理科數(shù)學(xué)-2021年高三5月大聯(lián)考（新課標(biāo)Ⅰ卷）（全解全析）

2021年高三5月大聯(lián)考(新課標(biāo)I卷)

理科數(shù)學(xué)?全解全析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

123456789101112

BBDCBABADAAC

1.B【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)z=2+3i,所以z2=(2+3i)2=-5+12i,|z|=@+3?=舊,

所以三+|2|=而-5+12，所以在復(fù)平面內(nèi)z?+|z|對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選B.

2.B【解析】因?yàn)閁={x[0<x<2},A={y|y=2",x<0}={y[0<y<l},所以Q,,A={x[14x<2},故選B.

3.D【解析】由題可得y'=lnx+3,令lnx+3=3,解得x=l,將x=l代入y=x(lnx+2),可得y=2,

所以點(diǎn)(1,2)在直線y=3x+6上，所以2=3+6,解得b=T.故選D.

4.C【解析】由分層抽樣可得男性需要6名，女性需要3名，又因?yàn)榧住⒁覂擅行詾榇_定人選，所以還

需要選出4名男性，3名女性，所以不同的選取方法數(shù)是C、C；,故選C.

5.B【解析】由題可知構(gòu)成的幾何體是一個(gè)上底面邊長(zhǎng)為2m,下底面邊長(zhǎng)為4m,側(cè)棱長(zhǎng)為2m的正四棱

臺(tái)，所以該正四棱臺(tái)的高為0m,體積為Vg=g〃(S'+J^+S)=gx(4+8+16)x&=笆l(m3)及

選B.

6.A【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,則正方形ABC。的面積等于4.因?yàn)殛幱安糠值拿娣e等于2x

兀一2

(gjrxF_gxlxl)=三工，所以與土――=三/.故選A.

422N48

2?1

7.B【解析】因?yàn)閏os(8-C)+cosA=—,即cos(8-C)-cos(8+C)=—,所以sinBsinC=-,又bc=3,所

333

3

以2Rsin"2RsinC=3(R為zMBC的外接圓的半徑)，所以R=j,則△ABC的外接圓的周長(zhǎng)為2兀R=3兀.

故選B.

8.A【解析】因?yàn)?2x+y)6的展開式的通項(xiàng)公式為&產(chǎn)晨(2x)6Ty=26TC"6-y,所以x(2x+y,的展開

式中的xV對(duì)應(yīng)的「應(yīng)滿足，此時(shí)廠=5符合要求，對(duì)應(yīng)系數(shù)為26-5或=12；；(2x+y)6的展開

式中的一曠對(duì)應(yīng)的「應(yīng)滿足此時(shí)無(wú)解.所以(x+j)(2x+y)6的展開式中W的系數(shù)為12.故

選A.

9.D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/W的零點(diǎn)為x軸上的所有整數(shù)，所以函數(shù)/（無(wú)）的最小正周期丁=2,所以

2冗ITJT

a>=一=7t,且/（0）=2sine=0,結(jié)合--<9<一，可得夕=0,所以/（x）=2sin7tx.作出函數(shù)/（x）與函

T44

數(shù)g（x）的圖象，如下圖所示，可知函數(shù)/（X）的圖象與函數(shù)g（x）的圖象有11個(gè)交點(diǎn)，故選D.

10.A【解析】易得前=麗+而+而，EF=ED+DC+CF，因?yàn)辄c(diǎn)E為4。的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC的中

點(diǎn)，所以+，又因?yàn)?4。。>0，所以4|彷|2=福2+反2+2通.配>4+1=5，且4|￡7;:「

=AB2+DC2+2ABDC<4+\+2\AB\\DC\=9>所以4|Efj論（5,9],即|即歸（三,夕，故選A.

11.A【解析】方法一：因?yàn)閳AF與雙曲線G的兩條漸近線分別相切，所以6=2,?=|Q4|=1,所以雙曲

線G的方程為d-$=l,易知F（逐,0）,雙曲線G的漸近線方程為），=±2'.不妨設(shè)點(diǎn)A位于第一象

4

限，則直線AF的方程為尸一；“一百），由j'"一”."），可得C（一正,拽），所以

2[y=-2x333

所以|CZ）|=J|bF-22所以;|%）|=要具空1=1，所以|3。|=!，故選A.

