集合概念及集合上的運算1

第一講集合概念及集合上的運算知識、方法、技能高中一年級數(shù)學(xué)（上）（試驗本）課本中給出了集合的概念；一般地，符合某種條件（或具有某種性質(zhì)）的對象集中在一起就成為一個集合.在此基礎(chǔ)上，介紹了集合的元素的確定性、互異性、無序性.深入地逐步給出了有限集、無限集，集合的列舉法、描述法和子集、真子集、空集、非空集合、全集、補集、并集等十余個新名詞或概念以及二十幾個新符號.由此形成了在集合上的運算問題，形成了以集合為背景的題目和用集合表示空間的線面及其關(guān)系，表面平面軌跡及其關(guān)系，表示充要條件，描述排列組合，用集合的性質(zhì)進行組合計數(shù)等綜合型題目.賽題精講Ⅰ．集合中待定元素的確定充分利用集合中元素的性質(zhì)和集合之間的基本關(guān)系，往往能解決某些以集合為背景的高中數(shù)學(xué)競賽題.請看下述幾例.例1：求點集中元素的個數(shù).【思路分析】應(yīng)首先去對數(shù)將之化為代數(shù)方程來解之.【略解】由所設(shè)知由平均值不等式，有當(dāng)且僅當(dāng)（虛根舍去）時，等號成立.故所給點集僅有一個元素.【評述】此題解方程中，應(yīng)用了不等式取等號的充要條件，是一種重要解題方法，應(yīng)注意掌握之.例2：已知【思路分析】先進一步確定集合A、B.【略解】又∴A=【評述】此題應(yīng)避免如下錯誤解法：聯(lián)立方程組消去因方程無實根，故.這里的錯因是將A、B的元素誤解為平面上的點了.這兩條拋物線沒有交點是實數(shù).但這不是拋物線的值域.例3：已知集合若是平面上正八邊形的頂點所構(gòu)成的集合，則a的值為.【思路分析】可作圖，以數(shù)形結(jié)合法來解之.【略解】點集A是頂點為（a，0），（0，a），（－a，0），（0，－a）的正方形的四條邊構(gòu)成（如圖Ⅰ－1－1－1）.將，變形為所以，集合B是由四條直線構(gòu)成.欲使為正八邊形的頂點所構(gòu)成，只有這兩種情況.（1）當(dāng)時，由于正八形的邊長只能為2，顯然有故.（2）當(dāng)時，設(shè)正八形邊長為l，則這時，綜上所述，a的值為圖Ⅰ－1－1－1如圖Ⅰ圖Ⅰ－1－1－1【評述】上述兩題均為1987年全國高中聯(lián)賽試題，題目并不難，讀者應(yīng)從解題過程中體會此類題目的解法.Ⅱ．集合之間的基本關(guān)系充分應(yīng)用集合之間的基本關(guān)系（即子、交、并、補），往往能形成一些頗具技巧的集合綜合題.請看下述幾例.例4：設(shè)集合則在下列關(guān)系中，成立的是 （） A． B． C． D．【思路分析】應(yīng)注意數(shù)的特征，即【解法1】∵∴.故應(yīng)選C.【解法2】如果把A、B、C、D與角的集合相對應(yīng)，令這里，是數(shù)、理、化中至少一門是優(yōu)秀的人數(shù)，是這三科全優(yōu)的人數(shù).可見，估計的范圍的問題與估計的范圍有關(guān).注意到，可知.因而可得又∵∴這表明全班人數(shù)在41~48人之間.僅數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)是∴可見同理可知