(人教A版2019選擇性必修第一冊(cè))高二數(shù)學(xué)上冊(cè)數(shù)學(xué)同步精講 拓展二：圓錐曲線的方程（軌跡方程問題）（精講）（原卷版+解析）

拓展二：圓錐曲線的方程（軌跡方程問題）（精講）第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：直接法重點(diǎn)題型二：相關(guān)點(diǎn)法重點(diǎn)題型三：定義法重點(diǎn)題型四：參數(shù)法重點(diǎn)題型五：點(diǎn)差法第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個(gè)關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；②以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．此時(shí)，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．知識(shí)點(diǎn)二：求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果已給出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫出等式；（4）用坐標(biāo)表示這個(gè)等式，并化簡(jiǎn)；（5）確定化簡(jiǎn)后的式子中點(diǎn)的范圍．上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍．知識(shí)點(diǎn)三：求軌跡方程的方法：1、定義法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。2、直譯法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)的坐標(biāo)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。3、參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量，以此量作為參變數(shù)，分別建立點(diǎn)坐標(biāo)與該參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，，進(jìn)而通過消參化為軌跡的普通方程.4、代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。5、點(diǎn)差法：圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程.第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：直接法典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，且，則點(diǎn)的軌跡方程是______．例題2．（2022·四川內(nèi)江·高二期末（理））在中，，，與斜率的積是．求點(diǎn)的軌跡方程；例題3．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二階段練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)、的距離之比為，動(dòng)直線與垂直，垂足為點(diǎn)．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；同類題型歸類練1．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)記點(diǎn)的軌跡為曲線，是曲線上的點(diǎn)，若直線，均過曲線的右焦點(diǎn)且互相垂直，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為.是否存在點(diǎn)，使直線恒過點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.2．（2022·四川·富順第二中學(xué)校高二階段練習(xí)（文））已知直線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，過Q作直線l垂直于x軸，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，且，記點(diǎn)P的軌跡為，求曲線的方程；3．（2022·河南商丘·三模（理））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，，M是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，C，D分別為線段AM，BM的中點(diǎn)，且直線OC，OD的斜率之積是．記M的軌跡為E．(1)求E的方程；(2)若過點(diǎn)且不與x軸重合的直線與E交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（與Q不重合），直線與x軸交于點(diǎn)G，求的值．重點(diǎn)題型二：相關(guān)點(diǎn)法典型例題例題1．（2022·吉林·東北師大附中高二期末）已知圓與直線相切．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若線段的端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)的坐標(biāo)是，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．例題2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知的斜邊為，且.求：(1)直角頂點(diǎn)的軌跡方程；(2)直角邊的中點(diǎn)的軌跡方程.例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是，點(diǎn)滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點(diǎn)的直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)，，求以，為鄰邊的平行四邊形的頂點(diǎn)的軌跡方程．同類題型歸類練1．（2022·廣東梅州·高二期末）已知圓M經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，且它的圓心M在直線上.(1)求圓M的方程；(2)若點(diǎn)D為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，求線段CD的中點(diǎn)P的軌跡方程.2．（2022·吉林·長(zhǎng)春十一高高二期末）已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為6.(1)求m的值及拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，點(diǎn)Q為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段FQ的中點(diǎn)，試求點(diǎn)M的軌跡方程.重點(diǎn)題型三：定義法典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知是兩個(gè)定點(diǎn)且的周長(zhǎng)等于則頂點(diǎn)的軌跡方程為______．例題2．（2022·廣東·華南師大附中三模）已知在中，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，，的垂直平分線交直線于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；例題3．（2022·福建省福州第一中學(xué)高二期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在軸及其右方，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到軸的距離大1.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；同類題型歸類練1．（2022·云南玉溪·高二期末）已知點(diǎn)，圓：，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線與交于點(diǎn)，記的軌跡為．(1)求的方程；2．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測(cè)（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足．記M的軌跡為C．(1)求C的方程；3．（2022·四川·綿陽中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））已知在平面直角坐標(biāo)系中有兩定點(diǎn)，，平面上一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別與交于，，，四點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，(1)求圓心的軌跡方程5．