高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 課時分層作業(yè) 三十七 6.4 合情推理與演繹推理 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

課時分層作業(yè)三十七合情推理與演繹推理一、選擇題(每小題5分,共25分)1.下列結(jié)論正確的個數(shù)為 ()(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確,類比推理得到的結(jié)論一定正確.(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì),這是一種合情推理.(3)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù),某數(shù)m是3的倍數(shù),則m一定是9的倍數(shù)”,這是三段論推理,但其結(jié)論是錯誤的.(4)在平面內(nèi),若兩個正三角形的邊長比為1∶2,則它們的面積比為1∶4.類似地,在空間中,若兩個正四面體的棱長比為1∶2,則它們的體積比為1∶8.A.0B.1C.2D.3【解析】選D.(1)不正確,(2)(3)(4)正確.2.(2018·武漢模擬)演繹推理“因為對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)是增函數(shù),而函數(shù)y=lox是對數(shù)函數(shù),所以y=lox是增函數(shù)”所得結(jié)論錯誤的原因是()A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.大前提和小前提都錯誤【解析】選A.因為當(dāng)a>1時,y=logax在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)0<a<1時,y=logax在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,所以大前提錯誤.【變式備選】(2018·南陽模擬)某單位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班,每人4天.甲說:我在1日和3日都有值班;乙說:我在8日和9日都有值班;丙說:我們?nèi)烁髯灾蛋嗟娜掌谥拖嗟?據(jù)此可判斷丙必定值班的日期是 ()A.2日和5日 B.5日和6日C.6日和11日 D.2日和11日【解析】選C.1～12日期之和為78,三人各自值班的日期之和相等,故每人值班四天的日期之和是26,甲在1日和3日都有值班,故甲余下的兩天只能是10日和12日;而乙在8日和9日都有值班,8+9=17,所以11日只能是丙去值班了.余下還有2日、4日、5日、6日、7日五天,顯然,6日只能是丙去值班了.3.已知從1開始的連續(xù)奇數(shù)蛇形排列形成寶塔形數(shù)表,第一行為1,第二行為3,5,第三行為7,9,11,第四行為13,15,17,19,如圖所示,在寶塔形數(shù)表中位于第i行,第j列的數(shù)記為ai,j,比如a3,2=9,a4,2=15,a5,4=23,若ai,j=2017,則i+j= ()1351197131517192927252321……A.64 B.65 C.71 【解析】選D.奇數(shù)數(shù)列an=2n-1=2017?n=1009,按照蛇形排列,第1行到第i行末共有1+2+…+i=個奇數(shù),則第1行到第44行末共有990個奇數(shù);第1行到第45行末共有1035個奇數(shù);則2017位于第45行;而第45行是從右到左依次遞增,且共有45個奇數(shù);故2017位于第45行,從右到左第19列,則i=45,j=27?i+j=72.4.在平面幾何中,有如下結(jié)論:正△ABC的內(nèi)切圓面積為S1,外接圓面積為S2,則=,推廣到空間可以得到類似結(jié)論:已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則等于 ()A. B. C. D.【解析】選D.正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3,所以體積之比為=.5.(2018·合肥模擬)為提高信息在傳輸中的抗干擾能力,通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息.設(shè)定原信息為a0a1a2,ai∈{0,1}(i=0,1,2),信息為h0a0a1a2h1,其中h0=a0⊕a1,h1=h0⊕a2,⊕運算規(guī)則為:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.A.11010 B.01100 C.10111 D.00【解析】選C.對于選項C,傳輸信息是10111,對應(yīng)的原信息是011,由題目中運算規(guī)則知h0=0⊕1=1,而h1=h0⊕a2=1⊕1=0,故傳輸信息應(yīng)是10110.【變式備選】(2018·福州模擬)我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法,其理論依據(jù)是:設(shè)實數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為和(a,b,c,d∈N*),則是x的更為精確的不足近似值或過剩近似值.我們知道π=3.14159…,若令<π<,則第一次用“調(diào)日法”后得是π的更為精確的過剩近似值,即<π<,若每次都取最簡分?jǐn)?shù),那么第四次用“調(diào)日法”后可得π的近似分?jǐn)?shù)為 ()A. B. C. D.【解析】選A.由題意:第一次用“調(diào)日法”后得是π的更為精確的過剩近似值,即<π<,第二次用“調(diào)日法”后得是π的更為精確的不足近似值,即<π<,第三次用“調(diào)日法”后得是π的更為精確的過剩近似值,即<π<,第四次用“調(diào)日法”后得=是π的更為精確的過剩近似值,即<π<.二、填空題(每小題5分,共15分)6.觀察如圖,可推斷出“x”處應(yīng)該填的數(shù)字是________.

【解析】由前兩個圖形發(fā)現(xiàn):中間數(shù)等于四周四個數(shù)的平方和,所以“x”處應(yīng)填的數(shù)字是32+52+72+102=183.答案:1837.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*),其中λ>0,{an}的通項公式是________.

