第05講 難點(diǎn)探究專題：幾何圖形中動(dòng)角問題(3類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第05講難點(diǎn)探究專題：幾何圖形中動(dòng)角問題(3類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一幾何圖形中動(dòng)角定值問題】 1【考點(diǎn)二幾何圖形中動(dòng)角數(shù)量關(guān)系問題】 7【考點(diǎn)三幾何圖形中動(dòng)角求運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題】 11【考點(diǎn)一幾何圖形中動(dòng)角定值問題】例題：（2023秋·湖南懷化·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知如圖是的平分線，是的平分線，，(1)求的度數(shù).(2)當(dāng)射線在的內(nèi)部線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，射線、的位置是否發(fā)生變化？說明理由.(3)在（2）的條件下，的大小是否發(fā)生變化？如果不變，求其度數(shù)；如果變化，說出其變化范圍.【答案】(1)(2)發(fā)生變化，理由見解析(3)不變，【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出，進(jìn)而根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)，則轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)同樣在動(dòng)，同理也在動(dòng)；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論即可求解．【詳解】（1）解：∵是的平分線，是的平分線，，∴，∴（2）解：∵，∴轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)同樣在動(dòng)，同理同樣轉(zhuǎn)動(dòng)；（3）不變同樣35°；解：當(dāng)射線在的內(nèi)部線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，∵是的平分線，是的平分線，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，幾何圖形中角度的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021春·廣東深圳·七年級(jí)深圳中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，將兩塊直角三角板的角和一個(gè)角的頂點(diǎn)疊放在一起，將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，三角板的直角邊始終在的內(nèi)部，在旋轉(zhuǎn)過程中

(1)若時(shí)，______°；(2)善于思考的小明發(fā)現(xiàn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，①和②的度數(shù)均各為一個(gè)定值，請(qǐng)你寫出這兩個(gè)定值，定值：①______；②______．(3)作和的平分線，，在旋轉(zhuǎn)過程中的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若變化，請(qǐng)求出變化的范圍．【答案】(1)9(2)，；(3)【分析】（1）由角的和差關(guān)系可得：，再代入數(shù)據(jù)可得答案；（2）由在的內(nèi)部，如圖，，，再代入數(shù)據(jù)可得答案；（3）由角平分線的定義可得，，結(jié)合（1）得：，（2）得：，可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴；（2）∵在的內(nèi)部，如圖，

∴；∴；（3）∵，分別平分和，

∴，，∵由（1）得：，由（2）得：，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的和差運(yùn)算，角的動(dòng)態(tài)定義，角平分線的定義，熟練的利用角的和差運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江西撫州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）將一副三角板中含有60°角的三角板的頂點(diǎn)和另一塊含有45°角的三角板的頂點(diǎn)重合于一點(diǎn)，繞著點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)含有60°角的三角板，拼成如圖的情況，請(qǐng)回答問題：(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，直接寫出的度數(shù)是____________度；(2)①如圖2，當(dāng)為的角平分線時(shí)，求出此時(shí)的度數(shù)；②如圖3，當(dāng)為的角平分線時(shí)，求出此時(shí)的度數(shù)；(3)若只在內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，作平分線交于點(diǎn)，再作的平分線交于點(diǎn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的值是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)值；若變化，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)①；②(3)的值不會(huì)發(fā)生變化，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)三角板中角度的特點(diǎn)進(jìn)行求解即可；（2）①根據(jù)角平分線的定義得到，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；②根據(jù)角平分線的定義得到，再根據(jù)進(jìn)行求解即可；（3）分別用表示出．再根據(jù)角平分線的定義表示出，，再根據(jù)進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，∴，故答案為：；（2）解：①由題意得，，∵為的角平分線，∴，∴；②由題意得，，∵為的角平分線，∴，∴；（3）解：的值不會(huì)發(fā)生變化，，理由如下：由題意得，，∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角板中角度的計(jì)算，角平分線的定義，熟知三角板中角度的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·重慶·七年級(jí)?？计谀┤鐖D1，將一副三角板的兩個(gè)銳角頂點(diǎn)放到一塊，，，，分別是，的角平分線．(1)當(dāng)繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至射線與重合時(shí)（如圖2），則的大小為；(2)如圖3，在（1）的條件下，繼續(xù)繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，則的大小為；(3)在繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)你畫出圖形，的度數(shù)是否發(fā)生變化，若變化請(qǐng)說明理由，若不變請(qǐng)求出的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)的度數(shù)不變，為，圖形見解析【分析】（1）利用角平分線的定義得到即可求解；（2）通過角的轉(zhuǎn)化得到即可求解；（3）通過角的轉(zhuǎn)化得到即可求解．【詳解】（1）∵，，∴，∵，分別是，的角平分線，∴，∴（2）∵，分別是，的角平分線，∴，∴；（3）的度數(shù)不變，為，作圖見下圖．∵，分別是，的角平分線，∴，∴；∴的度數(shù)不變，為．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義和角的和差轉(zhuǎn)化，解題關(guān)鍵是能利用角平分線的定義得到關(guān)于的表達(dá)式，再利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【考點(diǎn)二幾何圖形中動(dòng)角數(shù)量關(guān)系問題】例題：（2023秋·河北邢臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知為直線上一點(diǎn)，射線、、位于直線上方，在的左側(cè)，，．

