專題10 軸對稱中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)（原卷版）

專題10軸對稱中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)【題型目錄】題型一軸對稱中的翻折問題專訓(xùn)題型二軸對稱中的旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)【知識梳理】知識要點一：翻折（對折）的定義一條直線把一個平面圖形分成兩個全等的圖形,其中的一個圖形沿著這條直線翻折到另一個圖形上面,則兩部分完全重合,這個過程就叫做對折.知識要點二：翻折（對折）的特點翻折問題實際上就是對稱變換；翻折是一種對稱變換，屬于軸對稱，對稱軸（折?所在直線）是對應(yīng)點的連線的垂直平分線，翻折前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；教學(xué)初，為使學(xué)生直觀感悟，可以進行一些實際操作，以便于學(xué)生形成直觀感受，利于問題的解決。知識要點三：翻折（對折）的基本圖形及圖形特點翻折圖形的基本背景圖形有：三角形、四邊形、梯形等，解決這些問題的基本方法是精確找出翻折前后相等邊與角，以及結(jié)合圖形的性質(zhì)把邊角的關(guān)系聯(lián)系起來，同時結(jié)合方程思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想進行解題。翻折特點：有翻折----就有重合----就有全等-----對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等，運用勾股定理、等面積法結(jié)合圖形特點進行解題?！窘?jīng)典例題一軸對稱中的翻折問題專訓(xùn)】【例1】（2023春·陜西榆林·八年級?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，的平分線與的垂直平分線交于點O，點C沿折疊后與點O重合，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點，分別為長方形紙片的邊，上的點，將長方形紙片沿翻折，點，分別落在點，處．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023·江西贛州·統(tǒng)考三模）如圖，為等邊的邊的中點，點是上的一個動點，連接，將沿翻折，得到，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A．40° B．60° C．70° D．80°3．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，，射線從射線開始繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．

4．（2023春·浙江寧波·七年級校考期末）如圖，三角形紙片，點D是邊上一點，連結(jié)，把沿著翻折，得到，與交于點F．若點F是的中點，，的面積為12，則點B、E之間的距離為．

5．（2023春·浙江金華·七年級統(tǒng)考期末）小明想玩一個折紙游戲，分以下三步進行∶第一步，將長方形紙條向上翻折，記點C、D的對應(yīng)點分別為，折痕為，且交于點G（如圖1；第二步，將四邊形沿向下翻折，記的對應(yīng)點分別為（如圖2）；第三步，將長方形向下翻折，記A、B的對應(yīng)點分別為，折痕為（如圖3）．（1）若，則度．（2）若，則當(dāng)時，度．6．（2023春·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）在中，，點D是上一點，將沿翻折后得到，邊交射線于點F．（友情提示：翻折前后的兩個三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等）

(1)如圖1，當(dāng)時，求證：；(2)如圖2，若，，是否存在這樣的x的值，使得是以為腰的等腰三角形．若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．【經(jīng)典例題二軸對稱中的旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)】【例2】（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，直角的頂點是的中點，將繞頂點旋轉(zhuǎn)，兩邊，分別交，于點，．下列四個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④．在旋轉(zhuǎn)過程中，上述四個結(jié)論始終正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇無錫·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，，以點B為旋轉(zhuǎn)中心把按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，點恰好落在上，連接，則度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點D為中點，，繞點D旋轉(zhuǎn)，，分別與邊、交于E、F兩點．下列結(jié)論：①，②，③S四邊形CEDF，④始終為等腰直角三角形．其中正確的結(jié)論有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個3．（2021秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，點在內(nèi)，將以點為旋轉(zhuǎn)中心進行旋轉(zhuǎn)，使點B與點C重合，點M落在點N處，若,且B、M、N三點恰共線，則=．4．（2020秋·重慶璧山·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在△ABC中，AC＝BC＝4，，直線AD⊥BC，E是AD上的一個動點，連接EC，將線段EC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到FC，連接DF，則點E運動過程中，DF的最小值是．5．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）閱讀材料：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．如圖①，等腰和等腰中，，將繞點A旋轉(zhuǎn)，連接，利用上面結(jié)論或所學(xué)解決下列問題：(1)若，求證：；(2)連接，當(dāng)點D在線段上時．①如圖②，若，則的度數(shù)為；線段與之間的數(shù)量關(guān)系是；②如圖③，若，為中邊上的高，判斷的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關(guān)系說明理由．6．（2022秋·吉林長春·八年級?？计谀咎岢鰡栴}】在一次數(shù)學(xué)探究活動中，李老師給出了一道題．如圖①，點是等邊內(nèi)的一點，連接、、．當(dāng)，，時，求的度數(shù)．【解決問題】小明在解決此題時，將點繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到點，連接、、，并結(jié)合已知條件證得．請利用小明的作法及結(jié)論求的度數(shù)．【方法應(yīng)用】如圖②，點是正方形內(nèi)一點，連接、、．若，，，則______________°．【重難點訓(xùn)練】軸對稱中的15道翻折問題專訓(xùn)1．（2023秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一張三角形紙片ABC，，點M是邊的中點，點E在邊AC上，將沿BE折疊，使點C落在邊AC上的點D處，若，則（

