福建省莆田市第三中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

莆?三中

20232024

學(xué)年上學(xué)期?三數(shù)學(xué)期中測(cè)試卷?單選題（每題5分）1.若集合

，集合 ，則 （ ）B. C. 2.若復(fù)數(shù)

z滿?，則z的虛部為（ ）B. C. 3.已知成?的?個(gè)充分不必要條件是（ ）且 B. 且 C. 且 且4. 若 滿?

，則 的最?值為（ ）B. C.12 165. 已知等差數(shù)列 的前項(xiàng)和為

，則數(shù)列 的公差為（ ）A1 B.2 C.3 D.46.純電動(dòng)汽?是以?載電源為動(dòng)?，?電機(jī)驅(qū)動(dòng)?輪?駛，符合道路交通、安全法規(guī)各項(xiàng)要求的?輛，它向研. . 究發(fā)現(xiàn)電向研使?存儲(chǔ)在電池中的電來(lái)發(fā)動(dòng)因其對(duì)環(huán)境影響較?1898的容量隨放電電流的???改變，

Peukert年

提出鉛酸電池的容量 和放電電流之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式：，其中 為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常數(shù)（稱為euket常數(shù)，在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流為 時(shí)，放電時(shí)間為 ；當(dāng)放電電流為 時(shí)，放電時(shí)間為 ，則該蓄電池的eukrt （ （參考數(shù)據(jù)）常數(shù) 約為A. B. C. D.7.已知 ， ， ，則（ ）A B. C. D.8.函數(shù) ，且存在，使得，若對(duì)任意 ，恒成?，則 的最?值為（ ）A.1 B. C.2 D.3? 多選題9.

（每題滿分5分，?少兩個(gè)選項(xiàng)，少選2分，錯(cuò)選得0分）個(gè)單位?度，得到函數(shù) 的圖象，則下列說(shuō)法正確若將函數(shù) 圖象向左平移的是（ ）B.的最?正周期為

在區(qū)間

上單調(diào)遞減C.10.

是函數(shù)圖象的?個(gè)對(duì)稱軸 D.的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱若函數(shù) 恰有三個(gè)零點(diǎn)，則a 值可能為（ ）1 B.6 C.1 2－

丙丁四?玩報(bào)數(shù)游戲：第?輪，甲報(bào)數(shù)字1

2?報(bào)數(shù)字

3 丙報(bào)數(shù)字4 5

6 丁報(bào)數(shù)字7甲? ， ，， ，，， ，8910

，甲報(bào)數(shù)字12

131415

依次循環(huán)，直到報(bào)出數(shù)字10000，，，，，，， ，）A. 10甲在第

輪報(bào)了

33個(gè)數(shù)字2023數(shù)字

是丁報(bào)的C. 37甲共報(bào)了 輪D.

1540甲在前四輪所報(bào)數(shù)字之和為

“ 上取整函數(shù). ，12.定義

（其中 表示不?于的最?整數(shù)）為向 ”例. 下描述正確的是（ ）以A.若，則若，則若是 上的奇函數(shù)若，則三填空題13.

，，，且 .．在等?數(shù)列 中．14.已知

，且 ，則 15.已知函數(shù) 在區(qū)間

上單調(diào)遞增，則的取值范圍 .為16.若曲線為正實(shí)數(shù)，則 的取值范圍是為 .四 解答題.17.1

在 中，? 的對(duì)邊分別為 ，滿? ．；（）求?2 ，，求 的?積．（）若18.1

. .設(shè)數(shù)列 的前項(xiàng)和為 已知；（）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式2 ，求數(shù)列 的前項(xiàng)和.（19.

）數(shù)列 滿?如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是?個(gè)邊?為2的菱形， ，側(cè)棱⊥平?

．，．1 與平?的夾?的余弦值．（）求平?2 E 上是否存在?點(diǎn)平?PDB值；（是 的中點(diǎn) ？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20.200

甲、?兩位同學(xué)進(jìn)?跳繩?賽，?賽規(guī)則如下：進(jìn)?兩輪跳繩?賽，每?每輪?賽在規(guī)定時(shí)間內(nèi)跳繩次及以上得1200次得0分，兩輪結(jié)束總得分?的為跳繩王，得分相同則進(jìn)?加賽直?有. ，已知甲在規(guī)定時(shí)間內(nèi)跳繩200次及以上的概率為 ，?在規(guī)定時(shí)間內(nèi)跳??勝出為?根據(jù)以往成績(jī)分析200繩