(1)如圖1，當(dāng)平分時(shí)，求的度數(shù)；(2)點(diǎn)在射線上，若射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（且），．當(dāng)在內(nèi)部（圖2）和的兩邊在射線的兩側(cè)（圖3）時(shí)，和的數(shù)量關(guān)系是否改變，若改變，說明理由，若不變，求出其關(guān)系．【答案】(1)(2)不改變，，理由見解析【分析】（1）由平分，則，由，得到，最后得到；（2）分兩種情況，在內(nèi)部時(shí)，令，則，，結(jié)論成立；的兩邊在射線的兩側(cè)時(shí)．令，則，，，進(jìn)而結(jié)論得證．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵．∴，∴，∴；（2）①在內(nèi)部時(shí)．令，則，，∴，∴；②的兩邊在射線的兩側(cè)時(shí)．令，則，，，∴，∴．綜上可得，和的數(shù)量關(guān)系不改變，【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及角的有關(guān)計(jì)算，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·遼寧沈陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上，“奮進(jìn)”小組準(zhǔn)備研究如下問題：如圖，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，將一直角三角尺如圖1放置，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，是直角，OE平分．

問題發(fā)現(xiàn)：(1)如圖1，若，則的度數(shù)為______；(2)將這一直角三角尺如圖2放置，其他條件不變，探究和的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）先求解再利用角平分線的含義求解再利用角的和差關(guān)系可得答案；（2）先求解，再利用角平分線的定義可得，再利用角的和差關(guān)系可得結(jié)論；【詳解】（1）解：平分故答案為：；（2）．理由：因?yàn)槭侵苯撬运砸驗(yàn)槠椒炙运运裕军c(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的含義，角的和差運(yùn)算，掌握“幾何圖形中角的和差關(guān)系”是解本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·福建福州·七年級(jí)校考期末）如圖，點(diǎn)O在直線上，在直線上方，且，射線在內(nèi)部，．(1)如圖1，若是的平分線，求的度數(shù)；(2)如圖2，探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系保持不變．請(qǐng)你用等式表示出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)角的定義可得，再根據(jù)角平分線的定義可得答案；（2）設(shè)，則，再利用，然后整理可得結(jié)論．【詳解】（1）∵是的平分線，∴，∴．∵，∴，∴，∴．（2），設(shè)，則，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了鄰補(bǔ)角、角平分線的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖①，O是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．(1)若時(shí)，則的度數(shù)為__________；(2)將圖①中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，其它條件不變，探究和的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；(3)將圖①中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖③的位置，其他條件不變．直接寫出和的度數(shù)之間的關(guān)系：__________．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【分析】（1）由已知可求出，再由是直角，平分求出的度數(shù)；（2）由是直角，平分可得出，則得，從而得出和的度數(shù)之間的關(guān)系；（3）根據(jù)（2）的解題思路，即可解答．【詳解】（1）由已知得，又是直角，平分，，故答案為：；（2）；理由：是直角，平分，，則得，所以得：；（3）；理由：平分，，則得，所以得：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是角平分線的定義、及角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用好有關(guān)性質(zhì)準(zhǔn)確計(jì)算角的和差倍分．【考點(diǎn)三幾何圖形中動(dòng)角求運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題】例題：（2023秋·湖北襄陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，點(diǎn)依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線繞點(diǎn)沿道時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，直線保持不動(dòng)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為(的值在到之間，單位：秒)．

