倍B.若t時刻和(t+Δt)時刻振子運動的速度大小相等、方向相反,則Δt一定等于eq\f(T,2)的整數(shù)倍C.若Δt=T,則在t時刻和(t+Δt)時刻振子運動的加速度一定相等D.若Δt=eq\f(T,2),則在t時刻和(t+Δt)時刻彈簧的長度一定相等6.如圖所示,在曲軸上懸掛一彈簧振子,轉動搖把,曲軸可以帶動彈簧振子上下振動。開始時不轉動搖把,讓振子自由上下振動,測得其頻率為2Hz;然后以60r/min的轉速勻速轉動搖把,當振子振動穩(wěn)定時,它的振動周期為()A.0.25s B.0.5sC.1s D.2s7.(多選)蜘蛛會根據(jù)絲網(wǎng)的振動情況感知是否有昆蟲“落網(wǎng)”,若絲網(wǎng)的固有頻率為200Hz,下列說法正確的是()A.“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動的頻率越大,絲網(wǎng)的振幅越大B.當“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動的頻率低于200Hz時,絲網(wǎng)不振動C.當“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動的周期為0.005s時,絲網(wǎng)的振幅最大D.昆蟲“落網(wǎng)”時,絲網(wǎng)振動的頻率由“落網(wǎng)”昆蟲翅膀振動的頻率決定8.(多選)如圖所示為同一地點的兩單擺甲、乙的振動圖象,下列說法中正確的是()A.甲、乙兩單擺的
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