3，ICr|35

方法二：因?yàn)閳A廠與雙曲線G的兩條漸近線分別相切，所以6=|4尸|=2,a=\OA\=\,。=|0尸|=石，

2141

在RtZSOA廠中，cosZOE4=-^,sinZ0E4=-^,所以sin2NOE4=g,所以耳|3DR3b|sin2NO必

=|,所以|8O|=/,故選A.

12.C【解析】因?yàn)閐=c"，所以clna=Rnc,g|l—=—,T^y=—,貝I]了=上坐，令y'=上隼=0,

acxxx

得x=e,當(dāng)X￡（0,e）時(shí)，V>。，y=單調(diào)遞增，當(dāng)工￡（?,4~00）時(shí)，y，<。，y=單調(diào)遞減，因?yàn)?/p>

XX

In。Inc,,“2InbIncInd.,.,一

---=,0<ci<b<c<d,所以〃<e<c,所以一^—>>——,即nn故選C.

acbed

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-10【解析】畫出約束條件所表示的可行域，如圖中陰影部分所示，設(shè)z=3x+y,則y=-3x+z,z的

最小值即為直線y=-3X+Z的縱截距的最小值，由圖可知，當(dāng)直線y=-3X+Z經(jīng)過(guò)點(diǎn)8（-3,-1）時(shí)取得

最小值，最小值為-10.故答案為-io.

n2+n

14.【解析】因?yàn)镾〃=2(4T)=24_2,所以Sw=2〃川-2,以上兩式相減得:an+\=2a〃,在

2

S.=2a-1)中，令〃=1,得q=2,所以數(shù)歹I」｛4｝是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列，即為=2x2a=2〃,

所以2=log22"=〃，所以數(shù)列｛〃｝是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為

1n(n-1)."山、L〃2+〃

nxl+-3——ixl=-------.故答案為------.

222

1

y=—x+t\ii

15.2【解析】由《“2得f+4(l-2p)x+4=0,由/>0,得p>l,設(shè)+1),5。2,7；工2+D，

2c22

[y=2px

則%+X2=T(l-2p)①,為X2=4②，因?yàn)橹本€x=p恰好平分/4MB,所以直線AM與直線的傾斜

1,1,

3±+1產(chǎn)+1

角互補(bǔ)，所以直線AM的斜率與直線的斜率互為相反數(shù)，即心“+做“=(),即^——+-----=0,

須一PX2~P

整理得內(nèi)工2—gp(X1+占)+%+穴2-2〃=0③，將①②代入③，得〃=2.故答案為2.

16.畫【解析】如圖，設(shè)。為A8的中點(diǎn)，連接CD,OA,08.因?yàn)椤椤鰽BC的重心，。為A8的中

10

點(diǎn)，所以易知c，O,。三點(diǎn)共線，又因?yàn)锳B=2&,8C=AC=2逐，即△MC為等腰三角形，所以

CD±AB,所以8=：a>JjAC，-CD-=1d20-2=核.因?yàn)镻O=4,即點(diǎn)P到平面A8C的距離等

333

于4，AO=yjAD2+OD2=2>所以PA=PA=，2?+4?=2亞，PC=y/PO2+OC2=2x/6)從而可知

PA=PB=2逐,所以四邊形C4PB為菱形，所以3C〃AP,所以NBCP或其補(bǔ)角即為直線CP與直

線AP所成的角，在aBCP中，由余弦定理得cosNBCP==Q"+Q即’盜了

2-BC-PC2x2A/5x2v6

=叵.故答案為我.