）A．18° B．54° C．60° D．72°2．（2022秋·廣東廣州·八年級校考期中）如圖，在三角形紙片中，，將沿折疊，使點A與點B重合，則折痕的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023秋·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將一個等腰直角三角形按如圖方式折疊，若，，下列四個結(jié)論：①平分；②長為；③是等腰三角形；④的周長等于的長，其中，正確的是（

）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④4．（2023春·七年級單元測試）如圖，已知長方形紙片，點，在邊上，點，在邊上，分別沿，折疊，使點和點都落在點處，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）將一張正方形紙片按如圖所示的方式折疊，、為折痕，點折疊后的對應(yīng)點分別為，若，則的度數(shù)為（）A．48° B．46° C．44° D．42°6．（2023春·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將四邊形紙片沿折疊，點A、D分別落在點、處．若，，則與之間的數(shù)量關(guān)系可用等式表示為___________．

7．（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，相交于點E，．將沿折疊，點落在點處，若，則的大小為________．

8．（2023春·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）在中，，，點D是邊上一點，過點D將折疊，使點C落在下方的點處，折痕與交于點E，當(dāng)與的一邊平行時，的度數(shù)為___________．

9．（2022春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖是一張直角三角形紙片，其中．請按下列步驟操作：①沿的垂直平分線/折疊，折痕與交于點D：②沿過點C的直線l，折疊，使點A落到上的點E處，若，則的度數(shù)為__________．10．（2022春·江西撫州·七年級統(tǒng)考期末）已知，點P是射線BC上一動點，把沿AP折疊，B點的對應(yīng)點為點D，當(dāng)是等腰三角形時，的度數(shù)為______．11．（2023春·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）綜合與探究一張直角三角形紙片，，其中，D，E分別是邊上一點．將沿折疊，點C的對應(yīng)點為點．(1)如圖1，若，則______°，______°．(2)如圖2，若點落在直角三角形紙片上，請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，若點落在直角三角形紙片外，（2）中與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?若成立，請說明理由；若不成立，請求出與的數(shù)量關(guān)系．12．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）已知，如圖1，四邊形，，點E在邊上，P為邊上一動點，過點P作，交直線于點Q．(1)當(dāng)時，求；(2)當(dāng)時，求；(3)如圖3，將沿翻折使點D的對應(yīng)點落在邊上，當(dāng)時，請直接寫出的度數(shù)，答：．13．（2022秋·福建福州·八年級?？茧A段練習(xí)）在三角形中，．(1)將沿著翻折得到，求證：平分；(2)過作于點，在的延長線上取一點，使得，連接、，過點作，分別與，交于點，，點在邊上，連接并延長，交于點，過作于，，且．①求證：是等腰三角形；②若，探究與的數(shù)量關(guān)系．14．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖1，AD是的角平分線，，試探究線段AB，BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系．由于角平分線所在的直線是角的對稱軸，所以可以嘗試將角平分線一側(cè)的三角形翻折（構(gòu)造全等三角形），小明的解題思路如下：①如圖2，在AC上取一點E，使，連接DE．②由，AD平分，AD是公共邊，可得（理由：____________），則，．③由，則．又因為，所以，則__________又由，得．④根據(jù)上述的推理可知AB，BD，AC之間的數(shù)量關(guān)系為__________________．(1)請你補全小明的解題思路．(2)參考小明的方法，解決下面的問題：如圖3，中，，，BD平分，求證：．15．（2021秋·江西鷹潭·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，過點作，且，連接．(1)如圖1，若，則的面積為；（請用含的式子表示的面積；提示：過點作邊上的高）(2)如圖2，若，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由；(3)如圖3，將沿翻折，得到，，連接．試直接用含的式子表示的面積．（不寫探究過程）軸對稱中的15道旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)1．（2023·廣東深圳·?？既＃┕糯笮臀淦魍妒瘷C，是利用杠桿原理將載體以不同的拋物線投射出去的裝置．圖是圖投石機的側(cè)面示意圖．為炮架的炮梢兩頂點，已知A、B兩點到炮軸O的距離分別為1米和8米，當(dāng)炮索自然垂落垂直于地面時，落在地面上的繩索還有5米．如圖，拉動炮索，炮梢繞炮軸O旋轉(zhuǎn)，點A的對應(yīng)點為，點B的對應(yīng)點為．當(dāng)炮索的頂端在地面且與炮軸在同一直線上時，若垂直地面，，此時，到水平地面的距離是（

