2024屆江西省贛州市紅旗實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆江西省贛州市紅旗實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某大型聯(lián)歡會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙的6個(gè)節(jié)目中選取4個(gè)進(jìn)行演出，要求甲、乙2個(gè)節(jié)目中至少有一個(gè)參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們演出順序不能相鄰，那么不同的演出順序的種數(shù)為（）A．720 B．520 C．600 D．2642．已知等比數(shù)列{an}中，，，則（）A．±2 B．－2 C．2 D．43．2只貓把5只老鼠捉光,不同的捉法有()種.A． B． C． D．4．若，且，則（）A． B． C． D．5．已知x，y滿足不等式組則z="2x"+y的最大值與最小值的比值為A． B． C． D．26．已知是定義在上的函數(shù)，且對(duì)于任意，不等式恒成立，則整數(shù)的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，則114分以上的成績(jī)所占的百分比為（）（附，，）A． B． C． D．8．已知為非零不共線向量，設(shè)條件，條件對(duì)一切，不等式恒成立，則是的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件9．直線為參數(shù)被曲線所截的弦長(zhǎng)為A． B． C． D．10．在200件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A．種 B．種 C．種 D．種11．若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．612．六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有（）A．192種 B．216種 C．240種 D．288種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復(fù)數(shù)，且是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)__________.14．甲、乙、丙三名同學(xué)中只有一人考了滿分，當(dāng)他們被問到誰考了滿分時(shí)，甲說：丙沒有考滿分；乙說：是我考的；丙說：甲說真話．事實(shí)證明：在這三名同學(xué)中，只有一人說的是假話，那么得滿分的同學(xué)是_____．15．如果實(shí)數(shù)滿足線性約束條件，則的最小值等于．16．已知平行六面體中，，，，，，則的長(zhǎng)為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）求的解集；（2）設(shè)，求證：.18．（12分）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.19．（12分）求的二項(xiàng)展開式中的第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù).20．（12分）已知矩陣對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)變換成．（1）求矩陣的逆矩陣；（2）求矩陣的特征向量．21．（12分）已知數(shù)列滿足，，設(shè)，數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，，，是棱上的一點(diǎn)（不與、點(diǎn)重合）.（1）若平面，求的值；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)題意，分別討論：甲、乙兩節(jié)目只有一個(gè)參加，甲、乙兩節(jié)目都參加，兩種情況，分別計(jì)算，再求和，即可得出結(jié)果.【題目詳解】若甲、乙兩節(jié)目只有一個(gè)參加，則演出順序的種數(shù)為：，若甲、乙兩節(jié)目都參加，則演出順序的種數(shù)為：；因此不同的演出順序的種數(shù)為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查有限制的排列問題，以及計(jì)數(shù)原理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，熟記計(jì)數(shù)原理的概念，以及有限制的排列問題的計(jì)算方法即可，屬于?？碱}型.2、C【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得，，再根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求得.【題目詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列中，，所以，即以，因此=，因?yàn)椋?hào)，所以選C.【題目點(diǎn)撥】在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.3、B【解題分析】分析：利用乘法分步計(jì)數(shù)原理解決即可.詳解：由于每只貓捉老鼠的數(shù)目不限，因此每一只老鼠都可能被這2只貓中其中一只捉住，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有不同的捉法有種.故選：B.點(diǎn)睛：(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．4、D【解題分析】

先利用特殊值排除A,B,C，再根據(jù)組合數(shù)公式以及二項(xiàng)式定理論證D成立.【題目詳解】令得，，在選擇項(xiàng)中，令排除A，C；在選擇項(xiàng)中，令，排除B，,故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查組合數(shù)公式以及二項(xiàng)式定理應(yīng)用，考查基本分析化簡(jiǎn)能力，屬中檔題.5、D【解題分析】

解：因?yàn)閤，y滿足不等式組，作出可行域，然后判定當(dāng)過點(diǎn)（2,2）取得最大，過點(diǎn)（1,1）取得最小，比值為2，選D6、A【解題分析】

利用的單調(diào)性和奇偶性，將抽象不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式，然后將恒成立問題轉(zhuǎn)化成最值問題，借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)，即可解決問題．【題目詳解】，可知，且單調(diào)遞增，可以變?yōu)?，即，∴，可知，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，可知，∴，∵，∴整數(shù)的最小值為1.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)、抽象不等式的解法、以及恒成立問題的一般解法，意在考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的的能力．7、C【解題分析】分析：先求出u,,再根據(jù)和正態(tài)分布曲線求114分以上的成績(jī)所占的百分比.詳解：由題得u=102,因?yàn)?，所?故答案為：C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查正態(tài)分布曲線和概率的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和數(shù)形結(jié)合思想方法.(2)利用正態(tài)分布曲線求概率時(shí)，要畫圖數(shù)形結(jié)合分析，不要死記硬背公式.8、C【解題分析】

條件M：條件N：對(duì)一切，不等式成立，化為：進(jìn)而判斷出結(jié)論．【題目詳解】條件M：．

條件N：對(duì)一切，不等式成立，化為：．

因?yàn)?，，，即，可知：由M推出N，反之也成立．

故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9、C【解題分析】

分析：先把參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程化為普通方程，并求出圓心到直線的距離，再利用關(guān)系：即可求出弦長(zhǎng)．詳解：直線為參數(shù)化為普通方程：直線．

