高三數(shù)學復習立體幾何基礎題題庫(有詳細答案)

立體幾何基礎題題庫及詳細答案

1、二面角a-/-萬是直二面角，Aea,Be/3,設直線N8與a、夕所成的角分別為/I和N2,貝U

(A)Zl+Z2=90O(B)Zl+Z2>90°(C)Zl+Z2^90°(D)Zl+Z2<90°

解析：C

如圖所示作輔助線，分別作兩條與二面角的交線垂直的線，則N1和N2分別為直線AB

與平面夕所成的角。根據(jù)最小角定理：斜線和平面所成的角，是這條斜線和平面內經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中

最小的角ZABO>Z2???ZABO+N1=90°r.Z2+Z1<90°

2.下列各圖是正方體或正四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點，這四個點中不外國的-一個圖是

(A)(B)(C)(D)

D

解析：A項：PS底面對應的中線，中線平行QS,PQRS是個梯形

C項：是個平行四邊形

D項：是異面直線。

3.有三個平面a,B,Y,下列命題中正確的是

(A)若a,￡,，兩兩相交，則有三條交線(B)若a_L￡,alr,則￡〃r

(C)若a_Lr,a=a,BAy=b,則a±b(D)若a〃￡,8cr=0,則aCr=0

D

解析：A項：如正方體的一個角，三個平面相交，只有一條交線。

B項：如正方體的?個角，三個平面互相垂直，卻兩兩相交。

C項：如圖

4.如圖所示，在正方體一小BCQi的側面4S內有一動點尸到直線48與直線51G的距離相等，則動點尸

所在曲線的形狀為

C

解析：B￡，平面/團._LP5,.如圖:P點到定點B的距離與到定直線AB的距離相等，建立

坐標系畫圖時可以以點&B的中點為原點建立坐標系。

5.在正方體/BCD一小中與成60°角的面對角線的條數(shù)是

(A)4條(B)6條(C)8條(D)10條

C

解析：如圖這樣的直線有4條，另外，這樣的直線也有4條，共8條。

6.設4B,C,。是空間不共面的四點，且滿足方?就=0,元?而=0,9.詬=0,則△88是

（A）鈍角三角形（B）直角三角形（C）銳角三角形（D）不確定

C

解析：假設AB為a,AD為b,AC為c,且a>b>c則，BD=y/a2+b2,8=S+b?,BC=JQ2+C2如圖

7.設a、b是兩條不同的直線，a、B是兩個不同的平面，則下列四個命題()

①若aJ_b,a_La則6〃a②若a〃a,a_L則a±夕

③a±￡,a_L夕，則a〃a④若aLb,a±a,h_L則a_L(3

其中正確的命題的個數(shù)是()

A.0個B.1個C.2個D.3個

B解析：注意①中b可能在a上;③中。可能在a上；④中1)〃(1,或bea均有a_L/?,

故只有一個正確命題

8.如圖所示，已知正四棱錐S一-ABCD側棱長為正，底

面邊長為百，E是SA的中點,則異面直線BE與SC

所成角的大小為()

A.90°B.6()0S

，A

C.45°D.3(

AB

B解析：平移SC到SB,運用余弦定理可算得8E=S￡=Se=J5.

9.對于平面M與平面N,有下列條件:①M、N都垂直于平面Q;②M、N都平行于平面Q;③M內不共線的三點

到N的距離相等;④/,M內的兩條直線,且"/M,m〃N;⑤/,m是異面直線，且IIIM,m//M;///N,m//N,則可判

定平面M與平面N平行的條件的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3

只有②、⑤能判定M//N,選B

10.已知正三棱柱ABC—AiBCi中,A|B_LCBi，則A】B與ACi

所成的角為

（A）45°（B）60°

(C)90°(D)120°

C解析：作CDLAB于D,作C|D」A|B|于D”連BQ、AD”易知ADBQi是平行四邊形，由三垂線定理得A|B

_LAG，選C。

11.正四面體棱長為1,其外接球的表面積為

rr35

A.J3"B.一"C.一口D.3萬

22

解析：正四面體的中心到底面的距離為高的l/4o（可連成四個小棱錐得證

12.設有如下三個命題：甲：相交直線/、m都在平面a內，并且都不在平面B內；乙：直線/、m中至少有一條與平

面6相交；丙：平面a與平面B相交.

