浙江省杭州市蕭山三中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

浙江省杭州市蕭山三中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知6個(gè)高爾夫球中有2個(gè)不合格，每次任取1個(gè)，不放回地取兩次．在第一次取到合格高爾夫球的條件下，第二次取到不合格高爾夫球的概率為（）A． B． C． D．3．設(shè)，若是的最小值，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是（）.A． B．C． D．5．定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若對(duì)任意的正實(shí)數(shù),都有恒成立,則使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍為(

)A． B． C． D．6．“x2-4x>0”是“x>4A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要7．已知正三棱柱的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且該正三棱柱的底面邊長為，體積為，則球的表面積為（）A． B． C． D．8．只用四個(gè)數(shù)字組成一個(gè)五位數(shù)，規(guī)定這四個(gè)數(shù)字必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的五位數(shù)有（）A． B． C． D．9．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，若，則（）A． B． C． D．10．若函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在第一象限，則函數(shù)的圖像是（）A． B．C． D．11．某工件的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工件通過切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的長方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（）（）A． B． C． D．12．我們正處于一個(gè)大數(shù)據(jù)飛速發(fā)展的時(shí)代，對(duì)于大數(shù)據(jù)人才的需求也越來越大，其崗位大致可分為四類：數(shù)據(jù)開發(fā)、數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)據(jù)產(chǎn)品.以北京為例，2018年這幾類工作崗位的薪資（單位：萬元/月）情況如下表所示.由表中數(shù)據(jù)可得各類崗位的薪資水平高低情況為A．?dāng)?shù)據(jù)挖掘>數(shù)據(jù)開發(fā)>數(shù)據(jù)產(chǎn)品>數(shù)據(jù)分析 B．?dāng)?shù)據(jù)挖掘>數(shù)據(jù)產(chǎn)品>數(shù)據(jù)開發(fā)>數(shù)據(jù)分析C．?dāng)?shù)據(jù)挖掘>數(shù)據(jù)開發(fā)>數(shù)據(jù)分析>數(shù)據(jù)產(chǎn)品 D．?dāng)?shù)據(jù)挖掘>數(shù)據(jù)產(chǎn)品>數(shù)據(jù)分析>數(shù)據(jù)開發(fā)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)每門高射炮命中飛機(jī)的概率為，且每一門高射炮是否命中飛機(jī)是獨(dú)立的，若有一敵機(jī)來犯，則需要______門高射炮射擊，才能以至少的概率命中它．14．要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為的下端為圓柱形、上端為半球形的密閉儲(chǔ)油罐，已知圓柱側(cè)面的單位面積造價(jià)是下底面積的單位面積造價(jià)的一半，而頂部半球面的單位面積造價(jià)又是圓柱側(cè)面的單位面積造價(jià)的一半，儲(chǔ)油罐的下部圓柱的底面半徑_______時(shí)，造價(jià)最低．15．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的根為________.16．正項(xiàng)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立的極坐標(biāo)系中，直線C1:ρsinθ+π4=22（1）求直線C1的直角坐標(biāo)方程和曲線C（2）曲線C3的極坐標(biāo)方程為θ=π4(ρ>0)，且曲線C3分別交C1，C2于A18．（12分）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角,,的對(duì)邊，.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若=2，的面積為，求，.19．（12分）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下圖頻率分布直方圖：（I）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（II）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）利用該正態(tài)分布，求；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù).利用（i）的結(jié)果，求.附：若則，．20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)，直線與曲線相交于點(diǎn)，求的值.21．（12分）已知，橢圓C過點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，直線EF的斜率為，直線l與橢圓C相切于點(diǎn)A，斜率為．求橢圓C的方程；求的值．22．（10分）2018年6月14日，世界杯足球賽在俄羅斯拉開帷幕，世界杯給俄羅斯經(jīng)濟(jì)帶來了一定的增長，某紀(jì)念商品店的銷售人員為了統(tǒng)計(jì)世界杯足球賽期間商品的銷售情況，隨機(jī)抽查了該商品商店某天200名顧客的消費(fèi)金額情況，得到如圖頻率分布表：將消費(fèi)顧客超過4萬盧布的顧客定義為”足球迷”，消費(fèi)金額不超過4萬盧布的顧客定義為“非足球迷”．消費(fèi)金額/萬盧布合計(jì)顧客人數(shù)93136446218200（1）求這200名顧客消費(fèi)金額的中位數(shù)與平均數(shù)（同一組中的消費(fèi)金額用該組的中點(diǎn)值作代表；（2）該紀(jì)念品商店的銷售人員為了進(jìn)一步了解這200名顧客喜歡紀(jì)念品的類型，采用分層抽樣的方法從“非足球迷”，“足球迷”中選取5人，再從這5人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，則選取的3人中“非足球迷”人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

