數學物理方法課件：特殊函數

特殊函數4.1二階線性常微分方程的級數解4.2勒讓德多項式4.3勒讓德多項式的性質4.4勒讓德多項式在解數理方程中的應用4.5連帶勒讓德函數4.6球函數特殊函數4.7貝塞爾函數4.8貝塞爾函數的性質4.9其他柱函數4.10貝塞爾函數的應用4.11本章小結習題4通過第3章的學習可以發(fā)現，在正交曲線坐標系下利用分離變量法會得到一些特殊的變系數的常微分方程，如貝塞爾方程和(連帶)勒讓德方程等。只有討論了這些方程的解和本征值問題，才能在正交曲線坐標系中將分離變量法進行到底。因此，本章繼續(xù)學習這些方程對應的特殊函數，掌握正交曲線坐標系下的分離變量法及特殊函數的應用。

隨著問題的復雜化，由偏微分方程分離變量后得到的常微分方程將不再是常系數的，也難以化為常系數的。此時的常微分方程不同于高等數學里面學習的簡單常微分方程，因此需要引入新的求解方法。本節(jié)主要討論這類常微分方程的級數解法，為我們研究特殊函數奠定基礎。4.1二階線性常微分方程的級數解4.1.1二階線性常微分方程的常點與奇點

二階線性齊次常微分方程的一般形式可寫為

y"(x)＋p(x)y'(x)＋q(x)y(x)＝0 (4.1)

將x延拓到復數域，變?yōu)閦，則方程可寫為

w"(z)＋p(z)w'(z)＋q(z)w(z)＝0 (4.2)

其中，w＝w(z)為未知函數；p(z)、q(z)為已知的復變函數。

在此引入以下定義：

(1)方程的常點：若p(z)、q(z)均在z＝z0點及其鄰域內解析，則稱z＝z0為方程(4.2)的常點。

(2)方程的奇點：若p(z)、q(z)中至少有一個函數在z＝z0不解析，則稱z＝z0點為方程(4.2)的奇點。

(3)對于方程的奇點z＝z0，若又有(z－z0)p(z)和(z－z0)2q(z)在z＝z0端點解析，則奇點z＝z0稱為正則奇點，且稱為p(z)的一階奇點，為q(z)的二階奇點；否則為非正則奇點。4.1.2方程常點鄰域內的級數解

若z＝z0是方程(4.2)的一個常點，由微分方程的解析理論可知有如下定理：

定理1(解的存在與唯一性定理)如果p(z)、q(z)在圓|z－z0|<R(R是與z0最近的方程奇點到z0的距離)內是單值解析的(即z＝z0是方程的一個常點)，則方程

w"＋p(z)w'＋q(z)w＝0 (4.3)

在該圓內有唯一的一個解析的解w(z)滿足初值條件

w(z0)＝C1

w'(z0)＝C2 (4.4)其中，C1和C2是任意給定的復常數，并且解w(z)在該圓內是單值解析的。

注意：

(1)因為解w(z)在|z－z0|<R是解析的，故w(z)可用(z－z0)的冪級數表示，這就是冪級數解法的基礎。即這個解析解可表示成

(4.5)

其中，a0，a1，…，ak，…為待定系數。

(2)冪級數解法的一般步驟是：

首先，設解為式(4.5)，并把p(z)、q(z)同樣在(z－z0)展成冪級數形式，即

(4.6)

然后，將式(4.5)和式(4.6)代入常微分方程(4.3)中，采用待定系數法求出ak、pk、qk即可。

例4.1

在z0＝0的鄰域內求解常微分方程

w"－m2w＝0 (4.7)

解：由于此方程的p(z)＝0，q(z)＝－m2在任意點均解析，故解在整個復平面內解析，z0＝0是方程的常點，因此可設方程的級數解為

(4.8)

其中，ak為待定系數。

對w(z)逐項微分，得

(4.9)

(4.10)

而p(z)、q(z)為常數，無需做展開，將以上各式代入方程

(4.11)

此式為關于z的恒等式，故對應的各次冪的系數均應分別為0。因此，比較等式兩邊的zk次冪項對應的系數，得

(4.12)

即

(4.13)由上關系可得：

(4.14)

這樣，我們就得到方程的級數解為

(4.15)

(4.16)

該結果與我們熟知方程的解w＝Achmz＋Bshmz或w＝Cemz＋De－mz一致，這里用級數解法是為了幫助大家學習級數解法的步驟。

另外，由冪級數收斂半徑的公式

，可得確定收斂域為(－∞，＋∞)。

例4.2

求l階勒讓德方程

(1－x2)y"－2xy'＋l(l＋1)y＝0 (4.17)