次及以上的概率為 ，且每輪?賽中甲、?兩?跳繩的成績(jī)互不影 .響1 兩輪?賽結(jié)束?得分為1分的概率；響（）求（）求 .2 不進(jìn)?加賽甲就獲得跳繩王的概率21.已知 為橢圓

上?點(diǎn)，點(diǎn) 與橢圓 兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三?形?積為．1 ；（）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)?程2不經(jīng)過(guò)點(diǎn) 的直線與橢圓 相交于與 的斜率之和為 必過(guò)（）定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)．22. .已知函數(shù)1 ；（）討論函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間（）當(dāng) 時(shí) .2 ， 恒成?，求實(shí)數(shù)的取值范圍莆?三中20232024學(xué)年上學(xué)期?三數(shù)學(xué)期中測(cè)試卷?單選題（每題5分）1.若集合，集合，則（A.1.若集合，集合，則（A.【答案】C【解析】分析】分別求出集合 ，再求 即可.【詳解】由 ，，故 ，故選：C2.若復(fù)數(shù)z，則z 虛部為（ ）A.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可根據(jù)虛部概念求解.【詳解】由可得 ，所以虛部為，故選：A3.已知 ，則下列選項(xiàng)中，使 成?的?個(gè)充分不必要條件是（ ）A. 且 且 且 D. 且【答案】B【解析】【分析】利?充分條件與必要條件的定義，結(jié)合特例法與不等式的性質(zhì)求解即可【詳解】因?yàn)?且 不能推出 ，所以 且 不是 的充分條件，A錯(cuò)；因?yàn)?且 不能推出 ，所以 且 不是 的充分條件，C錯(cuò)；因?yàn)?且 不能推出 ，所以 且 不是 的充分條件，D錯(cuò)；對(duì)于由 且 可得 ，充分性成?，若 不能推出 且 ，例如且 且 是 成?的?個(gè)充分不必要條件，B符合題意．4.若 的最?值為（ ）A.12 D.16【答案】D【解析】【分析】先利?對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)?運(yùn)算，再利?基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?滿?，所以 ，所以，所以 ，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即 時(shí)取等號(hào)，故 的最?值為16，故選：D.5.已知等差數(shù)列 的前，則數(shù)列 的公差為（ ）A.1 2 3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利?等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解即得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列 的公差為 ，則 ，即有，因此 ，所以數(shù)列的公差為2.故選：B6.純電動(dòng)汽?是以?載電源為動(dòng)?，?電機(jī)驅(qū)動(dòng)?輪?駛，符合道路交通、安全法規(guī)各項(xiàng)要求的?輛，它使?存儲(chǔ)在電池中的電來(lái)發(fā)動(dòng).因其對(duì)環(huán)境影響較?，逐漸成為當(dāng)今世界的乘??的發(fā)展?向.研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的???改變，1898年P(guān)eukert提出鉛酸電池的容量和放電電流之間關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)公式： 其中為與蓄電池結(jié)構(gòu)有關(guān)的常（稱為eukert常數(shù)在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流為時(shí)，放電時(shí)間為；當(dāng)放電電流為時(shí)，放電時(shí)間為，則該蓄電池的Peukert常數(shù)約為（， ）A.1.15 D.【答案】A【解析】【詳解】由題意知 ，所以，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，得，所以，故選：A.7.，，則 （ ）AD.【答案】D【解析】【分析】利??倍?余弦公式可求得，利?兩?和差余弦公式可依次求得和.【詳解】，，， ，，則 ，.， ，.故選：D.8.函數(shù) ，且存在 ，使得 ，若對(duì)任意 ，恒成?，則的最?值為（ ）A.1 2 D.3【答案】B【解析】，恒成?，則，由此可以求出 ，由此即可得解.，且存在 ，使得 ，∴ 有解，即為 有解，令 ，則函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，則 ．， 恒成?，∴ ，即，令，則，當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，取最?值3，∴的最?值為．? 多選題（每題滿分5分，?少兩個(gè)選項(xiàng)，少選2分，錯(cuò)選得0分）9.若將函數(shù) 的圖象向左平移 個(gè)單位?度，得到函數(shù) 的圖象，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 最?