（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）在一張紙上有一圓：，定點(diǎn)，折疊紙片使圓上某一點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，這樣每次折疊都會(huì)留下一條直線折痕，設(shè)折痕與直線的交點(diǎn)為.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）動(dòng)點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離比它到定點(diǎn)的距離小2，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．7．（2022·廣東·大埔縣虎山中學(xué)高三階段練習(xí)）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切.(1)求動(dòng)圓的圓心軌跡的方程；重點(diǎn)題型四：點(diǎn)差法典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓的弦所在直線過點(diǎn)，求弦中點(diǎn)的軌跡方程.例題2．（2021·上海·高三專題練習(xí)）給定雙曲線.（1）過點(diǎn)的直線與所給雙曲線交于兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)軌跡方程.（2）過點(diǎn)能否作出直線，使與所給雙曲線交于兩點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)？并說明理由.例題3．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn).求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.拓展二：圓錐曲線的方程（軌跡方程問題）（精講）第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：直接法重點(diǎn)題型二：相關(guān)點(diǎn)法重點(diǎn)題型三：定義法重點(diǎn)題型四：參數(shù)法重點(diǎn)題型五：點(diǎn)差法第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個(gè)關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；②以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．此時(shí)，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．知識(shí)點(diǎn)二：求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果已給出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫出等式；（4）用坐標(biāo)表示這個(gè)等式，并化簡(jiǎn)；（5）確定化簡(jiǎn)后的式子中點(diǎn)的范圍．上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍．知識(shí)點(diǎn)三：求軌跡方程的方法：1、定義法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。2、直譯法：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)的坐標(biāo)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。3、參數(shù)法：如果采用直譯法求軌跡方程難以奏效，則可尋求引發(fā)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)幾何量，以此量作為參變數(shù)，分別建立點(diǎn)坐標(biāo)與該參數(shù)的函數(shù)關(guān)系，，進(jìn)而通過消參化為軌跡的普通方程.4、代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。5、點(diǎn)差法：圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程.第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析重點(diǎn)題型一：直接法典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，且，則點(diǎn)的軌跡方程是______．【答案】設(shè)點(diǎn)，則，設(shè)，，則，，，，，，又，，，，即.故答案為：.例題2．（2022·四川內(nèi)江·高二期末（理））在中，，，與斜率的積是．求點(diǎn)的軌跡方程；【答案】(1)設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為，由題知整理得點(diǎn)的軌跡方程為例題3．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城中學(xué)高二階段練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)、的距離之比為，動(dòng)直線與垂直，垂足為點(diǎn)．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；【答案】(1)解：設(shè)點(diǎn)，由已知可得，整理可得.因此，點(diǎn)的軌跡方程為.同類題型歸類練1．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；(2)記點(diǎn)的軌跡為曲線，是曲線上的點(diǎn)，若直線，均過曲線的右焦點(diǎn)且互相垂直，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為.是否存在點(diǎn)，使直線恒過點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【答案】(1)；設(shè)，因?yàn)橹本€相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積為，所以，整理可得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.2．（2022·四川·富順第二中學(xué)校高二階段練習(xí)（文））已知直線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，過Q作直線l垂直于x軸，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，且，記點(diǎn)P的軌跡為，求曲線的方程；【答案】(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則，∵，∴∴，當(dāng)時(shí)，P、O、Q三點(diǎn)共線，不符合題意，故．∴曲線C的方程為．3．（2022·河南商丘·三模（理））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知，，M是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，C，D分別為線段AM，BM的中點(diǎn)，且直線OC，OD的斜率之積是．記M的軌跡為E．(1)求E的方程；(2)若過點(diǎn)且不與x軸重合的直線與E交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為（與Q不重合），直線與x軸交于點(diǎn)G，求的值．【答案】(1)（）解：由題意可知，直線的斜率存在，且，．由直線OC，OD的斜率之積是可知，直線BM，AM的斜率之積是，設(shè)，則直線AM的斜率為，直線BM的斜率為，可得，整理得，故E的方程為．重點(diǎn)題型二：相關(guān)點(diǎn)法典型例題例題1．（2022·吉林·東北師大附中高二期末）已知圓與直線相切．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若線段的端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)的坐標(biāo)是，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程．【答案】(1)(2)(1)已知圓與直線相切，所以圓心到直線的距離為半徑．所以，所以圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．(2)設(shè)因?yàn)锳B的中點(diǎn)是M，則，所以，又因?yàn)锳在圓O上運(yùn)動(dòng)，則，所以帶入有：，化簡(jiǎn)得：．