專題10 軸對(duì)稱中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)（原卷版）

專題10軸對(duì)稱中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)【題型目錄】題型一軸對(duì)稱中的翻折問題專訓(xùn)題型二軸對(duì)稱中的旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)【知識(shí)梳理】知識(shí)要點(diǎn)一：翻折（對(duì)折）的定義一條直線把一個(gè)平面圖形分成兩個(gè)全等的圖形,其中的一個(gè)圖形沿著這條直線翻折到另一個(gè)圖形上面,則兩部分完全重合,這個(gè)過程就叫做對(duì)折.知識(shí)要點(diǎn)二：翻折（對(duì)折）的特點(diǎn)翻折問題實(shí)際上就是對(duì)稱變換；翻折是一種對(duì)稱變換，屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸（折?所在直線）是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，翻折前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等；教學(xué)初，為使學(xué)生直觀感悟，可以進(jìn)行一些實(shí)際操作，以便于學(xué)生形成直觀感受，利于問題的解決。知識(shí)要點(diǎn)三：翻折（對(duì)折）的基本圖形及圖形特點(diǎn)翻折圖形的基本背景圖形有：三角形、四邊形、梯形等，解決這些問題的基本方法是精確找出翻折前后相等邊與角，以及結(jié)合圖形的性質(zhì)把邊角的關(guān)系聯(lián)系起來，同時(shí)結(jié)合方程思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題。翻折特點(diǎn)：有翻折----就有重合----就有全等-----對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等，運(yùn)用勾股定理、等面積法結(jié)合圖形特點(diǎn)進(jìn)行解題?！窘?jīng)典例題一軸對(duì)稱中的翻折問題專訓(xùn)】【例1】（2023春·陜西榆林·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿折疊后與點(diǎn)O重合，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)，分別為長方形紙片的邊，上的點(diǎn)，將長方形紙片沿翻折，點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，處．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023·江西贛州·統(tǒng)考三模）如圖，為等邊的邊的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折，得到，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A．40° B．60° C．70° D．80°3．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線從射線開始繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點(diǎn)D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點(diǎn)E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．

4．（2023春·浙江寧波·七年級(jí)校考期末）如圖，三角形紙片，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連結(jié)，把沿著翻折，得到，與交于點(diǎn)F．若點(diǎn)F是的中點(diǎn)，，的面積為12，則點(diǎn)B、E之間的距離為．

5．（2023春·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明想玩一個(gè)折紙游戲，分以下三步進(jìn)行∶第一步，將長方形紙條向上翻折，記點(diǎn)C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，折痕為，且交于點(diǎn)G（如圖1；第二步，將四邊形沿向下翻折，記的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為（如圖2）；第三步，將長方形向下翻折，記A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，折痕為（如圖3）．（1）若，則度．（2）若，則當(dāng)時(shí)，度．6．（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，將沿翻折后得到，邊交射線于點(diǎn)F．（友情提示：翻折前后的兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等）

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求證：；(2)如圖2，若，，是否存在這樣的x的值，使得是以為腰的等腰三角形．若存在，求x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【經(jīng)典例題二軸對(duì)稱中的旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)】【例2】（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，直角的頂點(diǎn)是的中點(diǎn)，將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，兩邊，分別交，于點(diǎn)，．下列四個(gè)結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④．在旋轉(zhuǎn)過程中，上述四個(gè)結(jié)論始終正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心把按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)恰好落在上，連接，則度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·陜西咸陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點(diǎn)D為中點(diǎn)，，繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，，分別與邊、交于E、F兩點(diǎn)．下列結(jié)論：①，②，③S四邊形CEDF，④始終為等腰直角三角形．其中正確的結(jié)論有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)3．（2021秋·上海徐匯·八年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，點(diǎn)在內(nèi)，將以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，點(diǎn)M落在點(diǎn)N處，若,且B、M、N三點(diǎn)恰共線，則=．4．（2020秋·重慶璧山·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝4，，直線AD⊥BC，E是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EC，將線段EC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到FC，連接DF，則點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，DF的最小值是．5．（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．如圖①，等腰和等腰中，，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接，利用上面結(jié)論或所學(xué)解決下列問題：(1)若，求證：；(2)連接，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)．①如圖②，若，則的度數(shù)為；線段與之間的數(shù)量關(guān)系是；②如圖③，若，為中邊上的高，判斷的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關(guān)系說明理由．6．（2022秋·吉林長春·八年級(jí)校考期末）【提出問題】在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，李老師給出了一道題．如圖①，點(diǎn)是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，連接、、．當(dāng)，，時(shí)，求的度數(shù)．【解決問題】小明在解決此題時(shí)，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，連接、、，并結(jié)合已知條件證得．請(qǐng)利用小明的作法及結(jié)論求的度數(shù)．【方法應(yīng)用】如圖②，點(diǎn)是正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接、、．若，，，則______________°．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】軸對(duì)稱中的15道翻折問題專訓(xùn)1．（2023秋·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一張三角形紙片ABC，，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，將沿BE折疊，使點(diǎn)C落在邊AC上的點(diǎn)D處，若，則（