正周期為 在區(qū)間 上單調(diào)遞減是函數(shù) 圖象的?個(gè)對(duì)稱軸 D. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】ACD【解析】【分析】由題可得，再利?余弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位?度，得到函數(shù)的圖象.對(duì)于A， ，故A正確；對(duì)于，得 ，從?即 時(shí)， 單調(diào)遞減，故B不正確；對(duì)于，所以是函數(shù) 圖象的?個(gè)對(duì)稱軸，故C正確；對(duì)于D，，所以 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故D正確．故選：ACD.10.若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則a的值可能為（ ）A.－1 6 1 D.2【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，在上有兩個(gè)零點(diǎn)，在上有?個(gè)零點(diǎn) ，則有 ，【詳解】函數(shù) 恰有三個(gè)零點(diǎn)，時(shí)，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)0和6，則 時(shí)，有?個(gè)零點(diǎn) ，所以 ，即 ，選項(xiàng)都符合.11.甲?丙丁四?玩報(bào)數(shù)游戲第?輪甲報(bào)數(shù)字1?報(bào)數(shù)字23丙報(bào)數(shù)字456丁報(bào)數(shù)字7，8，9，10；第?輪，甲報(bào)數(shù)字11，12，13，14，15，依次循環(huán)，直到報(bào)出數(shù)字10000，游戲結(jié)束，則（ ）A.甲在第10輪報(bào)了33個(gè)數(shù)字?jǐn)?shù)字2023是丁報(bào)的甲共報(bào)了37輪D.甲在前四輪所報(bào)數(shù)字之和為1540【解析】【分析】利?等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】甲?丙丁第輪的報(bào)數(shù)個(gè)數(shù)分別為 ，前輪共報(bào)數(shù)個(gè)數(shù)為，對(duì)選項(xiàng)A：甲在第10輪報(bào)了 個(gè)數(shù)字，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；故 在第 輪報(bào)數(shù)中， ，故數(shù)字2023是丁報(bào)的，正確；對(duì)選項(xiàng)時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；故甲報(bào)了 輪，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：甲在前四輪所報(bào)數(shù)字之和為：，正確；故選：BD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：從數(shù)列到數(shù)陣，盡管數(shù)的排列形式發(fā)?了變化，但問(wèn)題的實(shí)質(zhì)仍然是數(shù)列問(wèn)題，只要我們抓住每??項(xiàng)，找準(zhǔn)每?變化規(guī)律，從數(shù)陣中構(gòu)造新數(shù)列，那么解決問(wèn)題的思想和?法仍然不變，可12.定（其中表示不?于的最?整數(shù)）為向上取整函數(shù).例，.以下描述正確的是（ ）A.若，則，則是 上的奇函數(shù)D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合對(duì)向上取整函數(shù)定義的理解，可得AD；B項(xiàng)整體換元求解?程；C項(xiàng)取特值即可.【詳解】由 表示不?于的最?整數(shù)，則有，A項(xiàng)，，則 ，即 ，，故A正確；B項(xiàng)，令，則，解得 ，?為整數(shù)，則 ，或 ，當(dāng) 時(shí)，即 ，則 ；當(dāng) 時(shí)，即 ，則 ，故 ，故B正確；C，則 ， ，則不是 上的奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，，即 ，則 ，?，由不等式的性質(zhì)， ，則，故D正確.故選：ABD.三填空題13.在等?數(shù)列 ，則 .【答案】64【解析】【分析】根據(jù)等?數(shù)列性質(zhì)結(jié)合題設(shè)求得 ，繼?求出 ，再利?，即可求得答案.【詳解】等?數(shù)列中，，故，結(jié)合 ，以及 可得 ，設(shè)等?數(shù)列公?為q，則，故，故答案為：6414已知 ，且 ，則 ．【答案】【解析】【分析】根據(jù)同?三?函數(shù)基本關(guān)系和和差公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所以所?，即故答案為：15.已知函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，則的取值范圍 .為.【答案】【解析】【分析】利?導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，恒成?，即在恒成?，?，所以 .故答案為：.16.若曲線 的?條切線為 ，其中 的取值范圍是 .【答案】【解析】【分析】先根據(jù)已知求出 ，再利?基本不等式求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由所以 ，且過(guò)切點(diǎn)的直線為 ，所以有： ，因?yàn)?