初中數(shù)學(xué)八年級上冊《分式方程》教案（五）

分式方程【教學(xué)目標(biāo)】1.通過經(jīng)歷實(shí)際問題→列分式方程→探究解分式方程的過程，體會分式方程是一種有效描述現(xiàn)實(shí)世界的模型，發(fā)展學(xué)生分析問題解決問題的能力，增強(qiáng)“用數(shù)學(xué)”的意識.2.理解分式方程的概念，會解可化為一元一次方程的分式方程.3.通過學(xué)習(xí)分式方程的解法，使學(xué)生理解解分式方程的基本思想是把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，把未知問題轉(zhuǎn)化成已知問題，從而滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.4.了解分式方程產(chǎn)生增根的原因，掌握解分式方程驗(yàn)根的方法.【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：正確、完整地解可化為一元一次方程的分式方程.難點(diǎn)：產(chǎn)生增根的原因.┃教學(xué)過程設(shè)計(jì)┃教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課問題1：課件出示本章引言中的問題.讓學(xué)生獨(dú)立思考，回憶以往所學(xué)知識，順勢復(fù)習(xí)分式以及方程的相關(guān)知識.問題2：為了幫助遭受地震的災(zāi)區(qū)重建家園，某學(xué)校號召同學(xué)們自愿捐款.已知第一次捐款總額為4800元，第二次捐款總額為5000元，第二次捐款人數(shù)比第一次多20人，而且兩次人均捐款額恰好相等.如果設(shè)第一次捐款人數(shù)為x人，那么x滿足怎樣的方程？有了問題1，估計(jì)問題2學(xué)生能輕松拿下，得到答案.至此得到兩個(gè)方程：eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)，eq\f(4800,x)＝eq\f(5000,x＋20).議一議：上面所得到的方程是我們以前學(xué)過的方程嗎？以前我們學(xué)過什么方程？試舉例說明.明確：不是，以前學(xué)過一元一次方程和二元一次方程，如x－1＝3，x＋y＝7等.比一比：以前學(xué)過的方程與上面剛得到的兩個(gè)方程有什么不同？以前學(xué)過的都是整式方程，里面沒有分式，而剛才的兩個(gè)方程都含分式，且有未知數(shù)處在分母的位置上.說一說：你能嘗試給它一個(gè)名字嗎？說一說命名的原因.估計(jì)學(xué)生能答出——分式方程，因?yàn)槔锩婧蟹质?想一想：方程eq\f(1,2)x＋eq\f(1,3)(x＋1)＝eq\f(1,6)是不是分式方程？為什么？你能歸納出分式方程的概念嗎？不是，因?yàn)樗缓质剑帜钢袥]有未知數(shù).分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.師總結(jié)：分式方程和我們以前研究的一(二)元一次方程一樣能刻畫現(xiàn)實(shí)世界，是一種反映現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型，但它從形式上又與它們不同：分母中含有未知數(shù).要使上述2個(gè)問題得到真正的解決，則必須想方設(shè)法解出所列的分式方程.那么如何解分式方程呢？今天我們就一起來學(xué)習(xí)“分式方程的解法”.問題1是本章章前的引例，以此實(shí)際問題復(fù)習(xí)分式及方程的有關(guān)知識，避開了生拖硬拽，順乎學(xué)生的心理需求；考慮到一個(gè)方程不足以引起學(xué)生的心理指向，于是設(shè)置了問題2，二者合起來，為分式方程的現(xiàn)身提供了“物質(zhì)”載體.二、師生互動(dòng)，探究新知問題1：試解分式方程：(1)eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)；(2)eq\f(4800,x)＝eq\f(5000,x＋20).為了解決本問題，請同學(xué)們先思考并回答以下問題：(1)回顧一下一元一次方程是怎么去分母的，從中能否得到一點(diǎn)啟發(fā)？可師生共解方程eq\f(3x－1,2)＋eq\f(5x＋2,3)＝2.(2)能不能效仿有分母的一元一次方程的解法，想辦法去掉分式方程的分母把它轉(zhuǎn)化為整式方程呢？在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，基本形成求解的思路，抓住時(shí)機(jī)讓學(xué)生嘗試練習(xí)，兩中等生板演.由于長時(shí)間解整式方程的慣性，檢驗(yàn)環(huán)節(jié)已經(jīng)淡化，估計(jì)學(xué)生會忘記檢驗(yàn).師：在學(xué)生完成后，概括出：解分式方程的過程實(shí)質(zhì)上是將方程的兩邊乘以同一個(gè)整式，約去分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解.所乘的整式通常取方程中出現(xiàn)的各分式的最簡公分母.