【解析】a1=2,a2=2λ+λ2+(2-λ)·2=λ2+22,a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)·22=2λ3+23,a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)·23=3λ4+24.由此猜想出數(shù)列{an}的通項公式為an=(n-1)λn+2n.答案:an=(n-1)λn+2n8.(2018·沈陽模擬)某種平面分形圖如圖所示,一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段,長度相等,兩兩夾角為120°;二級分形圖是在一級分形圖的每條線段末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段,且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°,…,依此規(guī)律得到n級分形圖.則n級分形圖中共有________條線段.

【解析】由題圖知,一級分形圖有3=3×2-3條線段,二級分形圖有9=3×22-3條線段,三級分形圖中有21=3×23-3條線段,按此規(guī)律n級分形圖中的線段條數(shù)為3×2n-3(n∈N*).答案:3×2n-3(n∈N*)三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2018·廣州模擬)已知點Pn(an,bn)滿足an+1=an·bn+1,bn+1=(n∈N*)且點P1的坐標(biāo)為(1,-1). (1)求過點P1,P2的直線l的方程.(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明:對于n∈N*,點Pn都在(1)中的直線l上.【解析】(1)由P1的坐標(biāo)為(1,-1)知a1=1,b1=-1.所以b2==,a2=a1·b2=.所以點P2的坐標(biāo)為.所以直線l的方程為2x+y=1.(2)①當(dāng)n=1時,2a1+b1=2×1+(-1)=1成立.②假設(shè)n=k(k∈N*,k≥1)時,2ak+bk=1成立,則2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1=(2ak+1)===1,所以當(dāng)n=k+1時,命題也成立.由①②知,對n∈N*,都有2an+bn=1,即點Pn都在直線l上.在銳角三角形ABC中,求證:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.【證明】因為△ABC為銳角三角形,所以A+B>,即A>-B,又因為y=sinx在上是增函數(shù),所以sinA>sin=cosB,同理可得sinB>cosC,sinC>cosA,故sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.10.在Rt△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC于點D,求證:=+,那么在四面體A-BCD中,類比上述結(jié)論,你能得到怎樣的猜想,并說明理由. 【解析】如圖所示,由射影定理得AD2=BD·DC,AB2=BD·BC,AC2=BC·DC,所以===.又BC2=AB2+AC2,所以==+.猜想,四面體A-BCD中,AB,AC,AD兩兩垂直,AE⊥平面BCD,則=++.證明:如圖,連接BE并延長交CD于F,連接AF.因為AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,AC?平面ACD,AD?平面ACD,所以AB⊥平面ACD.因為AF?平面ACD,所以AB⊥AF.在Rt△ABF中,AE⊥BF,所以=+.在Rt△ACD中,AF⊥CD,所以=+,所以=++.1.(5分)若大前提是:任何實數(shù)的平方都大于0,小前提是:a∈R,結(jié)論是:a2>0,那么這個演繹推理出錯在 ()A.大前提 B.小前提C.推理過程 D.沒有出錯【解析】選A.要分析一個演繹推理是否正確,主要觀察所給的大前提、小前提和推理形式是否都正確,只有這幾個方面都正確,才能得到這個演繹推理正確.本題中大前提:任何實數(shù)的平方都大于0,是不正確的.2.(5分)如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個圖形,照此規(guī)律閃爍,下一個呈現(xiàn)出來的圖形是 ()【解析】選A.依照該五角星連續(xù)呈現(xiàn)陰影的兩個角按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的規(guī)律性知,下一個呈現(xiàn)出來的圖形是A.【變式備選】如圖所示是由長為1的小木棒拼成的圖形,其中第n個圖形由n個正方形組成:觀察圖形,根據(jù)第1個、第2個、第3個、第4個圖形中小木棒的根數(shù),得出第n個圖形中,小木棒的根數(shù)為______.

【解析】觀察題干中圖形可得,第1個、第2個、第3個、第4個圖形中小木棒的根數(shù)分別為4,7,10,13,而4=3×1+1,7=3×2+1,10=3×3+1,13=3×4+1,由歸納推理得,第n個圖形中,小木棒的根數(shù)為3n+1.答案:3n+13.(5分)(2018·合肥模擬)已知點A(x1,),B(x2,)是函數(shù)y=ax(a>1)的圖象上任意不同兩點,依據(jù)圖象可知,線段AB總是位于A,B兩點之間函數(shù)圖象的上方,因此有結(jié)論>成立.運用類比思想方法可知,若點A(x1,sinx1),B(x2,sinx2)是函數(shù)y=sinx(x∈(0,π))的圖象上的不同兩點,則類似地有________成立. 【解析】運用類比思想與數(shù)形結(jié)合思想,可知y=sinx(x∈(0,π))的圖象是上凸的,因此線段AB的中點的縱坐標(biāo)總是小于函數(shù)y=sinx(x∈(0,π))圖象上的點(,sin)的縱坐標(biāo),即<sin成立.答案:<sin4.(12分)設(shè)f(x)=,先分別求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后歸納猜想一般性結(jié)論,并給出證明.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號37680576【解析】f(0)+f(1)=+=+=+=,同理可得f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=.由此猜想f(x)+f(1-x)=.證明:f(x)+f(1-x)=+=+=+==.5.(13分)某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù):①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù).(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.【解析】(1)選擇②式(也可選擇其他式子),計算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-sin30°=1-=.(2)三角恒等式為sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=.證明如下:sin2α+cos2(30°-α)-sinα·cos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα·(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+c