第二十二屆“華杯賽”決賽小高組試題A詳細(xì)解答

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第二十二屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽決賽試題A(小學(xué)高年級(jí)組)詳細(xì)解答【解】：∵2017∴[201711×3]=[183類似地，可知：[201711×4]=183×4+1；[201711×6]=183×6+2；[201711×7]∴原式=183×[3+4+5+6+7+8【答】：所求值為6048?！窘狻浚杭僭O(shè)原來(lái)四個(gè)整數(shù)分別為a,b,c,d,則按照題意所求的四個(gè)數(shù)的表達(dá)式分別為：∵a+b+c∴a+b+c+d=12×【答】：原來(lái)給定的4個(gè)整數(shù)的和為20?！窘狻浚悍秩N情形，共有10種不同擺法，如下圖：兩個(gè)點(diǎn)都在第一行；（2）兩個(gè)點(diǎn)不在同一行但相鄰；（3）兩個(gè)點(diǎn)不在同一行且不相鄰；【答】：共有10種不同的擺放方法?！窘狻浚涸O(shè)甲的速度為V甲，乙的速度為V乙，AB兩地距離為SAB，BC兩地距離為SBC根據(jù)題意可知：V甲=80÷2=40(千米/小時(shí))，甲原來(lái)的速度的2倍為80(千米/小時(shí))所以，BC兩地距離：SBC=2×80=160(千米)又，乙從B地到C地花了2.5小時(shí)，所以，乙的速度為：V乙=SBC÷2.5=160÷2.5=64(千米/小時(shí))【答】：乙的速度為64千米/小時(shí)。

【解】：設(shè)兩個(gè)小組都參加的人數(shù)為單位1，則：只參加書法小組的人數(shù)為72，只參加朗誦小組的人數(shù)為∴參加書法小組的總?cè)藬?shù)為72+1=92∴書法小組與朗誦小組人數(shù)比=92︰6=9︰12=【答】：書法小組與朗誦小組人數(shù)比是3:4。【解】：作DE垂直于AB交于E，作CF垂直于AB交于F則：S⊿ABD=12AB×DE,S⊿ABC=1∴S⊿ABD+S⊿ABC=12AB∵DE、MH和CF都是AB的垂線，∴DE∥MH∥CF∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，∴MH是梯形EFCD的中位線，從而有：MH=12(DE+CF)=（S⊿ABD+S⊿AB【答】：MH的長(zhǎng)度為8.6厘米。

【解】：根據(jù)題意，a3=S(a2)+S(a1)=S(22)+S(2017)=4+10=14a4=S(a3)+S(a2)=S(14)+S(22)=5+4=9，類似地，我們可以算出：a5=14，a6=14，a7=10，a8=6，a9=7，a10=13，a11=11，a12=6，a13=8，a14=14，a15=13，a16=9，a17=13，a18=13，a19=8，a20=12，a21=11，a22=5，a23=7，a24=12，a25=10，a26=4，a27=5，a28=9，a29=14，a30=14，a31=10，a32=6從中可以找出規(guī)律：從a4項(xiàng)開(kāi)始，每24（注：28-4=24）個(gè)項(xiàng)一次循環(huán)，如下：a4=9，a5=14，a6=14，a7=10，a8=6，……a28=9，a29=14，a30=14，a31=10，a32=6，…………∵(2017-4)÷(28-4)=2013÷24=83余21∴a2017=a(4+21)=a25=10【答】：a2017等于10。【解】：若“華”字確定了擺放位置，則“庚”和“杯”字的位置就確定了。若“羅”字確定了擺放位置，則“金”和“賽”字的位置就確定了?！摺叭A”字和“羅”字各有兩種擺法，且可以任意組合，∴不同的擺放方法總共有：2×【答】：不同的擺放方法總共有4種。