當甲成立時，

A.乙是丙的充分而不必要條件B.乙是丙的必要而不充分條件

C.乙是丙的充分且必要條件D.乙既不是丙的充分條件又不是丙的必要條件

解析：當甲成立，即“相交直線/、m都在平面a內，并且都不在平面B內”時，若“/、m中至少有一條與平面B相

交”，則“平面a與平面B相交.”成立；若“平面a與平面。相交”，則“/、m中至少有一條與平面6相交”也成立.選

（C）.

13.已知直線機、〃及平面a,其中加〃〃，那么在平面。內到兩條直線機、〃距離相等的點的集合可能是：（1）一條

直線；（2）一個平面；（3）一個點；（4）空集.其中正確的是

解析：（1）成立，如切、〃都在平面內，則其對稱軸符合條件；（2）成立，m、〃在平面a的同一側，且它們到a的距

離相等，則平面a為所求，（4）成立，當加、〃所在的平面與平面a垂直時，平面a內不存在到加、〃距離相等的點

14.空間三條直線互相平行，由每兩條平行線確定一個平面,則可確定平面的個數(shù)為（）

A.3B.1或2C.1或3D.2或3

解析：C如三棱柱的三個側面。

15.若a、6為異面直線，直線c〃o,則c與6的位置關系是（）

A.相交B.異面C.平行D.異面或相交

解析：DBQ在平面AC上的射影BD與AC垂直，根據(jù)三垂線定理可得。

17.如圖，點P、Q、R、S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點，則直線PQ與RS是異面直線的一個

圖是（）

解析：CA,B選項中的圖形是平行四邊形，而D選項中可見圖:

18.如圖，是一個無蓋正方體盒子的表面展開圖，A、B、C為其上的三個點，則在正方體盒子中，NABC等于

C.90°D.120°C

解析：B如圖a

★右圖是一個正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題:

①AB與CD所在直線垂直；②CD與EF所在直線平行

③AB與MN所在直線成60°角;?MN與EF所在直線異面

其中正確命題的序號是()

A.①③B.①④C.②③D.③④

解析：D

◎DB

19.線段勿，OB,仇?不共面，ZAOB-ZBOOZ(7614=600,如1,小2,心3,則是

()

A.等邊三角形B北等邊的等腰三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

222

解析：B.設AOx,AB=y,BOz,由余弦定理知：x=l+3-3=7,y=l+2-2=3,z=2+3-6=7o

比是不等邊的等腰三角形，選(6).

TT

20.若a,b,/是兩兩異面的直線，a與。所成的角是生，I與a、/與8所成的角都是a,

3

則a的取值范圍是()

A.["]D.

6662

解析：D

解當/與異面直線a,b所成角的平分線平行或重合時，a取得最小值三，當，與a、b的公垂線平行時，a取得最大

6

值上，故選（〃）.

2

21.小明想利用樹影測樹高，他在某一時刻測得長為1m的

竹竿影長0.9m,但當他馬上測樹高時，因樹靠近幢建

筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墻如圖所

示.他測得留在地面部分的影子長2.7m,留在墻壁部分的

影高1.2m,求樹高的高度（太陽光線可看作為平行光線）

4.2米

CD

解析:樹高為AB,影長為BE,CD為樹留在墻上的影高，J.上上==12=」1-,CE=l.08米,樹影長BE=2.7+1.08=3.78

CECE0.9

米，樹高AB=^BE=4.2米。

0.9

22.如圖，正四面體〃—（空間四邊形的

四條邊長及兩對角線的長都相等）中，瓦廠分別是

棱8c的中點，則

EF和〃。所成的角的大小是.

解析：設各棱長為2,則EF=J5,取AB的中點為M,

23.OX,OY,OZ是空間交于同一點。的互相垂直的三條直

線，點P到這三條直線的距離分別為3,4,7,則OP長

為.