至此，雖然不完善，但已經(jīng)通過模仿解決了怎樣化“整”的問題，應(yīng)肯定學(xué)生所為，并通過巡視、交流發(fā)現(xiàn)問題，尤其要抓住去分母的關(guān)鍵——確定最簡公分母.著重提煉出求解的基本思想以及與含分母的整式方程的差異.接著為了突出檢驗(yàn)的必要性，完善解分式方程的步驟，特出示以下練習(xí)：試一試：解方程eq\f(1,x－1)＝eq\f(2,x2－1).學(xué)生易得：方程兩邊同乘以(x＋1)(x－1)，約去分母，得x＋1＝2.解這個(gè)整式方程，得x＝1.反問：x＝1真是原分式方程的解嗎？督促學(xué)生進(jìn)行檢驗(yàn)、反思.學(xué)生通過代回發(fā)現(xiàn)：x＝1時(shí)，原方程的分母為0，分式根本沒有意義，產(chǎn)生困惑：問題出在哪里？組織學(xué)生討論，達(dá)成共識：問題只能出現(xiàn)在“去分母”這一步，其他步驟一點(diǎn)問題都沒有.師捕住時(shí)機(jī)，提出問題2.問題2：同樣是分式方程，前面解的兩個(gè)方程為什么沒有碰到這樣的麻煩？解一元一次方程為什么也沒有這些麻煩？具體一些，就是為什么eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)去分母后所得整式方程90(30－v)＝60(30＋v)的解就是原分式方程的解，而eq\f(1,x－1)＝eq\f(2,x2－1)去分母后所得整式方程x＋1＝2的解卻不是原分式方程的解呢？真理愈辯愈明，通過學(xué)生們思想的交流、思維的碰撞，在相互補(bǔ)遺和老師的參與下明朗起來：因?yàn)樵谌シ帜笗r(shí)，兩邊乘了一個(gè)含未知數(shù)的整式，是否為零是事先不知道的，我們實(shí)際上是假定不為零來操作的，而第一個(gè)方程化整后的解不能使“(30＋v)(30－v)”等于零，避開了麻煩，而eq\f(1,x－1)＝eq\f(2,x2－1)去分母后所得整式方程的解恰好使得兩邊乘的整式“(x＋1)(x－1)”等于零，這樣就擴(kuò)大了未知數(shù)的范圍，以致出現(xiàn)分母為零的現(xiàn)象，因此x＝1只是化整后整式方程的解，而不是原分式方程的解，所以原方程無解.整式方程在去分母時(shí)，兩邊乘以的數(shù)是否為零一目了然，自然不會遇到以上的麻煩.由此得出結(jié)論，解分式方程必須檢驗(yàn).問題3：解分式方程，如何檢驗(yàn)？組織學(xué)生討論，由于有了前面解方程的基本經(jīng)驗(yàn)和剛才的辯論，估計(jì)學(xué)生能作答.方法一：和整式方程的檢驗(yàn)一樣，將去分母后獲得的整式方程的解代入原方程的左右兩端，看它們是否相等.方法二：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的解.設(shè)置問題1，蘊(yùn)藏矛盾，通過嘗試練習(xí)挑起矛盾，設(shè)置問題2，3深化矛盾，引導(dǎo)學(xué)生刨根問底化解矛盾，在反思中形成解分式方程的方法、步驟.三、運(yùn)用新知，解決問題1.解方程：eq\f(2,x－3)＝eq\f(3,x).分析：題小能量大，注意挖掘，鼓勵(lì)學(xué)生算法的多樣性.思路一：方程兩邊同乘最簡公分母x(x－3)；思路二：利用比例的性質(zhì)“內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積”；思路三：利用“分式的基本性質(zhì)”，左右通分，得eq\f(2x,x（x－3）)＝eq\f(3（x－3）,x（x－3）)再求解.2.解方程：eq\f(x,x－1)－1＝eq\f(3,（x－1）（x＋2）).完成后，提出思考題：1.由以上兩個(gè)例子及前面的解題經(jīng)歷，請同學(xué)們歸納解分式方程的基本思想、基本方法和基本步驟.2.你推測一下，可化為一元一次方程的分式方程的解的情況.明確：1.(1)基本思想：分式方程eq\o(→,\s\up7(去分母))整式方程.(2)基本方法：方程兩邊乘以最簡公分母.(3)基本步驟：①在方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母，將分式方程化為整式方程(一元一次方程)；②解這個(gè)整式方程；③檢驗(yàn).2.此類分式方程要么有一解，要么無解，兩種可能.四、課堂小結(jié)，提煉觀點(diǎn)在探索中遇到困難，你是怎么辦的？對自己在本節(jié)課的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行反思、評價(jià).本節(jié)課你能提出什么問題？五、布置作業(yè)，鞏固提升必做題：教材第154頁復(fù)習(xí)鞏固1選做題：解方程：(1)eq\f(3,x2－2x＋1)＝eq\f(2,（x－1）2＋4x)－eq\f(1,1－x2)；(2)eq\f(x,x－2)－eq\f(2x,x－3)＝eq\f(1－x2,x（x－5）＋6).【板書設(shè)計(jì)】解分式方程eq\f(90,30＋v)＝eq\f(60,30－v)eq\f(4800,x)＝eq\f(5000,x＋20)一般步驟：①去分母；②求解；③檢驗(yàn).