空間幾何體的表面積和體積

第二節(jié)空間幾何體的外表積和體積1精選課件總綱目錄教材研讀1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式考點突破2.空間幾何體的外表積與體積公式考點二空間幾何體的體積考點一空間幾何體的外表積考點三與球有關(guān)的切、接問題

圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖

側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=①2πrl

S圓錐側(cè)=②

πrl

S圓臺側(cè)=③

π(r+r')l

1.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式教材研讀2.空間幾何體的外表積與體積公式名稱幾何體

表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底V=④

Sh

錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底V=⑤

Sh

臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側(cè)+S上+S下V=

(S上+S下+

)h球S=⑥4πR2

V=⑦

πR3

幾個與球切、接有關(guān)的結(jié)論(1)正方體的棱長為a,球的半徑為R,①若球為正方體的外接球,則2R=

a;②若球為正方體的內(nèi)切球,則2R=a;③若球與正方體的各棱相切,則2R=

a.(2)長方體的共頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=

.(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.1.將一個相鄰邊長分別為4π,8π的矩形卷成一個圓柱,那么這個圓柱的外表

積是?()A.40π2

B.64π2C.32π2或64π2

D.32π2+8π或32π2+32πD答案

D當?shù)酌嬷荛L為4π時,底面圓的半徑為2,兩個底面的面積之和

是8π;當?shù)酌嬷荛L為8π時,底面圓的半徑為4,兩個底面的面積之和為32π.

無論哪種方式,側(cè)面積都是矩形的面積32π2.故所求的外表積是32π2+8π

或32π2+32π.2.一個球的外表積是16π,那么這個球的體積為?()A.?πB.?π

C.16πD.24πB答案

B設(shè)球的半徑為R,則由4πR2=16π,解得R=2,所以這個球的體積為

πR3=

.3.圓錐的外表積等于12πcm2,其側(cè)面展開圖是一個半圓,那么底面圓

的半徑為?()A.1cmB.2cmC.3cmD.?cmB答案

B設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為l,由題意可知l=2r,∴S=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12πcm2,∴r=2(cm).4.某幾何體的三視圖如下圖,那么該幾何體的體積為?()

A.6

B.3?

C.2?

D.3答案

B由三視圖可知,該幾何體是一個直三棱柱,其底面為側(cè)視圖,

該側(cè)視圖是底邊為2,高為

的三角形,正視圖的長為三棱柱的高,故h=3,所以幾何體的體積V=S·h=

×3=3

.B5.一個六棱錐的體積為2?,其底面是邊長為2的正六邊形,側(cè)棱長都相等,那么該六棱錐的側(cè)面積為

.12答案12解析設(shè)六棱錐的高為h,斜高為h0.因為該六棱錐的底面是邊長為2的正六邊形,所以底面面積為

×2×2×sin60°×6=6

,則

×6

h=2

,得h=1,所以h0=

=2,所以該六棱錐的側(cè)面積為

×2×2×6=12.6.一個四棱錐的底面是平行四邊形,該四棱錐的三視圖如下圖

(單位:m),那么該四棱錐的體積為

m3.

2答案2解析四棱錐的底面是平行四邊形,由三視圖可知其面積為2×1=2m2,

四棱錐的高為3m,所以四棱錐的體積V=

×2×3=2m3.典例1(1)一個多面體的三視圖如下圖,那么該多面體的外表積為?(

)

A.21+?

B.18+?

C.21

D.18考點一空間幾何體的外表積考點突破12精選課件(2)(2021安徽合肥質(zhì)檢)一個幾何體的三視圖如下圖,那么該幾何體的表面積為

.

13精選課件答案(1)A(2)26解析(1)根據(jù)題意作出直觀圖如圖,該多面體是由正方體切去兩個角

而得到的,根據(jù)三視圖可知其表面積為6

+2×

×(

)2=6×

+

=21+

.故選A.

14精選課件(2)該幾何體為一個長方體從正上方挖去一個半圓柱剩下的局部,長方

體的長,寬,高分別為4,1,2,挖去半圓柱的底面半徑為1,高為1,所以外表積

為S=S長方體-2S半圓柱底-S圓柱軸截面+S半圓柱側(cè)=2×4×1+2×1×2+2×4×2-π×12-2×1+?×2π×1=26.15精選課件方法技巧空間幾何體外表積的求法(1)外表積是各個面的面積之和,求多面體的外表積,只需將它們沿著棱

剪開展成平面圖形,利用求平面圖形面積的方法求多面體的外表積.求

旋轉(zhuǎn)體的外表積,可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手,將其展

開后求外表積,但要弄清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中

的邊長關(guān)系.(2)求不規(guī)那么幾何體的外表積時,通常將所給幾何體分割成根本的柱、

錐、臺體,先求出這些根本的柱、錐、臺體的外表積,再通過求和或作

差,求出不規(guī)那么幾何體的外表積.16精選課件1-1

某幾何體的三視圖如下圖,那么該幾何體的外表積等于()

A.8+2?