解析：在長方體OXAY—ZBPC中，OX.OY,OZ是相交的三條互相垂直的三條直線。又PZ±OZ,PY1.OY,PX±OX,

有。*+。?2=49,Of=0^=9,OY2+OZ2=16,

得歐+0W=37,0六國.

24.設直線a上有6個點，直線方上有9個點，則這15個點，能確定個不同的平面.

解析：當直線。，6共面時，可確定一個平面；當直線。，6異面時，直線。與6上9個點可確定9個不同平面,

直線b與。上6個點可確定6個不同平面，所以一點可以確定15個不同的平面.

25.在空間四邊形ABCD中，E,F分別是AB,BC的中點.求證：EF和AD為異面直線.

解析：假設EF和AD在同一平面1內，…（2分），則A,B,E,Fe?；...（4分）又A,EeAB,，ABUa,

...Bea,...（6分）同理Cea...（8分）故A,B,C,Dea,這與ABCD是空間四邊形矛盾。；.EF和AD為

異面直線.

26.在空間四邊形ABCD中，E,H分別是AB,AD的中點，F(xiàn),G分別是CB,CD的中點，若AC+BD=a,ACBD

=b,求EG^+FH，

解析：四邊形EFGH是平行四邊形，........（4分）

EG2+FH2=2(EF2+FG2)=^(AC2+BD2)=^(a2-2b)

27.如圖，在三角形/ABC中，NACB=90。，AC=b,BC=a,P是/ABC所在

平面外一點，PB±AB,M是PA的中點，AB±MC,求異面直MC與PB間的距離.

解析:作MN//AB交PB于點N.（2分）：PB_LAB,.?.PBJ_MN。（4分）又AB_LMC,

AMN±MC.（8分）MN即為異面直線MC與PB的公垂線段,（10分）其長度就是MC與PB

之間的距離，則得MN=，AB=Lj^壽.

22

28.已知長方體ABCD—A|BiGD|中,A|A=AB,E、F分別是BD“nAD中點.

（1）求異面直線CDi、EF所成的角;

（2）證明EF是異面直線AD和BD,的公垂線.

（1）解析：；在平行四邊形中，E也是ZG的中點，，瓦'〃G。，（2分）

兩相交直線DC與CD1所成的角即異面直線CDi與EF所成的角.（叱

A,A=AB,長方體的側面488/”CD2G都是正方形

,；.D|CJ_CD|D

二異面直線CD1、EF所成的角為90°.（7分）

(2)證：設AB=AA]=a,?.,D]F=gF).-.EFIBD1.(9分)

由平行四邊形5/￡>|G，知E也是Ng的中點，且點E是長方體ABCD—A|B|C|D|的對稱中心，（12分），EA=ED,

AEF1AD,又EF_LBD|,，EF是異面直線BD1與AD的公垂線.（14分）

29./ABC是邊長為2的正三角形，在/ABC所在平面外有一點P，

PB=PC=—,PA=-,延長BP至D,使BD=V7,E是BC的中點，求AE

22

和CD所成角的大小和這兩條直線間的距離.

解析：分別連接PE和CD,可證PE//CD,（2分）則/PEA即是AE和CD所成

角.（4分）在Rt/PBE中,

PB=且，BE=1,：.PE=—.在ZAEP中，AE=5

22

3+U,

cosZ.AEP-44」

2.632

2

AZAEP=60°,即AE和CD所成角是60°.（7分）

VAE±BC,PE±BC,PE〃DC,...CDLBC,...CE為異面直線AE和CD的公垂線段,（12分）它們之間的距離為1.（14分）

30.在正方體ABCD—AIBIGDI中，E,F,G,H,M,N分別是正方體的棱AB,BC,C￡，GA，24的

中點，試證：E,F,G,H,M,N六點共面.

解析：；EN〃MF,；.EN與MF共面a,（2分）又；EF〃MH,；.EF和MH共面夕.（4分）；不共線的三點E,F,M

確定?個平面，（6分）.?.平面a與4重合，.?.點Hea。（8分）同理點Gea.（10分）故E,F,G,H,M,N六點

共面.