在x0＝0點鄰域內的級數解。

解：方程可標準化為

(4.18)

其系數

，

在x0＝0處解析，即x0＝0是方程的常點。

根據常點鄰域上解的定理，設解為

(4.19)

其中，ck是待定系數。對式(4.19)逐項微分，得

(4.20)

注意到式(4.17)中的系數1－x2和－2x已經是x的二次項、一次項和常數項，因此無需展開。

把式(4.20)代入方程(4.17)，得

(4.21)

此式是對x的一個恒等式，故對應x的各次冪的系數均應為零。因此，比較等式兩邊的xk次冪項對應的系數，得

(4.22)

即

(4.23)

由上關系可得：

(4.24)…

把所有下標為偶數的系數c2k用c0表示出來，而把所有下標為奇數的系數c2k＋1用c1表示出來，即得

(4.25)

(4.26)

至此，我們得l階勒讓德方程的級數解(通解)為

y(x)＝y(tǒng)0(x)＋y1(x) (4.27)其中，y0(x)只含有x的偶次冪，即

(4.28)

y1(x)只含有x的奇次冪，即

(4.29)

當然，由于方程(4.17)中含有參數l，解式中的y0(x)、y1(x)也必依賴于這個參數。

最后，利用遞推公式(式(4.23))，得級數解的收斂半徑為

(4.30)

這樣，級數解收斂于|x|<1，發(fā)散于|x|>1。但是，物理問題經常要求在x＝±1時解是有界的(不發(fā)散)。因此，我們還需要討論x＝±1時解的斂散性。

首先討論y0(x)在x＝±1的情況，由式(4.28)得

(4.31)其中，

(4.32)

當k→∞時，

(4.33)

由級數收斂性的高斯判據(此時達朗貝爾判據失效)可知，級數發(fā)散。同理，y1(x)在x＝±1時也發(fā)散。所以，l階勒讓德方程的級數解在|x|<1時收斂，在|x|≥1時發(fā)散。4.1.3方程正則奇點鄰域內的級數解

由解的存在與唯一性定理可知，方程w"＋p(z)w'＋q(z)w＝0的常點必是解的解析點，因此可以用泰勒級數展開。但是，如果是在方程的奇點處，仍然試圖得到冪級數形式的解，因為方程的奇點一般也就是解的奇點，所以應當考慮羅朗級數，此時由常微分方程的解析理論可得如下定理。

定理2

如果z＝z0是方程w"＋p(z)w'＋q(z)w＝0的奇點，

則在z0的鄰域0<|z－z0|<R內(域內無其它奇點)，方程存在兩個線性無關的解，其形式為

(4.34)

(4.35)

或

(4.36)

其中，r1、r2、g、ck、dk(k＝0，±1，±2，…)均為待定系數。定理2只給出一般性論斷，事實上，這些待定系數在一般情況下很難確定，但是，如果z0是方程的正則奇點，這種情況常見并且相對容易求解。

定理3

如果z＝z0是方程w"＋p(z)w'＋q(z)w＝0的正則奇點，則在z0的鄰域0<|z－z0|<R內，方程存在兩個線性無關的正則解(即無窮級數中不含負冪項)，其形式為

(4.37)

(4.38)

或

(4.39)

其中，c0≠0，d0≠0。

注意：

(1)r1和r2一般不等于整數。

(2)對于級數部分，非正則奇點對應于羅朗級數，由于k為－∞→＋∞，因此難以應用級數求解，而正則奇點對應于泰勒級數，則可用級數法求解。

(3)正則解中c0≠0，d0≠0，限制原因在于可以改變r1和r2使級數部分從零次冪開始，而對于常點的情況，r1和r2不能調整，故常點情況一般不能要求c0≠0。

例4.3

求歐拉型方程在x＝0鄰域處的解

(4.40)

解：將原方程化為標準方程，得

(4.41)

其中，

顯然，x＝0為方程的奇點，但xp(x)和x2q(x)在點x＝0解析，所以x＝0為方程的正則奇點。

根據定理3，設形式解為

(4.42)

對式(4.42)求導，得

(4.43)

(4.44)

注意到方程(4.41)中的x2、x、－m2均無需泰勒展開，將式(4.42)～(4.44)代入式(4.41)，得

(4.45)整理，得

(4.46)

顯然，上式對應x的各次冪的系數應為零，即

［(r＋k)2－m2］ck＝0(k＝0，1，2，…) (4.47)

(1)當k＝0時，有

［r2－m2］c0＝0 (4.48)

