華師一附中2024屆高三（截面交線軌跡翻折范圍與最值）答案

第頁華師一附中高三一輪復(fù)習(xí)補(bǔ)充作業(yè)（2023.12.28）（截面，交線，軌跡，翻折，范圍與最值）參考答案：1．C【分析】通過頂點(diǎn)轉(zhuǎn)換，確定三棱錐的底和高的變化情況，即可確定答案.【詳解】如下圖，連接，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，可得，，所以當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到平面的距離為定值，當(dāng)在棱移動(dòng)時(shí)，到的距離為定值，所以為定值，則三棱錐的體積為定值.平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，.故選：C.2．D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線線垂直的判定定理、線面垂直的性質(zhì)，以及異面直線夾角的求解方法，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：連接，作圖如下：因?yàn)闉檎襟w，故可得//，又，與是同一條直線，故可得，則，故A正確；對(duì)B：根據(jù)題意，，且線段在上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)到直線的距離不變，故△的面積為定值，又點(diǎn)到平面的距離也為定值，故三棱錐的體積為定值，故B正確；對(duì)C：取的中點(diǎn)分別為，連接，作圖如下：容易知在△中，//，又//，，面面，故面//面，又G在側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，且滿足G∥平面，故的軌跡即為線段;又因?yàn)闉檎襟w，故面面，故，則當(dāng)與重合時(shí)，，故C正確；對(duì)D：因?yàn)?/，故直線與所成角即為直線與所成角，即，在中，，故，而當(dāng)直線與直線BC所成的角為時(shí)，，故直線與直線BC所成的角不可能為，故D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡的問題，以及線線垂直、線面垂直、異面直線夾角、棱錐體積的求解，屬綜合困難題；解決問題的關(guān)鍵是把握動(dòng)點(diǎn)的軌跡，熟練的應(yīng)用垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化.3．C【分析】由面面平行的性質(zhì)和四邊形的判定定理可判斷①；由正方形的性質(zhì)可判斷②；由面面垂直的判定定理可判斷③；由兩平面相交的性質(zhì)可判斷④；由等積法和棱錐的體積公式可判斷⑤.【詳解】因?yàn)槠矫媾c平面平行，截面與它們交于，BF，可得，同樣可得，所以四邊形是一個(gè)平行四邊形，故①正確；如果四邊形是正方形，則，因?yàn)?，所以平面，又平面，E與A重合，此時(shí)不是正方形，故②錯(cuò)誤；當(dāng)兩條棱上的交點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，四邊形為菱形，平面，此時(shí)四邊形垂直于平面，故③正確；由與DC的延長線交于M，可得，且，又因?yàn)槠矫?，平面ABCD，所以平面，平面ABCD，又因?yàn)槠矫?，平面ABCD，所以平面平面，同理平面平面，所以BM，BN都是平面與平面ABCD的交線，所以B，M，N三點(diǎn)共線，故④正確；由于，平面，則E，F(xiàn)到平面的距離相等，且為正方體的棱長，三角形的面積為定值，所以四棱錐的體積為定值，故⑤正確.故選:C.【點(diǎn)睛】此題涉及的設(shè)問情況較多，有一定成立，有可能成立.對(duì)于一定成立的命題，需要利用定理加以證明，對(duì)于可能成立的問題舉出例子即可說明其成立，利用反證法才能證明其不成立.故此類題在判斷時(shí)，要學(xué)會(huì)選用適當(dāng)?shù)姆椒?4．B【分析】設(shè)，則所得的棱錐側(cè)面的高為，棱錐的高為運(yùn)用棱錐的體積公式和基本不等式可求得最值.【詳解】解：設(shè)，則所得的棱錐側(cè)面的高為，棱錐的高為其體積為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即體積的最大值為，故選：B.5．C【分析】根據(jù)題意，判斷得的軌跡為拋物線一部分，建立平面直角坐標(biāo)系，寫出直線和拋物線段的方程，由題意，計(jì)算點(diǎn)到線段的最短距離，再由等體積法計(jì)算三棱錐最小體積.【詳解】如圖，作平面，垂足為，再作，垂足為，連接，由題意可知，，所以，由拋物線定義可知，的軌跡為拋物線一部分，所以的軌跡為拋物線一部分，當(dāng)點(diǎn)到線段距離最短時(shí)，三角形面積最小，三棱錐體積最小，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則直線的方程為，拋物線的方程為，，由題意，，得，代入，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以到直線的最短距離為，因?yàn)?，所以，所以三棱錐體積的最小值為.故選：C【點(diǎn)睛】求解本題的關(guān)鍵是能判斷出點(diǎn)的軌跡為拋物線一部分，再建立平面直角坐標(biāo)系，求解到直線的最短距離，利用等體積法求解三棱錐的最小體積.6．A【分析】先判斷為的重心，再利用重心得到，求出，進(jìn)而得到，借助基本不等式求出最小值即可.【詳解】過作平面的垂線，垂足為，連，設(shè)的交點(diǎn)為，在中過作直線交于兩點(diǎn)，由相交直線確定平面，則四邊形為過的截面.由計(jì)算可得，得為正三角形，，所以為的重心，設(shè)，由向量運(yùn)算可得，又，可得，所以，由三點(diǎn)共線，得，即，易得到平面的距離為，到平面的距離為1，因?yàn)?，所以，，得，，由，，得，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以，即的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵點(diǎn)在于由為的重心得到這一結(jié)論，再用表示出要求的體積，最后借助基本不等式得到最值.7．B【分析】根據(jù)外接球表面積求得外接球半徑，進(jìn)而求得三棱錐的高，并推出側(cè)面為等腰直角三角形，作輔助線，將轉(zhuǎn)化為一條線段，從而確定最小時(shí)的線段的位置，再結(jié)合三角函數(shù)值，解直角三角形,求得答案.【詳解】依題意，，解得，由是正三角形可知：其外接圓半徑為，設(shè)點(diǎn)S到平面ABC的距離為h，故，解得或，則或（舍去），故，則,而，故為等腰直角三角形，，故為等腰直角三角形，,則,又,故平面SCM，取CB中點(diǎn)F，連接NF交CM于點(diǎn)O，則,則平面SCM,故平面SCM，則，要求最小，首先需PQ最小，此時(shí)可得平面SCM，則；再把平面SON繞SN旋轉(zhuǎn)，與平面SNA共面，即圖中位置，當(dāng)共線且時(shí)，的最小值即為的長，由為等腰直角三角形，故，，∴，即，∴，可得，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體上線段和最小值的求解，涉及到幾何體的外接球以及空間的線面位置關(guān)系等問題，解答時(shí)要發(fā)揮空間想象，明確點(diǎn)線面的位置關(guān)系，并能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，解答的關(guān)鍵是要將兩線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，才可求得線段和的最小值.8．B【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面垂直的判定定理可證出平面，記與平面交于點(diǎn)，則易得，從而得點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，可知的最小值為，最后根據(jù)空間中兩點(diǎn)間的距離公式即可求出結(jié)果.【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，且，則平面，所以，同理得平面，所以，而，所以平面，記與平面交于點(diǎn)，連接，且，則，易得，從而得點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)為，所以的最小值為.故選：B.9．B【分析】連接，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，判斷出當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.分別求出,,利用余弦定理即可求解.【詳解】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，