31.三個互不重合的平面把空間分成六個部份時，它們的交線有（）

A.1條B.2條C.3條D.1條或2條

D

解析：分類：1）當兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，有兩條交線；2）當三個平面交于一條

直線時，有一條交線，故選D

32.兩兩相交的四條宜線確定平面的個數(shù)最多的是()

A.4個B.5個C.6個D.8個

解析：C如四棱錐的四個側面，C：=6個。

33..在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上分別取E、F、G、H四點如果EF與HG交于點M,則

（）

A.M一定在直線AC上

B.M一定在直線BD上

C.M可能在AC上，也可能在BD上

D.M不在AC上，也不在BD上

解析：?.?平面ABCA平面ACD=AC,先證MG平面ABC,Md平面ACD,從而MdAC

A

34..用一個平面去截正方體。其截面是一個多邊形，則這個多邊形的邊數(shù)最多是_______

解析：6條

35.已知：aua,bua,acb=A,Peb,PQHa.

求證：PQua..（12分）

本題主要考查用平面公理和推論證明共面問題的方法.

解析：???PQ〃a,，PQ與a確定一個平面直線au』,點Pw/.

?：peb,bua,:,pea

又,.?quar.a與磨;合/.PQca

36.已知ZXABC三邊所在直線分別與平面a交于P、Q、R三點，求證：P、Q、R.三點共線。（12分）

本題主要考查用平面公理和推論證明共線問題的方法

解析：???A、B、C是不在同一直線上的三點

.?.過A、B、C有一個平面￡/

又?.?/8ca=P，且----&

.所在納又在岫，設同繆三墨漿

37.已知：平面ac平面￡=u=Z,cu〃且c〃a,

求證：b、c是異面直線

解析：反證法：若b與c不是異面直線，則b〃c或b與c相交

⑴若b〃c.aIIc,aIIb這與acb=4矛盾

（2）若b,c相交于8,則Be夕，又。cb=4J.4e夕

48u￡,即bu。這與be0=X矛盾

.?.b,c是異面直線.

38.在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2,E、F分別是AB、CD的中點，EF=g,求AD與BC所成角的大小

（本題考查中位線法求異面二直線所成角）

解析：取BD中點M,連結EM、MF,則

r1r1

EMH/O,且EM=-AD=T,MF〃6c且MF=-6C=1,

22

在AME戶中，：EF=VI由余弦定理得cosNEMF=-EF?=1+1-3=一［

2EMMF22

NEMF=12。"

.?.異面直線425C所成角的大小為60°

39.如圖，在正方體ABCD—AIBICQI中，M、N分別為棱AA〕和BBi的中點，求異面直線CM與D|N所成角的

正弦值.（14分）

（本題考查平移法，補形法等求異面二直線所成角）

解析：取DDi中點G,連結BG,MG,MB,GC得矩形MB（

則BG和MC所成的角為異面直線CM與D|N所成的角.

a

MC2=MA2+AC2=（5。）2（設正方體的棱長為a）

BC=a

cosZ.BOC=—sinZBOC=—

99

而CM與D|N所成角的正弦值為85

9

40.如圖，P是正角形ABC所在平面外一點，M、N分別是AIPB=PC=AB=a。

（1）求證：MN是AB和PC的公垂線

（2）求異面二直線AB和PC之間的距離

解析：(1)連結AN,BN,???△APC與aBPC是全等的正三角形，又N是PC的中點

；.AN=BN

又是AB的中點，，MNJ_AB

同理可證MN1PC

XVMNAAB=M,MNAPC=N

AMN是AB和PC的公垂線。

(2)在等腰在角形ANB中,■；AN=BN=^-a,AB=a,:.MN=^AN2=^-a

即異面二直線AB和PC之間的距離為YZq.

2

41空間有四個點，如果其中任意三個點都不在同--條直線上，那么經(jīng)過其中三個點的平面[]

A.可能有3個，也可能有2個B.可能有4個，也可能有3個

C.可能有3個，也可能有1個D.可能有4個，也可能有1個

解析：分類，第一類，四點共面，則有一個平面，第二類，四點不共面，因為沒有任何三點共線，則任何三點都確定

一個平面，共有4個。.