B.11+2?C.14+2?

D.15B17精選課件答案

B由三視圖知,該幾何體是一個直四棱柱,上、下底面為直角梯

形,如下圖.

直角梯形斜腰長為?=?,所以底面周長為4+?,側(cè)面積為2×(4+?)=8+2?,兩底面的面積和為2×?×1×(1+2)=3,所以該幾何體的外表積為8+2?+3=11+2?.18精選課件1-2

(2021山西太原模擬)某幾何體的三視圖如下圖,那么該幾何體的表

面積為?()

A.6π+1

B.?+1C.?+?

D.?+1D19精選課件答案

D由幾何體的三視圖知,該幾何體為一個組合體,其中下部是底

面直徑為2,高為2的圓柱,上部是底面直徑為2,高為1的圓錐的四分之一,

所以該幾何體的表面積為4π+π+

+

+1=

+1,故選D.20精選課件考點二空間幾何體的體積命題方向命題視角公式法求體積已知空間幾何體,直接套用公式求解割補法求體積所給幾何體為不規(guī)則幾何體,通過割補法將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體求解等體積法求體積常用的策略是轉(zhuǎn)換幾何體的底面和高,多用于棱錐21精選課件典例2(1)某幾何體的三視圖如下圖(單位:cm),那么該幾何體的體積

(單位:cm3)是?()

A.?+1

B.?+3

C.?+1

D.?+3命題方向一公式法求體積22精選課件

(2)某四棱柱的三視圖如下圖,那么該四棱柱的體積為

.23精選課件解析(1)由三視圖可知該幾何體是由底面半徑為1cm,高為3cm的半

個圓錐和三棱錐S-ABC組成的,如圖,三棱錐的高為3cm,底面△ABC中,

AB=2cm,OC=1cm,AB⊥OC.故其體積V=?×?×π×12×3+?×?×2×1×3=?cm3.應(yīng)選A.

答案(1)A(2)

24精選課件

故該四棱柱的體積V=Sh=

×(1+2)×1×1=

.(2)由題中三視圖可畫出長為2、寬為1、高為1的長方體,將該幾何體還

原到長方體中,如圖所示,該幾何體為四棱柱ABCD-A'B'C'D'.25精選課件典例3(1)(2021課標全國Ⅱ,6,5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,

粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一

局部后所得,那么該幾何體的體積為?()

A.90πB.63πC.42πD.36π命題方向二割補法求體積26精選課件(2)如下圖,在多面體ABCDEF中,ABCD是邊長為1的正方形,且△

ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,那么該多面體的體積為?()

A.?

B.?

C.?

D.?27精選課件答案(1)B(2)A解析(1)由三視圖可知兩個同樣的幾何體可以拼成一個底面直徑為6,

高為14的圓柱,所以該幾何體的體積V=

×32×π×14=63π.故選B.(2)解法一:如圖所示,分別過A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個直三棱柱,

易知三棱錐的高為

,直三棱柱的高為1,AG=

=

,28精選課件取AD的中點M,連接MG,則MG=

,∴S△AGD=

×1×

=

,∴V=

×1+2×

×

×

=

.解法二:如圖所示,取EF的中點P,連接PA、PB、PC、PD,則原幾何體分

割為兩個三棱錐和一個四棱錐,易知三棱錐P-AED和三棱錐P-BCF都是

棱長為1的正四面體,四棱錐P-ABCD是棱長為1的正四棱錐.

∴V=

×12×

+2×

×

×

=

.29精選課件典例4如下圖,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1,且AA1⊥底

面ABC,那么三棱錐B1-ABC1的體積為?()

A.?

B.?

C.?

D.?命題方向三等體積法求體積A30精選課件答案

A解析三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積,三棱錐A-B1BC1

的高為

,底面積為

,故其體積為

×

×

=

.31精選課件方法技巧求空間幾何體的體積的常用方法(1)公式法:對于規(guī)那么幾何體的體積問題,可以直接利用公式進行求解.(2)割補法:把不規(guī)那么的圖形分割成規(guī)那么的圖形,然后進行體積計算;或者

把不規(guī)那么的幾何體補成規(guī)那么的幾何體,不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何

體,便于計算其體積.(3)等體積法:一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化,其體積總是不變的.如果一個幾

何體的底面面積和高較難求解時,我們可以采用等體積法進行求解.等

體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形,它是通過選擇適宜的底面來求幾何體

體積的一種方法,多用來解決有關(guān)錐體的體積,特別是三棱錐的體積.32精選課件2-1

(2021山東,13,5分)由一個長方體和兩個?圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如以下圖,那么該幾何體的體積為

.