設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有.當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.同理可求：因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，所以在三角形中?,由余弦定理得：.故選B.【點(diǎn)睛】（1）立體幾何中的翻折（展開）問題截圖的關(guān)鍵是：翻折（展開）過程中的不變量；（2）立體幾何中距離的最值一般處理方式：①幾何法：通過位置關(guān)系，找到取最值的位置（條件），直接求最值；②代數(shù)法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用代數(shù)法求最值.10．C【分析】由翻折中的邊角變化，利用圖形特征以及余弦定理,以及特殊位置排除即可做出判斷.【詳解】等腰梯形中，，,可知：取中點(diǎn),中點(diǎn)連接,則，,所以為二面角的平面角，即設(shè)，則,,因?yàn)樵谏嫌嘞液瘮?shù)單調(diào)遞減，又，故A對(duì).當(dāng)時(shí),與重合,此時(shí),故C不對(duì).在翻折的過程中，角度從減少到在翻折的過程中，角度從減少到BD選項(xiàng)根據(jù)圖形特征及空間關(guān)系，可知正確..故選:C11．B【分析】根據(jù)異面直線夾角，直線與平面的夾角，平面與平面的夾角的定義分別做PB與AC，PB與平面ABC，平面PAC與平面ABC的夾角，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)比較幾個(gè)角的大小.【詳解】如圖，取BC的中點(diǎn)D，作VO⊥平面ABC于點(diǎn)O，由題意知點(diǎn)O在AD上，且AO=2OD.作PE//AC，PE交VC于點(diǎn)E，作PF⊥AD于點(diǎn)F，連接BF，則PF⊥平面ABC取AC的中點(diǎn)M，連接BM，VM，VM交PE于點(diǎn)H，連接BH，易知BH⊥PE，作于點(diǎn)G，連接FG，由PG⊥AC，PF⊥AC，PGPF=P，由線面垂直判定定理可得AC⊥平面PGF，又平面PGF∴