42.下列命題中正確的個數(shù)是[]

①三角形是平面圖形②四邊形是平面圖形

③四邊相等的四邊形是平面圖形④矩形一定是平面圖形

A.1個B.2個C.3個D.4個

解析：命題①是正確的，因為三角形的三個頂點不共線，所以這三點確定平面。

命題②是錯誤，因平面四邊形中的一個頂點在平面的上、下方向稍作運動，就形成了空間四邊形。命題③也是錯誤，

它是上一個命題中比較特殊的四邊形。

命題④是正確的，因為矩形必須是平行四邊形，有一組對邊平行，則確定了一個平面。

43.如果一條直線上有一個點不在平面上，則這條直線與這個平面的公共點最多有—1個。

解析：如果有兩個，則直線就在平面內，那么直線上的所有點都在這個平面內，這就與已知有一個點不在平面上矛盾,

所以這條直線與這個平面的公共點最多有一個。

44.空間一條直線及不在這條直線上的兩個點，如果連結這兩點的直線與已知直線,則它們在同一平面內。答

案：相交或平行

解析：根據(jù)推論2,推論3確定平面的條件。

45.三角形、四邊形、正六邊形、圓，其中一定是平面圖形的有3個。

解析：三角形的三個頂點不在一條直線上，故可確定一個平面，三角形在這個平面內；圓上任取三點一定不在條直

線上，這三點即確定一個平面，也確定了這個圓所在的平面，所以圓是平面圖形；而正六邊形內接于圓，故正六邊形

也是平面圖形；而四邊形就不一定是平面圖形了，它的四個頂點可以不在同一平面內。

46.三條平行直線可以確定平面?zhèn)€。答案：1個或3個

解析：分類、一類三線共面，即確定一個平面，另一類三線不共面，每兩條確定一個，可確定3個。

47.畫出滿足下列條件的圖形。

(1)aD6=1,aUa,bUB,aAb=A

(2)anB=a,buB,b〃a

解析：如圖1-8-甲，1-8-乙

48.經(jīng)過平面1外兩點A,B和平血。垂直的平面有幾個？

解析：一個或無數(shù)多個。

當A,B不垂直于平面a時，只有一個。

當A,B垂直于平面a時，有無數(shù)多個。

49.設空間四邊形ABCD,E、F、G、H分別是AC、BC、DB、DA的中點，若AB=12ji,CD=4Ji,且四邊形EFGH的

面積為12JL求AB和CD所成的角.

解析：由三角形中位線的性質知，HG"B,HE〃D,「./HG就是異面直線AB和CD所成的角.

,/EFGH是平行四邊形，HG=-AB=6A/2,

2

HE=-,CD=2A/J，

2AD

SMI=HG-HE-sin^HG=1276sin^EHG,Al2后sin/HG/\=126.

A,B

-G*

故/HG=45。.

2

AB和CD所成的角為4為

注：本例兩異面直線所成角在圖中已給，只需指出即可。

50.點A是BCD所在平面外一點，AD=BC,E、F分別是AB、CD的中點，且EF=1二AD,求異面直線AD和BC所成的角。

（如圖）

解析：設G是AC中點，連接DG、FG。因D、F分別是AB、CD中點，故EGZBC且

EG--BC,FG4D,且FG=，AD,由異面直線所成角定義可

知EG與FG所成銳角或

22

知EG=GF=1AD,又

直角為異面直線AD、BC所成角，即/GF為所求。由BC=AD

2

EF=AD,由余弦定理可得cos/GF=0,即/GF=90。。

注：本題的平移點是AC中點G,按定義過G分別作出了兩條異面直線的

平行線，然后在4EFG中求角。通常在出現(xiàn)線段中點時,常取另一線段中點，以

構成中位線，既可用平行關系，又可用線段的倍半關系。

51.已知空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分別為BC、AD的中點。

求：AM與CN所成的角的余弦值；

解析：⑴連接DM,過N作NE〃AM交DM于E,則NCNE

為AM與CN所成的角。

VN為AD的中點,NE〃AM省/.NE=|AM且E為MD的中點。

1.x/3-731

設正四面體的棱長為1,則NC=±?也=也且ME=±MD=在

2242

…2，2317

為△AMEC中，CE2=ME2+CM2=—+-=—

16416

V32732_7

222

CN4-NE-CE4+41A2

.?.COSNCNE=5——=上——廠416=XVZCNE

2-CN-NEV3V33

2,—,—

44

e（0,-）

2

2

二異面直線AM與CN所成角的余弦值為一.