，所以 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，故答案為： .四 解答題.17.在 中，? 的對(duì)邊分別為 ，滿? ．（1）求? ；（2）若 ， ，求 的?積．【答案（1）（2）【解析】【分析（1）根據(jù)題意，利?正弦定理化簡(jiǎn)得 ，求得，即可求解；（2）根據(jù)題意，由余弦定理求得 ，結(jié)合三?形的?積公式，即可求解.【?問(wèn)1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ?，可?，即 ，因?yàn)?，可得 ，所以，?因?yàn)?，所以.【?問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，且由余弦定理知 ，即，解得 ，所以 的?積為．18.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為.已知 .（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿?，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案（1）（2）【解析】【分析（1根作差得則數(shù)列 是以1為?項(xiàng)，為公?的等?數(shù)列，從?得到其通項(xiàng)公式.（2）由（1）可得，利?錯(cuò)位相減法計(jì)算可得；由，所以當(dāng)時(shí)得，由，所以當(dāng)時(shí)得，兩式相減得，所以，?所以時(shí)，，，? ，所以 ，所以數(shù)列 是以1為?項(xiàng)， 為公?的等?數(shù)列，所以 ；【?問(wèn)2詳解】由（1）可得，則 ，，兩式相減得，所以 .19.如圖，在四棱柱 中，四邊形是?個(gè)邊?為2的菱形， ，側(cè)棱⊥平?．（1）求平? 與平? 的夾?的余弦值．E是 上是否存在?點(diǎn)平?值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案（1）（2）存在，【解析】）設(shè)M是AB的中點(diǎn)，以 ，，的?向分別為x，y，z軸的正?向建?空間直?坐標(biāo)系，利?法向量求解即可；0列?程可解.【?問(wèn)1詳解】由題意， 是正三?形，設(shè)M是AB的中點(diǎn)，連接DM，則 ，所以 ，．由平?平?得，即 ，DM，DC兩兩垂直．如圖，以 ，，的?向分別為x，y，z軸的正?向建?空間直?坐標(biāo)系．則，．則， ，顯然，平?的?個(gè)法向量是．設(shè)平?的法向量為，則令 ，得平? 的?個(gè)法向量 ．設(shè)平? 與平? 的夾?為，則．所以，平? 與平? ．【?問(wèn)2詳解】設(shè)，當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，顯然 與平?相交，不滿?題意；當(dāng) 時(shí)，因?yàn)?，，設(shè)平?的法向量為 ，則令 ，得．因?yàn)?，，所以．因?yàn)?平?，即，解得，所以線段上存在點(diǎn)平?20.甲、?兩位同學(xué)進(jìn)?跳繩?賽，?賽規(guī)則如下：進(jìn)?兩輪跳繩?賽，每?每輪?賽在規(guī)定時(shí)間內(nèi)跳繩200次及以上得1200次得0分，兩輪結(jié)束總得分?的為跳繩王，得分相同則進(jìn)?加賽直?有??勝出為?.根據(jù)以往成績(jī)分析，已知甲在規(guī)定時(shí)間內(nèi)跳繩200次及以上的概率為跳繩200次及以上的概率為，且每輪?賽中甲、?兩?跳繩的成績(jī)互不影響.（1）求兩輪?賽結(jié)束?得分為1分的概率；（2）求不進(jìn)?加賽甲就獲得跳繩王的概率.【答案（1）（2）【解析】【分析（1）根據(jù)題意，由相互獨(dú)?事件的概率計(jì)算公式，代?計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由相互獨(dú)?事件的概率計(jì)算公式，代?計(jì)算，即可得到結(jié)果；【?問(wèn)1詳解】設(shè)甲第輪得?分，設(shè)?第i輪得?分，設(shè)兩輪?賽甲得分，兩輪?賽?得分，【?問(wèn)2詳解】設(shè) 不進(jìn)?加賽甲就獲得跳繩王.所以不進(jìn)?加賽甲就獲得跳繩王的概率為 .21.為橢圓 與橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三?形?積為．（1）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)?程；的直線與橢圓 相交于 與 的斜率之和為 必過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案（1）（2）證明?解析，定點(diǎn)為【解析】【分析（1）根據(jù)題意求出 即可得解；過(guò)點(diǎn) 的直線?程為：，聯(lián)??程，利??達(dá)定理求出，再根據(jù)直線 與 的斜率之和為 求出 的關(guān)系，即可得出結(jié)論.【?問(wèn)1詳解】由點(diǎn) 與橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三?形?積為 可知，解得：，，橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)?程：；【?問(wèn)2詳解】設(shè)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則，由，解得 ，此時(shí) ，故