1010

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21題為必考題，每個(gè)試題考生

都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

（-）必考題：共60分。

17.（12分）

【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以公比4>0,（1分）

因?yàn)?%=4,所以名=4,即叼=2.（2分）

由題易知%,4,%是公比為二的等比數(shù)列，所以瘋，毒，瘋是公比為4的等比數(shù)列.（3分）

因?yàn)榛?瓜+近=7近,所以及（l+q+q2）=7>/5,（4分）

所以+4-6=0,所以Q=2,%=-3（不合題意，舍去）.（5分）

22

所以4=a2q'-=2x2'-=2,.（6分）

（2）因?yàn)閍“=2'i,所以3"log?4=（〃-1）3".（7分）

所以$“=0、3'+1、32+2、33+...+（〃-2）31+（"-1）3",（8分）

3S“=Ox32+lx33+2x34+...+（n-2）3"+（n-l）3B+,,（9分）

兩式相減得-2S“=3?+33+34+…+3"-（〃一1）3向（10分）

=9（1-3"…3"+'（11分）

1—3

所以S,=9（l-37）+（〃-1）3"”=（2〃-3）3"“+9（微分）

424

18.（12分）

【解析】（1）將正方體的平面展開圖還原得到如圖所示的正方體458-486口，

延長(zhǎng)尸E與。4的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)例，連接GM,交A4于點(diǎn)”，連接EH,則E”即為所作.（2分）

直線EH與直線FG的位置關(guān)系為平行，即EH//FG.（3分）

證明如下：因?yàn)镋為A8的中點(diǎn)，所以易得/XAME也△3FE，

所以AM=BF,ME=FE,即E為MF的中點(diǎn)，（4分）

又BF=A|G,所以AM=AiG,所以RtAAM〃絲RtAAGH,

所以MH=G“，即”是線段MG的中點(diǎn)，（5分）

所以EH是△RWG的中位線，椒EH//FG.（6分）

（2）如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,OC,所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,

（7分）

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,由（1）知，”為A4的中點(diǎn)，則。（0,0,0）,H（2,0,1）,E（2,1,

0）,F（1,2,0）,G（1,0,2）,（8分）

所以萬(wàn)萬(wàn)=（2,0,1）,即=（-1,1,0）,&5=（0,-2,2）,（9分）

y

n-EF=0\-x+y=0

設(shè)平面EFGH的法向量是〃=（x,y,z）,則一，即,（10分）

n.FG=0[-2y+2z=0

解得x=）'=z,令x=l,則平面EFG/7的一個(gè)法向量是〃=（1,1,1）,（11分）

設(shè)DH與平面EFGH所成的角為。，則sina=|，黑）|=廠=羋，即直線DH與平面EFGH所

成的角的正弦值為巫.（12分）

5

19.（12分）

【解析】（1）補(bǔ)充完整的2x2列聯(lián)表如下:

浪費(fèi)小于5kg的天數(shù)浪費(fèi)不小于5kg的天數(shù)總計(jì)

采取措施前40天231740

采取措施后40天37340

總計(jì)602080

因?yàn)閅的觀測(cè)值k=80x（23x3-37x17）-=196^]3.067>10.828,

60x20x40x4015

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，能判斷食品浪費(fèi)情況與是否采取措施有關(guān).（6分）

（2）由題可知，采取措施后40天的日浪費(fèi)食品量小于4kg的頻率為12+1：：6+2=2=0.875

408

所以估計(jì)該酒店倡導(dǎo)節(jié)約、采取措施后，日浪費(fèi)食品量小于4kg的概率為0.875.（8分）

（3）該酒店采取措施前40天的日浪費(fèi)食品量的平均數(shù)為

x（0.5x1+1.5x2+2.5x2+3.5x4+4.5x14+5.5x14+6.5x2+7.5x1）=4.575（kg）,（10分）

該酒店采取措施后40天的日浪費(fèi)食品量的平均數(shù)為

—x（0.5xl2+1.5x15+2.5x6+3.5x2+4.5x2+5.5xl+6.5xl+7.5x1）=1.975（kg）,（11分）

40

因?yàn)椋?.575-1.975）x365=949（kg）,

所以估計(jì)該酒店倡導(dǎo)節(jié)約、采取措施后，一年能節(jié)省949kg食品.（12分）

20.（12分）

【解析】⑴因?yàn)闄E圓E的離心率是方程西-5&+5=0的一個(gè)根，所以e邛或e=f

因?yàn)闄E圓E的離心率ew（0,l）,所以e=^.（1分）

3

因?yàn)椤?好，所以由二苫/,所以從=為，

a355

因?yàn)辄c(diǎn)A,8分別為橢圓￡的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，所以|A8|=Jl+從=&+/2=序.（3分）