3

注：1、本題的平移點是N,按定義作出了異面直線中?條的平行線，然后先在4CEN外計算CE、CN、EN長，再回到4CEN

中求角。

2、作出的角可能是異面直線所成的角，也可能是它的鄰補角，在直觀圖中無法判定，只有通過解三角形后，根據(jù)這個

角的余弦的正、負值來判定這個角是銳角（也就是異面直線所成的角）或鈍角（異面直線所成的角的鄰補角）。最后作

答時，這個角的余弦值必須為正。

AFBE1

52..如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點E、F分別是BC、AD上的點，已知AB=4,CD=20,EF=7,

而一記一3

求異面直線AB與CD所成的角。

RG1

解析：在BD上取一點G,使得■—=-,連結EG、FG

GD3

EG_BE

在ABCD中，-,故EG//CD,并且--

ECGDcoSC4

所以，EG=5；類似地,可證FG//AB，且土F史G="DF=巳3

ABAD4

故FG=3,在AEFG中，利用余弦定理可得

cosZ

cEG2+GF2-EF232+52-72

FGE=------------------=------------故NFGE=120°。

2EGGF2-3-52

另一方面，由前所得EG//CD,FG//AB,所以EG與FG所成的銳角等于AB與CD所成的角，于是AB與CD所

成的角等于60°。

53.在長方體ABCD-ABCD中,AA,=c,AB=a,AD=b,且a>b.求ACi與BD所成的角的余弦.

解一：連AC,設ACABD=0,則0為AC中點，取3C的中點F,連OF,貝ljOF〃AC1且OF=1AC1,所以/FOB即為

2

22

AC1與DB所成的角。在aFOB中，,QF=1,BE=^^/)+^c,由余弦定理得

cosZ

AB

-(a~+b2)+^(a2+h~+c2)-(h^+->c2)2.2

0B=^---------<4a-b

2--^a2+b2.yla2+b2+c2^a2+b2)(a2+b2+c2)

4

解二：取AG中點a,BB中點G.在△CQ6中，ZCQG即AC1與DB所成的角。

解三：.延長CD到E,使ED=DC.則ABDE為平行四邊形.AE〃BD,所以/EAC即為AC與BD所成的角.連EC,在4

AEC1

中，AE=7a2+b2,ACl=7a2+b2+c2,ClE=j4q2+c2由余弦定理,得

(a2+b2)+(a-+b2+c2)-(4?2+c2)b2-a2

cosZEACi=<0

2」a2+〃?Ja2+〃+c>7(a2+b2)(a2+b2+c2)

所以/EAG為鈍角.

a2-b2

根據(jù)異面直線所成角的定義，AC,與BD所成的角的余弦為,

^(a2+b2Xa2+b2+c2)

54.已知AO是平面a的斜線，A是斜足，OB垂直a,B為垂足，則

直線AB是斜線在平面a內的射影，設AC是a內的任一條直線,

解析：設AO與AB所成角為R，AB與AC所成角為仇，AO與AC所成角為0,則有

COS0=COS0,cos020

在三棱錐s—ABC中，ZSAB=ZSAC=

ZACB=90°,AC=2,BC=ESB=6^,求異面直線SC與AB所成角的大小。(略去了該題的1,2問)

由SAJ_平面ABC知，AC為SC在平面ABC內的射影,

設異面直線SC與AB所成角為0,

則cos0=cosZSCA?cosABAC,

由AC=2,BC=?SB=C^得AB=歷，SA=25,SC=2

cos/LSCA=—,cos^.BAC――產(chǎn)=，

2V17

cosG=,即異面直線SC與AB所成角為arccos由7。

1717

55.已知平行六面體/BCD-48cM的底面ABCD是菱形，且

NgCB=NgCD=NBCD=60°,證明C.C1BD.