【教學(xué)反思】本設(shè)計(jì)首先創(chuàng)設(shè)出生活情境，讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)、概括分式方程這一“數(shù)學(xué)化”的過程，體會分式方程的模型作用，以及分式方程解法的過程，會解可化為一元一次方程的分式方程，會檢驗(yàn)根的合理性.第2課時(shí)分式方程的實(shí)際應(yīng)用【教學(xué)目標(biāo)】1.會列分式方程解決比較簡單的實(shí)際問題并能檢驗(yàn)根的合理性.2.以工程問題為例，能將此類實(shí)際問題中的相等關(guān)系用分式方程表示，提高運(yùn)用方程思想解決問題的能力.【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：實(shí)際生活中相關(guān)工程問題類的分式方程應(yīng)用題的分析應(yīng)用.難點(diǎn)：將實(shí)際問題中的等量關(guān)系用分式方程表示并且求得結(jié)果.┃教學(xué)過程設(shè)計(jì)┃教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課問題1：快速解方程.(1)eq\f(x－8,x－7)－eq\f(1,7－x)＝8；(2)eq\f(7,x2＋x)＋eq\f(1,x2－x)＝eq\f(6,x2－1).反思1：解分式方程的基本思路和步驟是什么？反思2：解分式方程與解整式方程的根本區(qū)別是什么？問題2：你能解決如下實(shí)際問題嗎？某運(yùn)輸公司需要裝一批貨物，由于機(jī)械設(shè)備沒有即時(shí)到位，只好先用人工裝運(yùn)，6小時(shí)完成了一半任務(wù)；后來機(jī)械裝運(yùn)和人工裝運(yùn)同時(shí)進(jìn)行，1小時(shí)完成了后一半任務(wù).(如果設(shè)單獨(dú)采用機(jī)械裝運(yùn)x小時(shí)可以完成后一半任務(wù)，那么x滿足怎樣的方程？請找出此題中存在的數(shù)量關(guān)系)基本知識是應(yīng)用能否順利進(jìn)行的資本.通過問題1的解決返扣上一節(jié)的所學(xué)，為應(yīng)用的開展鋪設(shè)好“路基”.然后通過問題2，把生活中常見的工程問題擺出來.二、師生互動(dòng)，探究新知學(xué)生交流上述問題2，達(dá)成基本共識.等量關(guān)系：(人工裝運(yùn)的工作效率＋機(jī)械裝運(yùn)的工作效率)×1＝eq\f(1,2).由人工搬運(yùn)6小時(shí)完成一半任務(wù)可知，完成整個(gè)搬運(yùn)任務(wù)需要12小時(shí)，故人工單獨(dú)搬運(yùn)1小時(shí)完成整個(gè)任務(wù)的eq\f(1,12)，亦即人工裝運(yùn)的工作效率；由單獨(dú)采用機(jī)械裝運(yùn)x小時(shí)可以完成后一半任務(wù)可知，單獨(dú)采用機(jī)械裝運(yùn)完成整個(gè)搬運(yùn)任務(wù)需要2x小時(shí)，故單獨(dú)采用機(jī)械裝運(yùn)1小時(shí)完成整個(gè)搬運(yùn)任務(wù)的eq\f(1,2x)，也就是機(jī)械裝運(yùn)的工作效率.通過以上分析可得：×1＝eq\f(1,2)，即eq\f(1,6)＋eq\f(1,x)＝1.教師小結(jié)：客觀世界中存在著大量的問題需要用分式方程去解決，當(dāng)我們掌握好相關(guān)的知識和方法后，就可以運(yùn)用它們分析和解決實(shí)際問題，這也恰恰體現(xiàn)了我們經(jīng)常談到的一個(gè)關(guān)鍵詞：“學(xué)以致用”.這一環(huán)節(jié)意在實(shí)現(xiàn)從解分式方程到列分式方程的過渡，通過答問，窺探學(xué)生的“學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)”，為信息交流提供豐實(shí)的資源，以此體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是不斷生成問題和解決問題的過程，在這個(gè)過程中把工程問題的基本規(guī)律揭示出來.三、運(yùn)用新知，解決問題教材第152頁例3.分析：本題沒有具體的工作量，常常把工作量虛擬為1，工作時(shí)間的單位為“月”.甲隊(duì)一個(gè)月完成總工程的eq\f(1,3)，設(shè)乙隊(duì)如果單獨(dú)施工1個(gè)月能完成總工程的eq\f(1,x)，那么甲隊(duì)半個(gè)月完成總工程的eq\f(1,6)，乙隊(duì)半個(gè)月完成總工程的eq\f(1,2x)，兩隊(duì)半個(gè)月完成總工程的eq\f(1,6)＋eq\f(1,2x).等量關(guān)系為：甲隊(duì)單獨(dú)做的工作量＋兩隊(duì)共同做的工作量＝總工程量1，則有eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,2x)＝1.四、課堂小結(jié)，提煉觀點(diǎn)本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？對本節(jié)課的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行反思、評價(jià)，你有哪些收獲？五、布置作業(yè)，鞏固提升必做題：教材第154頁綜合運(yùn)用第4、5題選做題：1.