FG⊥AC,作FN⊥BM于點(diǎn)N.∵

PG∥VM，PF∥VN∴

平面PGF∥平面VMB，又PH∥FN,四邊形PFNH為平行四邊形，所以PH=FN因此，直線PB與直線AC所成的角，直線PB與平面ABC所成的角，二面角P-AC-B的平面角，又又，∴

因?yàn)椤?/p>

綜上所述，中最小角為，故選B.【點(diǎn)睛】(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；②計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．12．B【分析】連接，交于，則為中點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，分別交于點(diǎn)，連接，進(jìn)而可得點(diǎn)的軌跡是矩形，再計(jì)算邊長即可得答案.【詳解】解：連接，交于，則為中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由正方體的性質(zhì)可知平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，過點(diǎn)作，分別交于，過點(diǎn)分別作，分別交于點(diǎn)，連接，所以，四點(diǎn)共面，且，所以，四邊形為平行四邊形，因?yàn)槠矫?，所以平面，平面，所以所以，四邊形為矩形，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)辄c(diǎn)在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足所以，當(dāng)面時(shí)，始終有，所以，點(diǎn)的軌跡是矩形，如下圖，因?yàn)椋?，，所以，，因?yàn)?，所以∽，所以，即，即所以，，所以，點(diǎn)不可能是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)的軌跡是矩形，軌跡長度為矩形的周長，軌跡所圍成圖形的面積為故正確的命題為③④.個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：B13．A【分析】通過作圖，利用面面平行找到點(diǎn)P的軌跡，從而求得其長度，即得答案.【詳解】畫出示意圖如下：取中點(diǎn)N，取中點(diǎn)M，連接,則,則四邊形為平行四邊形，所以BE，連接,則,故MNEF，又，平面平面BEF,所以平面BEF平面B1MN，平面∩平面=MN，所以P點(diǎn)軌跡即為MN，長度為；證明：因?yàn)槠矫鍮EF平面，P點(diǎn)是MN上的動(dòng)點(diǎn)，故平面，所以平面BEF，滿足題意.故選：A．14．D【分析】將該四棱錐補(bǔ)成正方體后可判斷AB選項(xiàng)正誤；結(jié)合橢圓的定義可以判斷D的正誤，延長EF交直線CD于點(diǎn)H，交直線BC于點(diǎn)I，連接GI交PB于點(diǎn)M，連接GH交PD于點(diǎn)N，通過圖形即可判斷C選項(xiàng)正誤【詳解】解：可將四棱錐補(bǔ)形成正方體，如圖①，直線AG即體對(duì)角線，易證平面PDB，A選項(xiàng)正確；如圖②，取CD的中點(diǎn)H，連接FH，可知，所以（或其補(bǔ)角）與直線FG和直線AC所成的角相同，在中，，所以，B選項(xiàng)正確；如圖③，延長EF交直線CD于點(diǎn)H，交直線BC于點(diǎn)I，連接GI交PB于點(diǎn)M，連接GH交PD于點(diǎn)N，則五邊形EFNGM即為平面EFG截四棱錐所得的截面，C選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以點(diǎn)T到AG的距離為，點(diǎn)T在以AC為軸，底面半徑的圓柱上，又點(diǎn)T在平面ABCD上，所以點(diǎn)T的軌跡是橢圓．D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D15．C【分析】以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得等點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求得，設(shè)與底面所成的角為，繼而可求得，比較與的大小，利用正圓錐曲線被與中心軸成的平面所截曲線，即可得到答案．【詳解】由P點(diǎn)的軌跡實(shí)際是一個(gè)正圓錐面和兩個(gè)平面的交線，其中這個(gè)正圓錐面的中心軸即為，頂點(diǎn)為A，頂角的一半即為，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，，設(shè)與底面所成的角為，則，所以，所以該正圓錐面和底面的交線是雙曲線弧，同理可知，P點(diǎn)在平面的交線是雙曲線弧，故選：C．16．C【分析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，即可得到面，A選項(xiàng)可判斷對(duì)于B，采用反證法，假設(shè)，則面，再根據(jù)題目所給的長度即可判斷；對(duì)于C，當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)直線與平面所成角有最大值，判斷即可；對(duì)于D，當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)四面體的體積有最大值，計(jì)算最大體積判斷即可【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接是以為斜邊的等腰直角三角形,為等邊三角形,面,,故A正確對(duì)于B，假設(shè)，又面，，又,，故與可能垂直，故B正確當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)面，即為直線與平面所成角此時(shí)，故C錯(cuò)誤當(dāng)面面時(shí)，此時(shí)四面體的體積最大，此時(shí)的體積為：，故D正確故選：C17．B【分析】A.用反證法判斷；B.在AD上取點(diǎn)G，使得AG=EC，當(dāng)判斷；C.