∵曲線，展開為化為普通方程為，即，

∴圓心圓心C到直線距離，

∴直線被圓所截的弦長(zhǎng)．

故選C．點(diǎn)睛：本題考查直線被圓截得弦長(zhǎng)的求法，正確運(yùn)用弦長(zhǎng)l、圓心到直線的距離、半徑r三者的關(guān)系：是解題的關(guān)鍵．10、D【解題分析】分析：據(jù)題意，“至少有2件次品”可分為“有2件次品”與“有3件次品”兩種情況，由組合數(shù)公式分別求得兩種情況下的抽法數(shù)，進(jìn)而相加可得答案．詳解：根據(jù)題意，“至少有2件次品”可分為“有2件次品”與“有3件次品”兩種情況，“有2件次品”的抽取方法有C32C1973種，“有3件次品”的抽取方法有C33C1972種，則共有C32C1973+C33C1972種不同的抽取方法，故選：D．點(diǎn)睛：本題考查組合數(shù)公式的運(yùn)用，解題時(shí)要注意“至少”“至多”“最多”“最少”等情況的分類討論．11、B【解題分析】

先根據(jù)已知得出的符號(hào)及的值，再根據(jù)基本不等式求解.【題目詳解】∵；∴∴∴當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查基本不等式，注意基本不等式成立的條件“一正二定三相等”.12、B【解題分析】分類討論，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根據(jù)加法原理可得結(jié)論．解：最左端排甲，共有=120種，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96種，根據(jù)加法原理可得，共有120+96=216種．故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】復(fù)數(shù)z1=2+3i,z2=t?i，∴=t+i，∴=(2+3i)(t+i)=(2t?3)+(3t+2)i，由是實(shí)數(shù),得3t+2=0,即.14、甲【解題分析】

分析題意只有一人說假話可知，假設(shè)只有甲說的是假話，即丙考滿分，則乙也是假話，故假設(shè)不成立；假設(shè)只有乙說的是假話，則甲和丙說的都是真話，即乙沒有得滿分，丙沒有得滿分，故甲考滿分.假設(shè)只有丙說的是假話，即甲和乙說的是真話，即丙說了真話，矛盾，故假設(shè)不成立.綜上所述，得滿分的是甲.15、【解題分析】試題分析：作出約束條件表示的可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），再作直線，上下平移直線，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值.考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃.16、【解題分析】

可得，由數(shù)量積的運(yùn)算可得，開方可得；【題目詳解】如圖所示：，故故的長(zhǎng)等于.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查空間向量模的計(jì)算，選定為基底是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）利用零點(diǎn)分段法，寫出的分段函數(shù)形式，分類討論求解即可（2）根據(jù)，，利用作差法即可求證【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，成立；當(dāng)時(shí)，由，得，解得，所以.綜上，的解集.（2）證明：因?yàn)?，所以?所以，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用零點(diǎn)分段法解決絕對(duì)值不等式求解、利用作差法處理兩式大小關(guān)系的證明18、（1）（2）見解析【解題分析】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計(jì)算即得(II)由題意知X可取的值為：.利用超幾何分布概率計(jì)算公式得X的分布列為X01234P進(jìn)一步計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望.試題解析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則(II)由題意知X可取的值為：.則因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學(xué)期望是=【名師點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù)，利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計(jì)算量不是很大，能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力等.19、二項(xiàng)式系數(shù)為，系數(shù)為.【解題分析】分析：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的展開式得到結(jié)果.詳解：，二項(xiàng)式系數(shù)為，系數(shù)為.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是二項(xiàng)式中的特定項(xiàng)的系數(shù)問題，在做二項(xiàng)式的問題時(shí)，看清楚題目是求二項(xiàng)式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時(shí)，是不是缺少首項(xiàng)；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導(dǎo)后賦值，積分后賦值等．20、（1）；（2）和.【解題分析】

（1）由題中點(diǎn)的變換得到，列方程組解出、的值，再利用逆矩陣變換求出；（2）求出矩陣的特征多項(xiàng)式，解出特征根，即可得出特征值和相應(yīng)的特征向量.【題目詳解】（1）由題意得，即，解得，，由于矩陣的逆矩陣為，因此，矩陣的逆矩陣為；（2）矩陣的特征多項(xiàng)式為，解特征方程，得或.①當(dāng)時(shí)，由，得，即，可取，則，即屬于的一個(gè)特征向量為；②當(dāng)時(shí)，由，得，即，可取，則，即屬于的一個(gè)特征向量為.綜上，矩陣的特征向量為和.【題目點(diǎn)撥】本題考查矩陣的變換和逆矩陣的求法，考查矩陣的特征值和特征向量的求法，考查方程思想與運(yùn)算能力，屬于中等題.21、（1）詳見解析（2）【解題分析】試題分析：（1）由可得,則數(shù)列為等比數(shù)列且公比為2.可得數(shù)列的通項(xiàng)公式.并將代入用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則將其化簡(jiǎn).再證為常數(shù).（2）數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列乘以一個(gè)等比數(shù)列，用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析：（1）由已知可得，，2分3分4分為等差數(shù)列，其中．6分（2）①7分②8分①-②得∴12分考點(diǎn)：1等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式;2等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式;3錯(cuò)位想減法求數(shù)列的和.【方法點(diǎn)睛】本題涉及等差數(shù)列，等比數(shù)列，以及求和的方法，屬于基礎(chǔ)題型，數(shù)列求和的方法主要包括：（1）分組求和法，把一個(gè)數(shù)列分成幾個(gè)可以直接求和的數(shù)列和的形式；（2）裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列寫成的形式，包括，，等形式；（3）錯(cuò)位相減法：一個(gè)等差數(shù)列乘以一個(gè)等比數(shù)列的數(shù)列，采用錯(cuò)位相減法求和；（4）倒序相加法求和：如果一個(gè)數(shù)列與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和時(shí)，可采用倒序相加法；（5）其他法，形如型數(shù)列，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律求和,或有些數(shù)列具有周期性，可利用函數(shù)的周期性求和.22、(1)(2)【解題分析】

（1）由平面可得，從而得到.（2）以