第49講-直線與橢圓的位置關(guān)系(講)(原卷版)

第49講直線與橢圓的位置關(guān)系（講）思維導(dǎo)圖知識(shí)梳理1．焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)：焦點(diǎn)弦中以通徑(垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦)最短，弦長(zhǎng)lmin＝eq\f(2b2,a).2．AB為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)，則(1)弦長(zhǎng)l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2)直線AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0). 題型歸納題型1直線與橢圓的位置關(guān)系【例1-1】（2020春?孝感期中）直線y＝kx+k與焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+＝1總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【例1-2】（2019秋?大興區(qū)期中）已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，）．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)m取何值時(shí)，直線y＝x+m與橢圓C：有兩個(gè)公共點(diǎn)；只有一個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn)？【跟蹤訓(xùn)練1-1】已知直線l：y＝2x+m，橢圓C：+＝1，試問(wèn)：當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C，（1）有兩個(gè)不重合的公共點(diǎn)；（2）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；（3）沒(méi)有公共點(diǎn)？【名師指導(dǎo)】判斷直線與橢圓位置關(guān)系的方法(1)判斷直線和橢圓的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與橢圓方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)．(2)對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的直線，也可以通過(guò)定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點(diǎn)．題型2弦長(zhǎng)問(wèn)題【例2-1】（2019秋?北碚區(qū)期末）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（）和F2（），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，設(shè)直線y＝x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn)．求：（1）橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)及弦長(zhǎng)．【例2-2】（2019秋?路南區(qū)校級(jí)期中）已知橢圓C：的離心率為，短軸長(zhǎng)為4．（1）求橢圓方程；（2）過(guò)P（2，1）作弦且弦被P平分，求此弦所在的直線方程及弦長(zhǎng)．【跟蹤訓(xùn)練2-1】（2020?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）橢圓＝1，過(guò)原點(diǎn)O斜率為的直線與橢圓交于C，D，若|CD|＝4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練2-2】（2019?海安縣校級(jí)模擬）已知橢圓＝1的離心率為，以橢圓的2個(gè)焦點(diǎn)與1個(gè)短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，斜率為k的直線l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F，且與橢圓交與A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓截直線x＝1所得的弦的長(zhǎng)度為，求直線l的方程．【名師指導(dǎo)】1．弦長(zhǎng)的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解．(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng)公式的常見(jiàn)形式有如下幾種：①|(zhì)AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)；③|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])；④|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2]).2．弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用技巧弦長(zhǎng)公式的運(yùn)用需要利用曲線方程和直線方程聯(lián)立建立一元二次方程，設(shè)直線方程也很考究，不同形式的直線方程直接關(guān)系到計(jì)算量的大?。覀兊慕?jīng)驗(yàn)是：若直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)在縱軸上，一般設(shè)為斜截式方程y＝kx＋b便于運(yùn)算，即“定點(diǎn)落在縱軸上，斜截式幫大忙”；若直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)在橫軸上，一般設(shè)為my＝x－a可以減小運(yùn)算量，即“直線定點(diǎn)落橫軸，斜率倒數(shù)作參數(shù)”．題型3中點(diǎn)弦問(wèn)題【例3-1】（2019秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）已知：橢圓+＝1，求：（1）以P（2，﹣1）為中點(diǎn)的弦所在直線的方程；（2）斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程．【例3-2】（2019?懷化模擬）已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)F恰為圓F：的圓心，直線l：y＝3x﹣2截C所得弦AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則C的短軸長(zhǎng)為．【例3-3】（2019?深圳二模）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別為橢圓C的右頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)，且點(diǎn)F1關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為M．若MF2⊥F1F2，則橢圓C的離心率為（）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練3-1】（2020?香坊區(qū)校級(jí)三模）已知斜率為k1（k1≠0）的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為C，直線OC（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為k2，則k1?k2＝（）A． B．﹣4 C． D．﹣2【跟蹤訓(xùn)練3-2】（2019秋?寧陽(yáng)縣校級(jí)期中）已知橢圓C以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F（1，0），點(diǎn)在橢圓上，（Ⅰ）求橢圓C的方程．（Ⅱ）斜率為k的直線l過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直，直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍．【跟蹤訓(xùn)練3-3】（2020?婁底模擬）已知橢圓E：+＝1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，A、B兩點(diǎn)是橢圓E上關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，若△ABF能構(gòu)成一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形，則橢圓E的離心率e＝（）A． B． C．﹣1 D．2﹣【名師指導(dǎo)】1.處理中點(diǎn)弦問(wèn)題常用的求解方法(1)點(diǎn)差法：即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq\f(y1－y2,x1－x2)三個(gè)未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，借用中點(diǎn)公式可求得斜率．(2)根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解．2.求解橢圓上對(duì)稱問(wèn)題的常用方法（1）將對(duì)稱兩點(diǎn)所在的直線方程與橢圓方程聯(lián)立，由Δ＞0建立不等關(guān)系，再由對(duì)稱兩點(diǎn)的中點(diǎn)在所給直線上，建立相等關(guān)系，由相等關(guān)系消參，由不等關(guān)系確定范圍．（2）用參數(shù)表示中點(diǎn)坐標(biāo)，利用中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部建立關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式得參數(shù)范圍．題型4橢圓與向量的綜合問(wèn)題【例4-1】（2020春?山西期中）設(shè)點(diǎn)M和N分別是橢圓C：＝1（a＞0）上不同的兩點(diǎn)，線段MN最長(zhǎng)為4．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線MN過(guò)點(diǎn)Q（0，2），且＞0，線段MN的中點(diǎn)為P，求直線OP的斜率的取值范圍．【例4-2】（2019秋?洛陽(yáng)期末）已知P（2，0）為橢圓C：＝1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓C的長(zhǎng)軸上，過(guò)點(diǎn)M且不與x軸重合的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合時(shí)，直線PA，PB的斜率之積為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若＝2，求△OAB面積的最大值．【跟蹤訓(xùn)練4-1】（2020?丹東二模）已知O為橢圓C的中心，F(xiàn)為C的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C外，＝3，經(jīng)過(guò)M的直線l與C的一個(gè)交點(diǎn)為N，△MNF是有一個(gè)內(nèi)角為120°的等腰三角形，則C的離心率為（）A． B． C．﹣1 D．【跟蹤訓(xùn)練4-2】（2020?邵陽(yáng)三模）在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓（a＞b＞0）的離心率，直線與圓x2+（y﹣2）