）A．18° B．54° C．60° D．72°2．（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)校考期中）如圖，在三角形紙片中，，將沿折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則折痕的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023秋·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一個(gè)等腰直角三角形按如圖方式折疊，若，，下列四個(gè)結(jié)論：①平分；②長為；③是等腰三角形；④的周長等于的長，其中，正確的是（

）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④4．（2023春·七年級(jí)單元測試）如圖，已知長方形紙片，點(diǎn)，在邊上，點(diǎn)，在邊上，分別沿，折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)都落在點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）將一張正方形紙片按如圖所示的方式折疊，、為折痕，點(diǎn)折疊后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，若，則的度數(shù)為（）A．48° B．46° C．44° D．42°6．（2023春·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將四邊形紙片沿折疊，點(diǎn)A、D分別落在點(diǎn)、處．若，，則與之間的數(shù)量關(guān)系可用等式表示為___________．

7．（2023春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，相交于點(diǎn)E，．將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，則的大小為________．

8．（2023春·江蘇·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D將折疊，使點(diǎn)C落在下方的點(diǎn)處，折痕與交于點(diǎn)E，當(dāng)與的一邊平行時(shí)，的度數(shù)為___________．

9．（2022春·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一張直角三角形紙片，其中．請(qǐng)按下列步驟操作：①沿的垂直平分線/折疊，折痕與交于點(diǎn)D：②沿過點(diǎn)C的直線l，折疊，使點(diǎn)A落到上的點(diǎn)E處，若，則的度數(shù)為__________．10．（2022春·江西撫州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，點(diǎn)P是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，把沿AP折疊，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)為______．11．（2023春·山西臨汾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究一張直角三角形紙片，，其中，D，E分別是邊上一點(diǎn)．將沿折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．(1)如圖1，若，則______°，______°．(2)如圖2，若點(diǎn)落在直角三角形紙片上，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，若點(diǎn)落在直角三角形紙片外，（2）中與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)求出與的數(shù)量關(guān)系．12．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）已知，如圖1，四邊形，，點(diǎn)E在邊上，P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作，交直線于點(diǎn)Q．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)當(dāng)時(shí)，求；(3)如圖3，將沿翻折使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)，答：．13．（2022秋·福建福州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在三角形中，．(1)將沿著翻折得到，求證：平分；(2)過作于點(diǎn)，在的延長線上取一點(diǎn)，使得，連接、，過點(diǎn)作，分別與，交于點(diǎn)，，點(diǎn)在邊上，連接并延長，交于點(diǎn)，過作于，，且．①求證：是等腰三角形；②若，探究與的數(shù)量關(guān)系．14．（2023春·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，AD是的角平分線，，試探究線段AB，BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系．由于角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸，所以可以嘗試將角平分線一側(cè)的三角形翻折（構(gòu)造全等三角形），小明的解題思路如下：①如圖2，在AC上取一點(diǎn)E，使，連接DE．②由，AD平分，AD是公共邊，可得（理由：____________），則，．③由，則．又因?yàn)?，所以，則__________又由，得．④根據(jù)上述的推理可知AB，BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系為__________________．(1)請(qǐng)你補(bǔ)全小明的解題思路．(2)參考小明的方法，解決下面的問題：如圖3，中，，，BD平分，求證：．15．（2021秋·江西鷹潭·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，過點(diǎn)作，且，連接．(1)如圖1，若，則的面積為；（請(qǐng)用含的式子表示的面積；提示：過點(diǎn)作邊上的高）(2)如圖2，若，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說明理由；(3)如圖3，將沿翻折，得到，，連接．試直接用含的式子表示的面積．（不寫探究過程）軸對(duì)稱中的15道旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)1．（2023·廣東深圳·?？既＃┕糯笮臀淦魍妒瘷C(jī)，是利用杠桿原理將載體以不同的拋物線投射出去的裝置．圖是圖投石機(jī)的側(cè)面示意圖．為炮架的炮梢兩頂點(diǎn)，已知A、B兩點(diǎn)到炮軸O的距離分別為1米和8米，當(dāng)炮索自然垂落垂直于地面時(shí)，落在地面上的繩索還有5米．如圖，拉動(dòng)炮索，炮梢繞炮軸O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．當(dāng)炮索的頂端在地面且與炮軸在同一直線上時(shí)，若垂直地面，，此時(shí)，到水平地面的距離是（