(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)?shù)诙芜_(dá)到時(shí)，求的值；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在這樣的，使得射線與射線的夾角為？如果存在，請(qǐng)直接寫出的值：如果不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)秒(3)存在，秒或秒【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，，根據(jù)平角減去，即可求解；（2）根據(jù)題意，當(dāng)?shù)诙芜_(dá)到時(shí)，則，解方程即可求解；（3）當(dāng)射線與射線第一次夾角為時(shí)，兩條射線共旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線第二次夾角為時(shí)，兩條射線共旋轉(zhuǎn)，分別解方程即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，，所以，答：的度數(shù)是；（2）根據(jù)題意，當(dāng)?shù)诙芜_(dá)到時(shí)，，解得，答：當(dāng)?shù)诙芜_(dá)到時(shí)，的值是秒；（3）存在這樣的，使得射線與射線的夾角為，理由如下：當(dāng)射線與射線第一次夾角為時(shí)，兩條射線共旋轉(zhuǎn)，所以，解得；當(dāng)射線與射線第二次夾角為時(shí)，兩條射線共旋轉(zhuǎn)，所以，解得，綜上所述，的值是秒或秒．【點(diǎn)睛】本題考查了結(jié)合圖形中的角度計(jì)算，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·甘肅蘭州·七年級(jí)校考期末）如圖，O為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．

(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，如圖2，經(jīng)過t秒后，恰好平分．求t的值；并判斷此時(shí)是否平分？說明理由；(2)在（1）的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞O點(diǎn)以每秒的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過多長時(shí)間平分？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；平分，理由見解析(2)的值為或【分析】（1）根據(jù)的度數(shù)求出的度數(shù)，根據(jù)互余得出的度數(shù)，進(jìn)而求出時(shí)間t即可；根據(jù)題意和圖形得出，，再根據(jù)，即可得出平分；（2）根據(jù)題意和圖形得出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：旋轉(zhuǎn)前,當(dāng)平分時(shí)，，則,解得：，結(jié)論：平分,理由：∵，又∵，∴,∴平分；（2）解：若平分，

則，∴，∴，當(dāng)停止時(shí),平分,則有,

∴,綜上所述，滿足條件的的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義、角的和差定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題.2．（2023秋·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，是內(nèi)部的一條射線，且．

(1)如圖1所示，若，平分，平分，求的度數(shù)；(2)如圖2所示，是直角，從點(diǎn)O出發(fā)在內(nèi)引射線，滿足，若平分，求的度數(shù)；(3)如圖3所示，，射線，射線分別從出發(fā)，并分別以每秒和每秒的速度繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，和分別只在和內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①直接寫出和的數(shù)量關(guān)系；②若，當(dāng)，求t的值．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）先求出，再根據(jù)角平分線的定義得到，由此即可得到答案；（2）先求出，則，進(jìn)一步求出，由角平分線的定義得到，進(jìn)而可得；（3）①先求出，，根據(jù)題意可得，由此求出，，則；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（3）解：①∵，∴，∴由題意得：，∴，，∴；②由①知，∵，∴，∵，，∴，把代入得：解得，∴若，當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，角平分線的定義，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·廣東惠州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）解答下列問題．

(1)【探索新知】如圖1，射線在的內(nèi)部，圖中共有個(gè)角：，和，若其中有一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的兩倍，則稱射線是的“巧分線”．①一個(gè)角的平分線這個(gè)角的“巧分線”．（填“是”或“不是”）②如圖2，若，且射線是的“巧分線”，則．（用含的代數(shù)式表示出所有可能的結(jié)果）(2)【深入研究】如圖2，若，且射線繞點(diǎn)從位置開始，以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與與成時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒．①當(dāng)為何值時(shí)，射線是的“巧分線”．②若射線同時(shí)繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，并與同時(shí)停止．請(qǐng)直接寫出當(dāng)射線是的“巧分線”時(shí)的值．【答案】(1)①是；②或或(2)①或或；②或或【分析】（1）①根據(jù)巧分線定義即可求解；②分3種情況，根據(jù)巧分線定義即可求解；（2）①分3種情況，根據(jù)巧分線定義得到方程求解即可；②分3種情況，根據(jù)巧分線定義得到方程求解即可．【詳解】（1）解：①一個(gè)角的平分線是這個(gè)角的“巧分線”；故答案為：是②∵，當(dāng)是的角平分線時(shí)，∴；當(dāng)是三等分線時(shí)，較小時(shí)，∴；當(dāng)是三等分線時(shí)，較大時(shí)，∴；故答案