）米

A．12 B． C． D．212．（2022春·上海普陀·七年級?？计谀┤鐖D，在中，，，，點是的中點，兩邊，分別交，于點，，當(dāng)在內(nèi)繞頂點旋轉(zhuǎn)時（點不與、重合），以下四個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中一定正確的結(jié)論有（

）．A．個 B．個 C．個 D．個3．（2022春·湖南張家界·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°得到（點的對應(yīng)點是點，點的對應(yīng)點是點），連接，若，則的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．45°4．（2021秋·山東日照·八年級日照港中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知與都是以A為直角頂點的等腰直角三角形，繞頂點A旋轉(zhuǎn)，連接．以下三個結(jié)論：①；②；③；其中結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．05．（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，將△ABC繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜∠BAC）得到△ADE，AD交BC于點F，DE交BC、AC于點G、H，則以下結(jié)論：①△ABF≌△AEH；②連接AG、FH，則AG⊥FH；③當(dāng)AD⊥BC時，DF的長度最大；④當(dāng)點H是DE的中點時，四邊形AFGH的面積等于AF×GH．其中正確的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個6．（2022秋·黑龍江大慶·七年級大慶市第三十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知中，，，直角的頂點是的中點，兩邊分別交于點E、F，給出以下四個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④，當(dāng)在內(nèi)繞頂點P旋轉(zhuǎn)時（點E不與A、B重合），上述結(jié)論中始終正確的有_______（填序號）．7．（2022秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）一副直角三角尺按如圖①所示疊放，現(xiàn)將含45°的三角尺固定不動，將含30°的三角尺繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn).如圖②，當(dāng)時，此時.繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角尺，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則（）其他所有可能符合條件的度數(shù)為_______8．（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一款折疊式臺燈，其側(cè)面示意圖為折線A?B?C?D，∠C=60°，連接BD，∠CBD=80°，線段AB繞點B旋轉(zhuǎn)，AB的延長線與射線CD相交與點E，當(dāng)∠ABC為______度時，△BDE是等腰三角形．9．（2021秋·福建南平·八年級?？计谥校┤鐖D，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，把一個三角尺的直角頂點與BC邊的中點O重合，且兩條直角邊分別經(jīng)過點A和點B．夢想飛揚學(xué)習(xí)小組將三角尺繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意一個銳角，當(dāng)三角尺的兩直角邊與AB，AC分別交于點E，F(xiàn)時，給出下列結(jié)論：①線段AE與AF的長度之和為定值；②∠BEO與∠OFC的度數(shù)之和為定值；③四邊形AEOF的面積為定值．其中正確的是：_______________．（填序號）10．（2021秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，點在內(nèi)，將以點為旋轉(zhuǎn)中心進行旋轉(zhuǎn)，使點B與點C重合，點M落在點N處，若,且B、M、N三點恰共線，則=_______．11．（2022秋·海南省直轄縣級單位·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：如圖1，點C為線段上一點，都是等邊三角形，交于點E，交于點F．(1)求證：；(2)求證：為等邊三角形；(3)將繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，其他條件不變，在圖2中補出