【解】：在5條直線之中，最多的相互平行的直線數(shù)量可能有：5、4、3、2、0五種情況。若五條直線都相互平行，則n=0;若四條直線相互平行，則另外一條直線與這4條直線各有1個(gè)交點(diǎn)，即n=4，若最多三條直線相互平行，則交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能是：6、7或5，依次如下圖：若最多兩條直線相互平行，則交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能是：4、6、8、7或9，依次如下圖：若沒(méi)有直線相互平行，則交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能是：1、5、6、8或10，依次如下圖：綜上所述，交點(diǎn)個(gè)數(shù)可能有：0、1、4、5、6、7、8、9、10。共有9個(gè)不同的數(shù)值?！敬稹浚簄有9種不同的數(shù)值?！窘狻浚阂胧钩匀N水果的人數(shù)最多，則吃兩種水果的人數(shù)均為0，如右圖所示：根據(jù)題意，我們有：70%―X＋40%―X＋30%―X＋X=100%解方程得：X=20%【答】：三種水果都選的學(xué)生數(shù)占學(xué)生總數(shù)至多為百分之20?！窘狻浚涸O(shè)19克的珠子有X個(gè)，17克的珠子有y個(gè)，則：19X＋17y=2017根據(jù)題意，可知：x>0且y>0，所以，x≦106，y≦118∵19X＋17y=17(x+y)+2x而2017=17×118+11=17×117+28=17×115+62=17×113+96=17×111+130=17×109+164=17×107+198=17×105+232=……根據(jù)題意可知，2x為偶數(shù)，且x≦106，所以，2x小于212。從上式可以看出，2X的可能取值為：28、62、96、130、164、198，相應(yīng)地X+Y的可能取值為：117、115、113、111、109、107。【答】：兩種珠子的數(shù)量和所有可能的值為：117、115、113、111、109、107?！窘狻浚骸遪是三位數(shù)，∴100≦n≦999,(5n+1)―(3n+2)=2n―1>0即：5n+1>3n+2∵(5n+1)<(6n+1)<(6n+4)<2(3n+2)，∴(5n+1)÷(3n+2)<2用轉(zhuǎn)輾相除法求最大公約數(shù)，步驟如下：(5n+1)÷(3n+2)=1余2n-1;(3n+2)÷(2n-1)=1余n+3;(2n-1)÷(n+3)=1余n-4;(n+3)÷(n-4)=1余7;因此，要想(5n+1)和(3n+2)的最大公約數(shù)大于1，則(n-4)必須是7的倍數(shù)。滿足上述條件的三位數(shù)n有：102,109,116，……,991,998它們的和為：102+109+116+…+998=[(102+998)÷2]×[(998-102)÷7+1]=70950【答】：所有滿足條件的三位數(shù)n之和等于70950。

【解】：該班至少有2個(gè)同學(xué)生日相同，分析如下：如果得到的答案包含0~14，則說(shuō)明生日屬于某個(gè)月份或某個(gè)號(hào)數(shù)的人數(shù)應(yīng)該為1~15∵1+2+3+4+…+15=120=2X60,∴根據(jù)抽屜原理，所有同學(xué)的生日的月份都必須屬于這些月份之中的某一個(gè)，同時(shí)也必須屬于這些號(hào)數(shù)的某一個(gè)。以下是某一種可能的情形：一月二月三月四月五月六月日小計(jì)1號(hào)11000022號(hào)01200033號(hào)20020044號(hào)22200065號(hào)22120076號(hào)22220087號(hào)22221098號(hào)222220109號(hào)22222111月小計(jì)151413125160【答】：該班至少有兩位同學(xué)生日相同。(下一題轉(zhuǎn)下一頁(yè))

【解】：根據(jù)題意可知，所有格子里面的數(shù)字之和為45，因此，存在一個(gè)正整數(shù)K，使得：K*X=45-4-5-X即(K+1)X=36，注意：此處K+1為正整數(shù)?！郮可能的取值從大到小依次為：9、6、4、3、2、1。假定X周邊6個(gè)格子里面的數(shù)字依次為a到f,如右圖所示。下面分情況討論：若X=9,則a+b=4或8（因?yàn)閍和b不能等于4、9，所以a+b不可能等于12）若a=1,b