通過化簡，于是可得共軛復(fù)數(shù)，判斷在第幾象限即得答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，所以共軛復(fù)數(shù)為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故在第三象限，答案為C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，難度不大.2、B【解題分析】

記事件第一次取到的是合格高爾夫球，事件第二次取到不合格高爾夫球，由題意可得事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)，事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)，然后即可求出答案.【題目詳解】記事件第一次取到的是合格高爾夫球事件第二次取到不合格高爾夫球由題意可得事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)事件發(fā)生所包含的基本事件數(shù)所以故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查的是條件概率，較簡單.3、B【解題分析】

當(dāng)時(shí)，可求得此時(shí)；當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，若不合題意；若，此時(shí)；根據(jù)是在上的最小值可知，從而構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上的最小值為，不合題意當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減是在上的最小值且本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)分段函數(shù)的最值求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠確定每一段區(qū)間內(nèi)最值取得的點(diǎn)，從而確定最小值，通過每段最小值之間的大小關(guān)系可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.4、A【解題分析】

先根據(jù)左加右減的性質(zhì)進(jìn)行平移，再根據(jù)橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍時(shí)的值變?yōu)樵瓉淼谋?，得到答案．【題目詳解】解：向左平移個(gè)單位，即以代，得到函數(shù)，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，即以代，得到函數(shù)：．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的變換，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】

分析：構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定它的單調(diào)性，從而可得題中不等式的解．詳解：設(shè)，則，由已知當(dāng)時(shí)，，∴在上是減函數(shù)，又∵是偶函數(shù)，∴也是偶函數(shù)，，不等式即為，即，∴，∴，即．故選A．點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后解函數(shù)不等式．解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)．新函數(shù)的結(jié)構(gòu)可結(jié)合已知導(dǎo)數(shù)的不等式和待解的不等式的形式構(gòu)造．如，，，等等．6、B【解題分析】

求出x2-4x>0的【題目詳解】x2因此x2-4x>0是故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查充分必要條件的判斷，充分必要條件隊(duì)用定義判定外還可根據(jù)集合之間的包含關(guān)系確定．如p對(duì)應(yīng)集合是A，q對(duì)應(yīng)集合是B，則A?B?p是q的充分條件?q是p的必要條件．7、C【解題分析】

正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，求出球的半徑即可求出球的表面積．【題目詳解】由題意可知，正三棱柱的底面中心的連線的中點(diǎn)就是外接球的球心，底面中心到頂點(diǎn)的距離為，設(shè)正三棱柱的高為，由，得，∴外接球的半徑為，∴外接球的表面積為：．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正三棱柱的外接球的表面積的求法，找出球的球心是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力與計(jì)算能力，是中檔題．8、B【解題分析】

以重復(fù)使用的數(shù)字為數(shù)字為例，采用插空法可確定符合題意的五位數(shù)的個(gè)數(shù)；重復(fù)使用每個(gè)數(shù)字的五位數(shù)個(gè)數(shù)一樣多，通過倍數(shù)關(guān)系求得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)重復(fù)使用的數(shù)字為數(shù)字時(shí)，符合題意的五位數(shù)共有：個(gè)當(dāng)重復(fù)使用的數(shù)字為時(shí)，與重復(fù)使用的數(shù)字為情況相同滿足題意的五位數(shù)共有：個(gè)本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合知識(shí)的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠明確不相鄰的問題采用插空法的方式來進(jìn)行求解；易錯(cuò)點(diǎn)是在插空時(shí)，忽略數(shù)字相同時(shí)無順序問題，從而錯(cuò)誤的選擇排列來進(jìn)行求解.9、D【解題分析】分析：先求出和，再求即得.詳解：由題得因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，所以所以故答案為：D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查求導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平.(2)函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是10、A【解題分析】

求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)解題?！绢}目詳解】，斜率為正，排除BD選項(xiàng)。的圖象的頂點(diǎn)在第一象限其對(duì)稱軸大于0即b<0,選A【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)已知信息選導(dǎo)函數(shù)的大致圖像。屬于簡單題。11、A【解題分析】試題分析：分析題意可知，問題等價(jià)于圓錐的內(nèi)接長方體的體積的最大值，設(shè)長方體體的長，寬，高分別為，，，長方體上底面截圓錐的截面半徑為，則，如下圖所示，圓錐的軸截面如圖所示，則可知，而長方體的體積，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)利用率為，故選A.考點(diǎn)：1.圓錐的內(nèi)接長方體；2.基本不等式求最值.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何中的最值問題，與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合，立意新穎，屬于較難題，需要考生從實(shí)際應(yīng)用問題中提取出相應(yīng)的幾何元素，再利用基本不等式求解，解決此類問題的兩大核心思路：一是化立體問題為平面問題，結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)求解；二是建立目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)思想，選擇合理的變量，或利用導(dǎo)數(shù)或利用基本不等式，求其最值.12、B【解題分析】