線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為:.．例題2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知的斜邊為，且.求：(1)直角頂點(diǎn)的軌跡方程；(2)直角邊的中點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)(1)解：設(shè)，因?yàn)槿c(diǎn)不共線，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，整理得，即，所以直角頂點(diǎn)的軌跡方程為.(2)解：設(shè)，因?yàn)?，是線段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以，由（1）知，點(diǎn)的軌跡方程為，將代入得，即所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是，點(diǎn)滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程，并說明軌跡是什么圖形；（2）過點(diǎn)的直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)，，求以，為鄰邊的平行四邊形的頂點(diǎn)的軌跡方程．【答案】（1）點(diǎn)M的軌跡C的方程為，軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓（2）（1）設(shè)，則由知：點(diǎn)在圓上

點(diǎn)的軌跡的方程為：軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓（2）設(shè)，由題意知的斜率存在設(shè)，代入得：則，解得：設(shè)，，則四邊形為平行四邊形又

∴，消去得：

頂點(diǎn)的軌跡方程為同類題型歸類練1．（2022·廣東梅州·高二期末）已知圓M經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，且它的圓心M在直線上.(1)求圓M的方程；(2)若點(diǎn)D為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，求線段CD的中點(diǎn)P的軌跡方程.【答案】(1).(2).(1)解：設(shè)圓M的方程為，則圓心依題意得，解得.所以圓M的方程為.(2)解：設(shè)，，依題意得，得.點(diǎn)為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，得，化簡(jiǎn)得P的軌跡方程為.2．（2022·吉林·長(zhǎng)春十一高高二期末）已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為6.(1)求m的值及拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，點(diǎn)Q為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段FQ的中點(diǎn)，試求點(diǎn)M的軌跡方程.【答案】(1)見解析(2)(1)解：因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為6，所以，解得或，所以時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)解：因?yàn)?，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則焦點(diǎn)為，設(shè)，則，故，即，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得：，即，所以點(diǎn)M的軌跡方程為.3．（2022·新疆昌吉·高二期末（理））點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線：的距離的比是常數(shù).（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）點(diǎn)在（1）中軌跡上運(yùn)動(dòng)軸，為垂足，點(diǎn)滿足，求點(diǎn)軌跡方程.【答案】（1）；（2）（1）由題意知，所以化簡(jiǎn)得：（2）設(shè)，因?yàn)?，則將代入橢圓得化簡(jiǎn)得重點(diǎn)題型三：定義法典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知是兩個(gè)定點(diǎn)且的周長(zhǎng)等于則頂點(diǎn)的軌跡方程為______．【答案】或，且△ABC的周長(zhǎng)等于16，，故頂點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，除去與軸的交點(diǎn)，，，，故頂點(diǎn)的軌跡方程為或故答案為：或例題2．（2022·廣東·華南師大附中三模）已知在中，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，，的垂直平分線交直線于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；【答案】(1)∵，∴AC的垂直平分線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．連接PC，則，∴，由雙曲線的定義知，點(diǎn)P的軌跡E是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），，，則，∴E的方程是．例題3．（2022·福建省福州第一中學(xué)高二期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在軸及其右方，且點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到軸的距離大1.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；【答案】(1)；由題可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，以直線l：為準(zhǔn)線的拋物線，所以點(diǎn)P的軌跡E的方程是；同類題型歸類練1．（2022·云南玉溪·高二期末）已知點(diǎn)，圓：，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，的垂直平分線與交于點(diǎn)，記的軌跡為．(1)求的方程；【答案】(1)解：圓的圓心為，半徑，由點(diǎn)在的垂直平分線上，得，所以，所以的軌跡是以A，為焦點(diǎn)的橢圓，，，所以，，，所以的方程為；2．（2022·河南安陽·模擬預(yù)測(cè)（文））在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足．記M的軌跡為C．(1)求C的方程；【答案】(1)由橢圓的定義可知：M的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，，所以，所以C的方程為3．（2022·四川·綿陽中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））已知在平面直角坐標(biāo)系中有兩定點(diǎn)，，平面上一動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，分別與交于，，，四點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)因?yàn)椋ǎ?，所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，所以，，，所以軌跡方程為；4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，(1)求圓心的軌跡方程【答案】(1)解：因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切，設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，圓C半徑為，則，，所以<4，所以點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的一支，又，，，所以其軌跡方程為；5．（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）在一張紙上有一圓：，定點(diǎn)，折疊紙片使圓上某一點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，這樣每次折疊都會(huì)留下一條直線折痕，設(shè)折痕與直線的交點(diǎn)為.(1)求點(diǎn)的軌跡方程；【答案】(1)解：依題意可得點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱，則，∴.則點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線，∴，，又，