因?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)O到直線4?的距離為多叵，所以=叵，（4分）

132213

所以。=石，所以〃2=9,b2=4f

,2

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+匕=1.（6分）

94

（2）當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)例My=kx+m,

y=kx+m

消元并化簡(jiǎn)得(4+9k2)x2+1Sknvc+9/n2-36=0,

2

、兒、2,、mil\8k/n9/n-36

設(shè)"(.yJM/,%)，則為+々=_，c,2,%%=”,、，2，

4+9%4+9左

又P(3,0),PMLPN,所以』=

Xj-3X2-3

所以XjX2—3(x+/)+9+(Ke】+rn)(kx2+tn)=0,

即(l+12注冬4-{hn-3)(Xj+.)+(9+*)=0,

所以(1+公)^^+(切?—3)^^+(9+m2)=0,

4+9左24+9左2

所以(1+)(9加-36)+(切l(wèi)3)(-18m)+(9+/)(4+9小)=0,

即45月2+54碗+13〉=0,

所以34+加=0或15%+13加=0,

當(dāng)麻+帆=0時(shí)，y=k(x-3),此時(shí)M,N,P重合，舍去.

當(dāng)15&+13優(yōu)=0時(shí)，丫=%。一得)，恒過(guò)點(diǎn)(￡,0).

當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，MN_Lx軸，經(jīng)計(jì)算可知此時(shí)直線MN也過(guò)點(diǎn)(工,0).

所以直線MN恒過(guò)定點(diǎn)(￡,0).(12分)

21.(12分)

222

【解析】(1)由/(x)+—N。，即xlnx-ox+—20恒成立，得a4lnx+二恒成立.(2分)

XXX

令/2(x)=lnx+/,x>0,則由====0得x=2.(2分)

AXXXX

當(dāng)xe(0,2)時(shí)，//(x)<0,力(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(2,”)時(shí)，/z,(x)>0,/?(x)單調(diào)遞增，(3分)

所以函數(shù)人(x)在x=2時(shí)取到最小值，即〃(0而,=〃(2)=ln2+；.(4分)

所以a41n2+2，故〃的取值范圍是S,ln2+3.(5分)

22

1—A2X1—A2X

(2)當(dāng)a=—1時(shí)，要證/(X)>4N+-----,即要證x+xlnx>4x+------,

XX

由f(x)=x+x\nx,x>0,得f\x)=1+lnx+1=lnx+2,

令尸(x)=0,則x=4，

e

當(dāng)xe(00)時(shí)，/(xXO,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xw(e，。)時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

所以f(x)在x=l處取到極小值，也是最小值，即/(必?=/4)=-4.(9分)

He'e-

人/、A1—e?'八r-i.i，/、(2x—l)(2x+1—e-')

令g(x)=4x+-----,x>0,貝!lg(x)=--------2--------,

XX

令，(x)=2x+l-e2、，則r(x)=2—2e2x=2(l-e2x),當(dāng)X>0時(shí)，f(x)<0,所以心)在(0,xo)上單調(diào)遞

減，所以(v)<*0)=0,

令g'(x)=0,得x=:，當(dāng)xe(0，)時(shí)，g'(x)>。，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(￡+oo)時(shí)，g'(x)<0,g(x)

單調(diào)遞減，從而可得g(x)max=g(g)=4-2e,

11—e2v

易知/(0球=--F>4-2e=g(x)gx，所以當(dāng)”=T時(shí)，/(x)>4x+-----.(12分)

ex

(-)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

【解析】(1)因?yàn)闄E圓C的左、右焦點(diǎn)分別是曲線夕=&與x軸的交點(diǎn)，

所以橢圓C的左、右焦點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為(友,兀)，(血,0),(2分)

故橢圓C