）米

A．12 B． C． D．212．（2022春·上海普陀·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，兩邊，分別交，于點(diǎn)，，當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)不與、重合），以下四個(gè)結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中一定正確的結(jié)論有（

）．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)3．（2022春·湖南張家界·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)100°得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)），連接，若，則的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．45°4．（2021秋·山東日照·八年級(jí)日照港中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知與都是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接．以下三個(gè)結(jié)論：①；②；③；其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．05．（2023春·全國·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，將△ABC繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜∠BAC）得到△ADE，AD交BC于點(diǎn)F，DE交BC、AC于點(diǎn)G、H，則以下結(jié)論：①△ABF≌△AEH；②連接AG、FH，則AG⊥FH；③當(dāng)AD⊥BC時(shí)，DF的長度最大；④當(dāng)點(diǎn)H是DE的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AFGH的面積等于AF×GH．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)6．（2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)大慶市第三十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知中，，，直角的頂點(diǎn)是的中點(diǎn)，兩邊分別交于點(diǎn)E、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④，當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），上述結(jié)論中始終正確的有_______（填序號(hào)）．7．（2022秋·河南南陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一副直角三角尺按如圖①所示疊放，現(xiàn)將含45°的三角尺固定不動(dòng)，將含30°的三角尺繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn).如圖②，當(dāng)時(shí)，此時(shí).繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角尺，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則（）其他所有可能符合條件的度數(shù)為_______8．（2022秋·貴州遵義·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一款折疊式臺(tái)燈，其側(cè)面示意圖為折線A?B?C?D，∠C=60°，連接BD，∠CBD=80°，線段AB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，AB的延長線與射線CD相交與點(diǎn)E，當(dāng)∠ABC為______度時(shí)，△BDE是等腰三角形．9．（2021秋·福建南平·八年級(jí)校考期中）如圖，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，把一個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)O重合，且兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B．夢想飛揚(yáng)學(xué)習(xí)小組將三角尺繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)銳角，當(dāng)三角尺的兩直角邊與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)時(shí)，給出下列結(jié)論：①線段AE與AF的長度之和為定值；②∠BEO與∠OFC的度數(shù)之和為定值；③四邊形AEOF的面積為定值．其中正確的是：_______________．（填序號(hào)）10．（2021秋·上海徐匯·八年級(jí)上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，點(diǎn)在內(nèi)，將以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，點(diǎn)M落在點(diǎn)N處，若,且B、M、N三點(diǎn)恰共線，則=_______．11．（2022秋·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖1，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，都是等邊三角形，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)求證：為等邊三角形；(3)將繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，其他條件不變，在圖2中補(bǔ)出