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)計(jì)算出各類崗位的平均薪資，比較大小后得出結(jié)論?！绢}目詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，數(shù)據(jù)開發(fā)崗位的平均薪資為（萬元），數(shù)據(jù)分析崗位的平均薪資為（萬元），數(shù)據(jù)挖掘崗位的平均薪資為（萬元），數(shù)據(jù)產(chǎn)品崗位的平均薪資為（萬元）。故選：B?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，熟練利用平均數(shù)公式計(jì)算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，是解本題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力與數(shù)據(jù)分析能力，屬于中等題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)需要門高射炮，由題意得出，解出的取值范圍，可得出正整數(shù)的最小值.【題目詳解】設(shè)需要門高射炮，則命不中的概率為，由題意得出，得，解得，而，因此，至少需要門高射炮.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立事件概率乘法公式的應(yīng)用，在涉及“至少”問題時(shí)，可以利用對(duì)立事件的概率公式來進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.14、.【解題分析】

根據(jù)造價(jià)關(guān)系，得到總造價(jià)，再利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值.【題目詳解】設(shè)圓柱的高為，圓柱底面單位面積造價(jià)為，總造價(jià)為，因?yàn)閮?chǔ)油罐容積為，所以，整理得：，所以，令，則，當(dāng)?shù)茫海?dāng)?shù)?，所以?dāng)時(shí)，取最大值，即取得最大值.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題，考查運(yùn)算求解能力和建模能力，求解時(shí)要把相關(guān)的量設(shè)出，并利用函數(shù)與方程思想解決問題.15、【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)范圍求根公式求解【題目詳解】因?yàn)?，所以方程的根為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)范圍解實(shí)系數(shù)一元二次方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.16、2【解題分析】

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公差，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式，即可求出的值【題目詳解】在等差數(shù)列中，所以，解得或（舍去）.設(shè)的公差為，故，即.因?yàn)?，所以，故，或（舍去?【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和的公式，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）x+y=1,ρ2-2ρsin【解題分析】

（1）利用極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化公式直接轉(zhuǎn)化即可；（2）在直角坐標(biāo)系下求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，可得OB長，即得B的極坐標(biāo)，代入C2的極坐標(biāo)方程即可【題目詳解】（1）C1:ρsin由C2:x=acosφy=1+asinφ，消去參數(shù)φ得又x=ρcosθ，y=ρsin即C2的極坐標(biāo)方程為ρ（2）曲線C3的直角坐標(biāo)方程為y=x(x>0)，由y=xx+y=1，得OA=22，OB=22.即點(diǎn)B的極坐標(biāo)為2【題目點(diǎn)撥】本題考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線的極坐標(biāo)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．18、(1)(2)=2【解題分析】

(Ⅰ)由及正弦定理得由于，所以，又，故.(Ⅱ)的面積==,故=4，而故=8，解得=219、（I）；（II）（i）；（ii）．【解題分析】試題分析：（I）由頻率分布直方圖可估計(jì)樣本特征數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、均值、方差．若同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則眾數(shù)為最高矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)．中位數(shù)為面積等分為的點(diǎn)．均值為每個(gè)矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)與該矩形面積積的累加值．方差是矩形橫坐標(biāo)與均值差的平方的加權(quán)平均值．（II）（i）由已知得，，故；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，相當(dāng)于100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，故期望．試題分析：（I）抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值和樣本方差分別為，．（II）（i）由（I）知，服從正態(tài)分布，從而．（ii）由（i）可知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的概率為，依題意知，所以．【考點(diǎn)定位】1、頻率分布直方圖；2、正態(tài)分布的原則；3、二項(xiàng)分布的期望．20、（1）；（2）4.【解題分析】

（1）直接利用參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換求出結(jié)果．（2）利用直線的參數(shù)方程的轉(zhuǎn)換，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用求出結(jié)果．【題目詳解】（1）由參數(shù)方程，得普通方程，所以極坐標(biāo)方程.（2）設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，將代入得得所以,直線l（t為參數(shù)）可化為，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．21、（1）；（2）0.【解題分析】

可設(shè)橢圓C的方程為，由題意可得，由橢圓的定義計(jì)算可得，進(jìn)而得到b，即可得到所求橢圓方程；設(shè)直線AE：，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理可得E的坐標(biāo)，由題意可將k換為，可得F的坐標(biāo)，由直線的斜率公式計(jì)算可得直線EF的斜率，設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用直線和橢圓相切的條件：判別式為0，可得直線l的斜率，進(jìn)而得到所求斜率之和．【題目詳解】解：由題意可設(shè)橢圓C的方程為，且，，即有，，所以橢圓的方程為；設(shè)直線AE：，代入橢圓方程可