（略去了該題的2,3問）

解析：設G在平面ABCD內射影為H,則CH為C[C在平面ABCD內的射影,

cosNC\CD-cosZ.C{CH-cosZ.DCH,

cos4C\CB=cos/CRH-cosZBCH,

由題意NC?D=NgCB,：.cosZDCH=cosZBCH?

又?；NDCH,NBCH70K)

：.ZDCH=ZBCH,從而CH為NDCB的平分線,

又四邊形ABCD是菱形，CH1BD

G。與BD所成角為90°,即GC方。

56..在正四面體ABCD中，E,F分別為BC,AD的中點,

求異面直線AE與CF所成角的大小。

解析：連接BF、EF,易證AD_L平面BFC,

二EF為AE在平面BFC內的射影，

設AE與CF所成角為。，

二cos0=cosNAEF-cosZ.CFE,

V3

設正四面體的棱長為a,則===,

2

五

顯然EF±BC,；.EF=——a,

2

EFV6

.?.c°sZAEF=^=旦cosZAFE=—=—

AE3CF3

22

:.cos0=—,即AE???與CF所成角為arccos—o

33

57.三棱柱OAB-O]A、B],平面OBBR，平面OAB,

NOi08=60,,乙408=90",且08=OQ=2,0/=百，求異面直線與ZO1所成角的大小，（略去了該題的

1問）

解析：在平面8。內作8cL于C,連4。,

由平面平面AOB,408=90°知，

AOJ_平面5OO|81,AOU3C,

又/Oc。。=O,BCL平面ZOO/i，

4c為48在平面NOQ4內的射影。

設48與所成角為e,4c與/01所成角為仇，

貝iJcose=cos/84Ccos%，

由題意易求得8C=JJ,4c=2,48=J7,

AC_2

cosNB4c=}

A{B—41

cos%=也

在矩形ZOQ4中易求得4。與401所成角0的余弦值:

2214

cos0=cosNBA】C?cosd=—,

127

即4臺與〃O1所成角為arccosy?

58.已知異面直線。與b所成的角為50°,P為空間一定點，則過點P且與。，6所成的角均是30"的直線有且只有（）

A、1條B、2條C、3條D、4條

解析：過空間一點P作。〃a,b,//b,則由異面直線所成角的定義知：。’與d的交角為50°,過P與d,d成等

角的直線與a,6亦成等角，設a,Z/確定平面a,a,//交角的平分線為/，則過/且與a垂直的平面（設為0）

內的任一直線，與a,6成等角（證明從略），由上述結論知：「與a,6所成角大于或等于/與a,6'所成角25°,

這樣在B內/的兩側與a,6成30。角的直線各有?條，共兩條。在a,//相交的另?個角130°內，同樣可以作過130。

角平分線且與a垂直的平面丫，由上述結論知，丫內任一直線與“，6’所成角大于或等于65°,所以丫內沒有符合要求

的直線，因此過P與a,方成30°的直線有且只有2條，故選（B）

59.垂直于同一條直線的兩條直線的位置關系是（）

A.平行B.相交

C.異面D.以上都有可能

解析：D

60.lt，b是兩條異面直線，直線明、m2與1卜b都相交，則mi、m2的位置關系是（)

A.異面或平行B.相交

C.異面D.相交或異面

61.在正方體AA，異面的直線共有幾條

)

A.4B.6

C.8D.10

解析：A

62.在正方體ABCD-A'BCTT中12條棱中能組成異面直線的總對數(shù)是

（）

A.48對B.24對

C.12對D.6對

解析：B

B棱AA，有4條與之異面，所以，所有棱能組成4X12=48對，但每一對都重復計算一次，共有24對.

63..正方體人8?。從出0中,異面直線0和8。所成的角的度數(shù)是（）

A.45°B.6O0

C.90°D.120°

解析：B

NAD，C=60°即為異面直線CD，和BC所成的角的度數(shù)為60°

64.異面直線a、b,aJ_b,c與a成30°角,則c與b成角的范圍是

)

[77][77]

rit2n-I

LTTJ[TT]

D.

，直線c在cl位置時