利用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理判斷；D.根據(jù)二面角為直二面角，由點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)，影響點(diǎn)B到AE的距離判斷.【詳解】A.假設(shè)???四點(diǎn)共面，則直線EC與BF共面，若EC與BF平行，又EC與AD平行，則AD與BF平行，這與AD與BF相交矛盾；若EC與BF相交，設(shè)交點(diǎn)為Q，則Q即在平面BAD內(nèi)，又在平面AECD內(nèi)，則點(diǎn)Q在交線AD上，這與EC與AD平行矛盾，所以假設(shè)不成立，所以B、E、C、F不共面，故錯(cuò)誤；B.如圖所示：在AD上取點(diǎn)G，使得AG=EC，當(dāng)時(shí)，，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，則平面，故存在點(diǎn)，使得平面，故正確；C.設(shè)側(cè)面與側(cè)面的交線為l，因?yàn)?，且面，面，所以面，則，所以，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，?dāng)點(diǎn)E移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B到AE的距離即三棱錐的高變化，而是定值，故三棱錐的體積不是定值，故錯(cuò)誤；故選：B18．ACD【分析】利用錐體的體積公式可判斷A選項(xiàng)的正誤；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷BC選項(xiàng)的正誤；設(shè)則，則，根據(jù)的范圍可判斷D選項(xiàng)的正誤．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，點(diǎn)到平面的距離等于，的面積為，所以，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于BC選項(xiàng)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，、，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，設(shè)，可得點(diǎn)，其中，則，所以，解得，故平面與平面不平行，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，，，設(shè)直線與所成角為，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)最小，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，延長和并相交于點(diǎn)，作交于，P在線段上，此時(shí)PN與的交點(diǎn)即為G，連接交于，如圖所示：設(shè)則，所以則由于，得，所以，D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是空間向量及函數(shù)思想的應(yīng)用.19．/【分析】將四棱錐補(bǔ)形為長方體可得球O球心與球O半徑，則當(dāng)EO與截面垂直時(shí)，截面面積最小.【詳解】如圖，將四棱錐P-ABCD補(bǔ)為長方體，則此長方體與四棱錐的外接球均為球O，則球O半徑.O位于PC中點(diǎn)處.因底面ABCD是矩形，則.因PA⊥平面ABCD，平面ABCD，則，又平面PAB，AB平面PAB，，則平面PAB.因PB平面PAB，則.取PB的中點(diǎn)為F，則，..因，則，得.則在直角三角形OEF中，.當(dāng)EO與截面垂直時(shí)，截面面積最小，則截面半徑為.故截面面積為.故答案為：20．15【分析】作出圖形，在球中求得三角形的面積的最大值為3，作出圖形，求得點(diǎn)為到平面的距離最大值為15，根據(jù)錐體的體積公式即可求得答案.【詳解】解：如圖一所示：在圓中，因?yàn)辄c(diǎn)在截面上的投影恰為的中點(diǎn)，且，所以為直角三角形，且，又因?yàn)?，所以可得，設(shè)，則有，所以，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以；如圖二所示：因?yàn)榍虻陌霃綖?，為線段的中點(diǎn)，所以，當(dāng)三點(diǎn)共線且為如圖所示的位置時(shí)，點(diǎn)為到平面的距離最大，即此時(shí)三棱錐的高最大，此時(shí),所以此時(shí),即三棱錐體積的最大值是15.故答案為：15.21．【分析】過作，連接，作出截面圖形，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得為平行四邊形，然后利用平行四邊形面積公式即可求解.【詳解】如圖，過點(diǎn)作，連接，由面面平行的性質(zhì)可得：四邊形為平行四邊形，又因?yàn)檎襟w的棱長為6，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)，所以，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚母邽?，所以，故答案為?22．①③④【分析】對(duì)于①，直線與的延長線分別交于,連接分別交于,連接即可解決；對(duì)于②等體積法解決即可；對(duì)于③④，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得即可.【詳解】對(duì)于①，如圖直線與的延長線分別交于,連接分別交于,連接，則五邊形即為所求的截面圖形，故①正確；對(duì)于②，由題知，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為直線到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由正方體的棱長為2可得，，，所以，，所以由，可得，所以直線到平面的距離是，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，又因?yàn)?，所以，所以，假設(shè)存在點(diǎn)使得，所以，整理得，所以（舍去），或，所以存在點(diǎn)