33精選課件解析由幾何體的三視圖可畫出該幾何體的直觀圖如下:

∴該幾何體的體積V=2×1×1+

×π×1=2+

.答案2+

34精選課件2-2如圖,△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥

BD,BD=3,FC=4,AE=5,那么此幾何體的體積為

.?59635精選課件解析解法一:如圖,取CM=AN=BD,連接DM,MN,DN,用“分割法〞把原

幾何體分割成一個直三棱柱和一個四棱錐.

所以V幾何體=V三棱柱+V四棱錐.由題知三棱柱ABC-NDM的體積為V1=?×8×6×3=72.四棱錐D-MNEF的體積為V2=?S梯形MNEF·DN=?×?×(1+2)×6×8=24,答案9636精選課件那么幾何體的體積為V=V1+V2=72+24=96.解法二:用“補形法〞把原幾何體補成一個直三棱柱,使AA'=BB'=CC'=

8,所以V幾何體=?V三棱柱=?×S△ABC·AA'=?×24×8=96.

37精選課件考點三與球有關(guān)的切、接問題命題方向命題視角柱體的外接、內(nèi)切球問題主要包括正方體、長方體、直棱柱的外接球與內(nèi)切球錐體的外接、內(nèi)切球問題主要包括三棱錐的外接、內(nèi)切球以及正四棱錐的外接球38精選課件典例5(1)直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,假設(shè)AB

=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,那么球O的半徑為?()A.?

B.2?

C.?

D.3?(2)(2021課標全國Ⅱ,15,5分)長方體的長,寬,高分別為3,2,1,其頂點都在

球O的球面上,那么球O的外表積為

.(3)如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均

相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,那么?的值是

.

命題方向一柱體的外接、內(nèi)切球問題39精選課件答案(1)C(2)14π(3)

解析(1)如圖所示,由球心作平面ABC的垂線,垂足為BC的中點M.連接

OA,AM,

又AM=

BC=

,OM=

AA1=6,所以球O的半徑R=OA=

=

.(2)由題意知長方體的體對角線為球O的直徑,設(shè)球O的半徑為R,則(2R)240精選課件=32+22+12=14,得R2=?,所以球O的外表積為4πR2=14π.(3)設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R,那么由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R,高為2R,∴?=?=?.41精選課件典例6(1)正四棱錐的頂點都在同一球面上,假設(shè)該棱錐的高為4,底面邊

長為2,那么該球的外表積為?()A.?

B.16πC.9πD.?(2)假設(shè)一個正四面體的外表積為S1,其內(nèi)切球的外表積為S2,那么?=

.(3)(2021課標全國Ⅰ,16,5分)三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的

球面上,SC是球O的直徑.假設(shè)平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S

-ABC的體積為9,那么球O的外表積為

.命題方向二錐體的外接、內(nèi)切球問題42精選課件答案(1)A(2)

(3)36π解析(1)如圖所示,設(shè)球的半徑為R,正四棱錐的底面中心為O',球心

為O,由題意得AO'=

.

∵PO'=4,∴OO'=4-R,在Rt△AOO'中,∵AO2=AO'2+OO'2,∴R2=(

)2+(4-R)2,43精選課件解得R=?,∴該球的外表積為4πR2=4π×?=?.(2)設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為r,正四面體的棱長為a,那么正四面體的表

面積S1=4×?·a2=?a2,其內(nèi)切球的半徑為正四面體高的?,即r=?×?a=?a,因此內(nèi)切球的外表積S2=4πr2=?,那么?=?=?.(3)由題意作出圖形,如圖.44精選課件設(shè)球O的半徑為R,由題意知SB⊥BC,SA⊥AC,又SB=BC,SA=AC,則SB=BC

=SA=AC=

R.連接OA,OB,則OA⊥SC,OB⊥SC,因為平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,

所以O(shè)A⊥平面SCB,所以O(shè)A⊥OB,則AB=

R,所以△ABC是邊長為

R的等邊三角形,設(shè)△ABC的中心為O1,連接OO1,CO1.則OO1⊥平面ABC,CO1=

×

×

R=

R,則OO1=

=

R,則VS-ABC=2VO-ABC=2×

×

(

R)2×

R=

R3=9,所以R=3.所以球O的表面積S=4πR2=36π.45精選課件規(guī)律總結(jié)解決球與其他幾何體的切、接問題(1)關(guān)鍵在于仔細觀察、分析,弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.(2)選準最正確角度作出截面(要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體