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二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)專(zhuān)題14專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.二次函數(shù)的定義一般地,函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)叫作二次函數(shù),它的定義域是
,它的圖像是
.R一條拋物線【知識(shí)要點(diǎn)】專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)2.二次函數(shù)的解析式(1)一般式:
.(2)頂點(diǎn)式:
(頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n)).(3)交點(diǎn)式:
(與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,0)和(x2,0)).y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-m)2+n(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)3.二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解析式
a>0a<0
圖像專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解析式
a>0a<0
開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)向上向下專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解析式
a>0a<0
對(duì)稱(chēng)軸直線直線專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解析式
a>0a<0
最值當(dāng)
時(shí),當(dāng)
時(shí),專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解析式
a>0a<0
單調(diào)性在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增在
上單調(diào)遞增,在
上單調(diào)遞減專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【三年模擬】1.(2023年江蘇省職業(yè)學(xué)校職教高考聯(lián)盟高三年級(jí)一輪復(fù)習(xí)調(diào)研測(cè)試卷)已知二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2-x)=f(2+x),圖像的頂點(diǎn)在直線y=x+3上,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0)(1)求函數(shù)f(x)的解析式(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,m]上的最小值是-4,求實(shí)數(shù)m的值(3)設(shè)g(x)=f(x)+nx,若g(x)在
上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)n的取值范圍【解析】(1)依題意二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是x=2,設(shè)二次函數(shù)為y=a(x-2)2+c,則函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,c),因此有c=2+3=5,所以函數(shù)為y=a(x-2)2+5.因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(1,0),故0=a(1-2)2+5,解得a=-5,所以函數(shù)f(x)=y=-5(x-2)2+5專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)(2)函數(shù)f(x)=-5(x-2)2+5在[3,m]上單調(diào)遞減,所以在區(qū)間[3,m]上最小值為f(m).即f(m)=-5(m-2)2+5=-4,解得
或
,又因?yàn)閙>3,故(3)函數(shù),則對(duì)稱(chēng)軸,單增區(qū)間是
,依題意有
,即
解得n≥-10專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)2.(2023年浙江省職教高考中職研究組精準(zhǔn)教研數(shù)學(xué)模擬卷二)如圖所示,若拋物線
與
的頂點(diǎn)及它們的交點(diǎn)A,B構(gòu)成一個(gè)正方形,則拋物線C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(
)A.B.C.D.【解析】由圖易得P點(diǎn)坐標(biāo)(0,4),聯(lián)立:
解得
或即A,B,因?yàn)?所以,即
,解得則拋物線C1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
答案選A專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)3.(2023年浙江省紹興市柯橋區(qū)職教中心高考數(shù)學(xué)模擬試卷)函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞減,則
的取值范圍是
【解析】依題意函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是x=2a,則二次函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是故
,即
,所以
的取值范圍是
專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)4.(2022年安徽省中職“江淮十?!睂?duì)口升學(xué)第四次聯(lián)考模擬測(cè)試卷文化素質(zhì)測(cè)試)已知二次函數(shù)
,則f(-1),c,f(1)的大小關(guān)系是(
)A.f(-1)>c>f(1)B.f(1)>c>f(-1)C.c>f(1)>f(-1)D.f(-1)>f(1)>c【解析】二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是x=1,a>0,函數(shù)開(kāi)口向上,在對(duì)稱(chēng)軸取得最小值,故f(1)最小,因?yàn)閏=f(0),函數(shù)在
上調(diào)調(diào)遞減,故f(-1)>f(0).綜上有f(-1)>c>f(1),答案選A專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)5.(2022年江蘇省職教高考一輪復(fù)習(xí)系統(tǒng)性模擬考試)若函數(shù)是定義在