請你根據(jù)所給方程eq\f(1,6)＋eq\f(3,x)＝1聯(lián)系生活實(shí)際，編寫一道應(yīng)用題.2.一小船由A港到B港順流需行6小時(shí)，由B港到A港逆流需行8小時(shí)，一天，小船從早晨6點(diǎn)由A港出發(fā)順流到B港時(shí)，發(fā)現(xiàn)一救生圈在途中掉落水中，立刻返回，1小時(shí)后找到救生圈.問：(1)若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小時(shí)？(2)救生圈是何時(shí)掉入水中的？【板書設(shè)計(jì)】列分式方程解決實(shí)際問題工程問題：(eq\f(1,12)＋eq\f(1,2x))×1＝eq\f(1,2)eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,2x)＝1【教學(xué)反思】本節(jié)課整堂精心鋪墊，結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容采用“問題情境——建立數(shù)學(xué)模型——解釋應(yīng)用與拓展”的模式展開，選擇生動(dòng)有趣的、有現(xiàn)實(shí)意義的.對學(xué)生具有一定挑戰(zhàn)性的、有助于學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新的內(nèi)容，使學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中建立數(shù)學(xué)模型，并用數(shù)學(xué)模型描述日常生活，從而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程成為數(shù)學(xué)方法的掌握和數(shù)學(xué)思想的建構(gòu)的過程，讓學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和應(yīng)用意識，能夠自覺地用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.第3課時(shí)含字母系數(shù)的分式方程【教學(xué)目標(biāo)】1.會解簡單的字母系數(shù)的分式方程，能應(yīng)用分式方程的解法進(jìn)行簡單的公式變形.2.以路程問題為依托，正確分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，找準(zhǔn)等量關(guān)系，進(jìn)而列出分式方程，加深對方程模型的認(rèn)識.【重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)：通過建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)展思維以及解含字母系數(shù)的分式方程.難點(diǎn)：通過建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)展思維以及解含字母系數(shù)的分式方程.┃教學(xué)過程設(shè)計(jì)┃教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課問題：動(dòng)物趣聞自從上次龜兔賽跑烏龜大勝兔子以后，它就成了動(dòng)物界的體育明星，可是偏偏有一只螞蟻不服氣，于是它給烏龜下了一封挑戰(zhàn)書.烏龜先生：我與你進(jìn)行比賽，兔子先生做裁判，從小柳樹開始跑到相距12米的大柳樹下，比賽槍聲響后，先到者是冠軍.螞蟻比賽結(jié)束后，螞蟻并沒有取勝，已知烏龜?shù)乃俣仁俏浵伒?.2倍，提前1分鐘跑到終點(diǎn)，請你算算它們各自的速度.本問題將分式方程的應(yīng)用鑲嵌于學(xué)生喜聞樂見的童話故事中，意在撥開學(xué)生的興趣之門，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，知趣共融，雙收雙贏.二、師生互動(dòng)，探究新知為了幫助學(xué)生形成對此類問題清晰的思路，學(xué)會使用列表等輔助手段，特出示以下表格，讓學(xué)生填空.設(shè)螞蟻的速度為x米/分.速度(米/分)路程(米)時(shí)間(分)螞蟻烏龜教師板書解題過程.教學(xué)說明：在解答過程中，有關(guān)路程問題的關(guān)系式——路程＝速度×?xí)r間得到強(qiáng)化，為后續(xù)學(xué)習(xí)打開局面.另外，本題的思路不唯一，可根據(jù)速度關(guān)系或時(shí)間關(guān)系列方程，要注意方法的多樣化.解答完成后，要不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行德育教育，激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)烏龜這種鍥而不舍的精神，做學(xué)習(xí)中的常勝將軍.有了情境帶來的興致，就容易激發(fā)學(xué)生高漲的熱情，教師要善于利用圖表幫助學(xué)生理清思路，展開充分的交流，把涉及路程問題的規(guī)律揭示出