高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第3講

./第3講導(dǎo)數(shù)與微分高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的主要研究對(duì)象是函數(shù),函數(shù)是變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,怎樣研究函數(shù)的變化是這一講的主要問(wèn)題.3.1導(dǎo)數(shù)的概念一、函數(shù)的變化率對(duì)于函數(shù),我們要研究怎樣隨變化,進(jìn)一步我們還要研究變化的速率,可以先看看下面這個(gè)圖我們可以看出,對(duì)于相同的自變量的改變量,所對(duì)應(yīng)的函數(shù)改變量是不同的.可以表示變化的速率,但這是一個(gè)平均速率,怎樣考慮函數(shù)在一點(diǎn)的變化率呢？二、導(dǎo)數(shù)的概念根據(jù)前面的介紹,我們給出下面的定義.定義3.1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,對(duì)應(yīng)于自變量在處的改變量,函數(shù)相應(yīng)的改變量為,如果當(dāng)時(shí)極限存在,則此極限值稱為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),或在點(diǎn)處函數(shù)關(guān)于自變量的變化率,記作,或這時(shí),稱函數(shù)在點(diǎn)處是可導(dǎo)的.根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,我們來(lái)求一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例1根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解根據(jù)定義求導(dǎo)數(shù)通常分三步：〔Ⅰ求：〔Ⅱ求：〔Ⅲ求：因此得出.如果函數(shù)在其定義域內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),那么我們就得到了一個(gè)新的函數(shù),稱為的導(dǎo)函數(shù).在點(diǎn)的函數(shù)值就是在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).例2根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解按照由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：因此得出.例3根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求〔為自然數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解按照由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：因此得出.可以看出上例的結(jié)果與本例的結(jié)果是一致的.例4根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解按照由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：因此得出.這個(gè)結(jié)果可以寫(xiě)成.例5根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解按照由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：因此得出.這個(gè)結(jié)果可以寫(xiě)成從這兩個(gè)例子可以看出公式不僅在為自然數(shù)時(shí)成立,而且當(dāng)和時(shí)也成立.因此我們不妨認(rèn)為對(duì)任意實(shí)數(shù),有.下面再來(lái)看一下利用重要極限求基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)的例子,為此先給出第2個(gè)重要極限的另一種形式的另一種形式是另外,記稱為自然對(duì)數(shù).例6根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解按照由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：注意到,當(dāng)時(shí)有,設(shè),第2個(gè)重要極限公式有且是連續(xù)函數(shù),所以有因此得出.例7根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解按照由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：注意到,當(dāng)時(shí)有,設(shè),據(jù)第1個(gè)重要極限公式有且是連續(xù)函數(shù),所以有因此得出.下面我們給出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義從下面這個(gè)圖中我們可以看出,函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),就是函數(shù)曲線在過(guò)點(diǎn)處的切線的斜率.這樣便可得到切線的方程例8求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程.解,所以.由此得切線方程即.定理3.1若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),則在連續(xù).證由于由定理2.1,有其中是無(wú)窮小量.上式可寫(xiě)成由此得定理3.1的結(jié)論是不可逆的,例如函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),但在該點(diǎn)不可導(dǎo).3.2求導(dǎo)法一、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則我們可以看出,由定義求導(dǎo)是很復(fù)雜的,有了基本導(dǎo)數(shù)公式后也并未使求導(dǎo)的范圍擴(kuò)大多少,為此我們給出下面的運(yùn)算法則：設(shè)函數(shù)和在點(diǎn)處可導(dǎo),則有上述公式我們稱為導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則.根據(jù)第3個(gè)公式還可以得到,若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),為任意常數(shù),則有對(duì)于導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,我們僅就加法和乘法法則加以驗(yàn)證：因?yàn)樗约从忠驗(yàn)樗约蠢?求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：⑴⑵⑶解利用導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和基本導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算：⑴⑵⑶二、復(fù)合函數(shù)導(dǎo)求導(dǎo)法則有了導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則以后,可以求導(dǎo)的函數(shù)類型被大大地?cái)U(kuò)充了.但仍有我們無(wú)法解決的類型,如,等函數(shù).定理3.5設(shè)函數(shù),,且在點(diǎn)處可導(dǎo),在相應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo),且簡(jiǎn)單驗(yàn)證這個(gè)定理.由于在點(diǎn)處可導(dǎo),則在點(diǎn)處連續(xù),因此有.故有由導(dǎo)數(shù)定義得到稱定理3.5為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,也稱為鏈鎖法則.例10求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：⑴⑵⑶⑷解利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行計(jì)算：⑴設(shè),有⑵設(shè),有⑶設(shè),有⑷設(shè),有例11設(shè),求.解因?yàn)樵O(shè),有.由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得三、隱函數(shù)導(dǎo)求導(dǎo)法在下面的方程中的值可以隨著的值而確定,即是的函數(shù).但無(wú)法表示成的表達(dá)式,這種函數(shù)關(guān)系稱為隱函數(shù).例12由方程所確定的函數(shù),求.解等式兩端同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo),左端：右端：由此得解出,得例13設(shè),求.解由已知條件可得等式兩端同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo),左端：右端：由此得解出,得例14設(shè),求.解由已知條件可得等式兩端同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo),左端：右端：由此得解出,得例15設(shè),求.解由已知條件可得等式兩端同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo),左端：右端：由此得解出,得3.3微分一、微分的概念在前面的討論中,對(duì)于函數(shù),我們經(jīng)常遇到函數(shù)的改變量,也就是從上式的右端看函數(shù)的改變量是自變量改變量的函數(shù),這種函數(shù)關(guān)系一般來(lái)說(shuō)是復(fù)雜的,能否將這種復(fù)雜的關(guān)系用簡(jiǎn)單的關(guān)系來(lái)近似呢？結(jié)論是在可導(dǎo)的情況下是可以的,因?yàn)榇藭r(shí)有即稱為函數(shù)在點(diǎn)處的微分,記為.即或例16求下列函數(shù)的微分：⑴⑵⑶⑷解利用微分定義式：⑴⑵⑶⑷由⑷的結(jié)果得到.因此微分又可記為或根據(jù)上式,導(dǎo)數(shù)的符號(hào)又可記為或微分的幾何意義由下面的圖形可以看出二、微分的運(yùn)算法則微分的運(yùn)算與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算關(guān)系密切,與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算類似,微分也有四則運(yùn)算法則及三、一階微分形式不變性如果函數(shù),,且在點(diǎn)處可導(dǎo),在相應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo),那么對(duì)于復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的微分就有兩種表達(dá)方式,即形式上看以上兩種表示之間似乎存在區(qū)別,進(jìn)一步看以上結(jié)果稱為一階微分形式不變性.例17設(shè),求.解利用一階微分形式不變性得由此得例18由方程所確定的函數(shù),求.解利用微分運(yùn)算法則和一階微分形式不變性,等式兩端分別求微分得左端：右端：由此得整理得得注意到本例的結(jié)果與例12是相同的.3.4高階導(dǎo)數(shù)在本章的開(kāi)始,我們?cè)岬饺绻瘮?shù)