上的偶函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值(2)解不等式【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù),故對(duì)稱(chēng)軸是y軸(x=0),即2+a=0,所以a=-2,又定義域
,故有
,解得b=4.因此a=-2,b=4專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【解析】(2)b=4帶入整理得:
,即解得
,解集為專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【例1】根據(jù)下列條件求二次函數(shù)的解析式.(1)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-5),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,7);(2)二次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)(-3,0),(1,0),(-1,4)三點(diǎn);(3)二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x+1)=f(1-x),且最小值為3,f(0)=5.專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【解析】(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-2)2-5,把點(diǎn)(0,7)代入上式得4a-5=7,解得a=3,∴二次函數(shù)的解析式為y=3(x-2)2-5.(2)∵圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),(1,0),∴可設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+3)(x-1),把(-1,4)代入上式得2×(-2)a=4,a=-1,∴二次函數(shù)的解析式為y=-(x+3)(x-1)=-(x2+2x-3)=-x2-2x+3.專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)(3)∵f(x+1)=f(1-x),∴對(duì)稱(chēng)軸方程為x=1,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3).設(shè)f(x)=a(x-1)2+3,將點(diǎn)(0,5)代入得a+3=5,解得a=2,∴f(x)=2(x-1)2+3.專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【變式練習(xí)1】(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過(guò)(0,-1),(2,5),(-8,15)三點(diǎn),求f(x)的解析式;(2)已知二次函數(shù)f(x)的最大值為1,且f(0)=f(2)=-1,求f(x)的解析式;(3)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+b滿(mǎn)足f(2)=f(4)=-5,求f(x)的解析式.專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【解析】:(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c.由圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-1),(2,5),(-8,15)得
解得∴f(x)=
x2+2x-1.專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)(2)∵f(0)=f(2),∴對(duì)稱(chēng)軸方程為x=1,∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1).設(shè)f(x)=a(x-1)2+1,由f(0)=-1得a=-2,∴f(x)=-2x2+4x-1.(3)∵f(2)=f(4),∴對(duì)稱(chēng)軸方程為x=3,即
=3,解得a=-6,∴f(x)=x2-6x+b.又∵f(2)=22-6×2+b=-5,∴b=3,∴f(x)=x2-6x+3.【總結(jié)反思】1.二次函數(shù)的解析式為本考點(diǎn)的基礎(chǔ)內(nèi)容,要熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、一般式、交點(diǎn)式,根據(jù)已知條件靈活選擇解析式,也可利用待定系數(shù)法求解.2.在解決二次函數(shù)有關(guān)問(wèn)題時(shí),數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)單化,要養(yǎng)成良好的作圖、識(shí)圖、用圖習(xí)慣.專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【課堂自測(cè)題】1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像如圖所示,給出以下四個(gè)結(jié)論:①abc>0;②a+b+c>0;③b2=4ac;④4a+2b+c>0.其中正確結(jié)論的序號(hào)是
.【解析】由題圖知a>0,則b<0,而c<0,∴abc>0.當(dāng)x=1時(shí),y=a+b+c<0.Δ>0,即b2>4ac.根據(jù)圖像的對(duì)稱(chēng)性知x=2時(shí),y<0,即4a+2b+c<0.故只有①正確.專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)2.已知f(x)是二次函數(shù),且滿(mǎn)足f(0)=0,f(x+1)-f(x)=2x.(1)求f(x)的解析式;(2)求使f(x)>0的x的取值范圍;(3)若f(x)的定義域?yàn)閇0,3],求函數(shù)f(x)的值域.專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)【解析】:(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c.由f(0)=0得c=0,∴f(x)=ax2+bx,由f(x+1)-f(x)=2x得a(x+1)2+b(x+1)-(ax2+bx)=2x,化簡(jiǎn)得2ax+a+b=2x.∴解得∴f(x)=x2-x.(2)由f(x)>0得x2-x>0,解得x<0或x>1,∴使f(x)>0的x的取值范圍是(-∞,0)∪(1,+∞).專(zhuān)題14——二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)(3)∵f(x)=x2-x=(x-)2
,且
∈[0,3],∴f(x)min=f()=
,f(x)max=f(3)=6.∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇
,6].專(zhuān)題14——二次函數(shù)的
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