注意到c0≠0，可得指標方程

r2＝m2

(4.49)

即

r1＝m，r2＝－m

(4.50)

這里我們之所以稱式(4.49)為指標方程，是因為我們通過xr＋k的最低次冪xr(即k＝0)可以確定系數r的值(設定c0≠0的原因)。一旦r值確定，對應的其它各系數均可確定。

(2)當k＝1時，有

［(r＋1)2－m2］c1＝0 (4.51)

顯然，無論r＝±m(xù)，均有(r＋1)2－m2≠0，所以c1＝0。同理可得，ck＝0(k＝1，2，…)。

所以，方程的級數解為

(4.52)

(4.53)

則原方程的通解為

y(x)＝c0xm＋d0x－m

(4.54)

例4.4

在x0＝0的鄰域內求n階貝塞爾方程

x2y"(x)＋xy'(x)＋(x2－n2)y(x)＝0

(4.55)

的解，其中n為任意常數。

解：把方程化為標準形式

(4.56)

其中，

顯然，x＝0為方程的奇點，但xp(x)和x2q(x)在x＝0點解析，所以x＝0為方程的正則奇點。

令

(4.57)

則有

(4.58)

(4.59)而方程(4.55)中系數x2、x、x2－n2均已是x的冪級數形式，無需展開。將式(4.57)～(4.59)代入式(4.55)得

(4.60)

整理，得

(4.61)

此式是關于x的一個恒等式，故x的各次冪的系數均必須為0。

由x的最低次冪xr(k＝0)的系數為零，同時注意到a0≠0，得指標方程

r2－n2＝0 (4.62)

由此求得

r1＝n，r2＝－n

(4.63)

(1)先討論r＝r1＝n的情形，不妨設n>0，

y1(x)＝

由式(4.61)知，當k＝0時，即xn＋1的系數為

(4.64)

顯然(n＋1)2－n2≠0，所以，必有a1＝0。

再由xn＋k的系數為零，可得

［(n＋k)2－n2］ak＋ak－2＝0

(4.65)

即遞推關系為

(4.66)

又因為a1＝0，故由式(4.66)可知

a2k＋1＝0(k＝0，1，2，…)

(4.67)而

(4.68)

…

上式用到了G(z＋1)＝zG(z)，將ak代入式(4.57)，得貝塞爾方程的一個特解

(4.69)

進而可以確定這個級數解的收斂半徑為

(4.70)

所以，解的收斂域為0<|x|<∞。

(2)再討論r＝r2＝－n的情形，類似地，若令

(4.71)

同理，可得

(4.72)

收斂范圍仍然是0<|x|<∞。

討論：

(1)因a0、b0是任意常數，通常取

并把這兩個線性無關的解稱為±n階柱貝塞爾函數(本書簡稱為貝塞爾函數或(柱)貝塞爾函數)，記為

(4.73)

(4.74)

顯然，貝塞爾方程(式(4.55))的通解就是這兩個特解的線性疊加，即

y(x)＝c1Jn(x)＋c2J－n(x) (4.75)

(2)如果n為整數(包括零)，則兩根之差r1－r2＝2n，這時，第一個解y1(x)仍為式(4.69)，第二個解則一般應用

(4.76)

求解，其中g、bn待定。

(3)關于n為半奇數的形式，可以參考4.9節(jié)的討論。

總之，利用方程的級數解法可以獲得球坐標和柱坐標系下相關常微分方程的通解形式，為我們進一步正交曲線坐標系下的分離變量法求解方程提供途徑。

勒讓德方程已經在上一節(jié)中解出，它有兩個線性獨立的解，即式(4.28)和式(4.29)，通解為這兩個解的線性組合，這個解在開區(qū)間|x|<1上收斂。但是，在實際的物理問題中，我們常常需要求解該方程在閉區(qū)間|x|≤1中存在有限解的情況，這就會導出勒讓德方程的本征解——勒讓德多項式和一些重要的性質及其應用。4.2勒讓德多項式4.2.1勒讓德多項式

1.勒讓德方程的本征值問題

事實上，對于勒讓德方程

(1－x2)y"－2xy'＋l(l＋1)y＝0 (4.77)

可以化為斯特姆-劉維型方程

［(1－x2)y'］'＋l(l＋1)y＝0 (4.78)

其中，k(x)＝1－x2，在x＝±1處的k(±1)＝1－(±1)2＝0，且為一級零點，在端點x＝±1存在有界性自然邊界條件。

因此，對于我們所要求解的勒讓德方程在|x|≤1中存在有限解的問題，就是本征值問題

(1－x2)y"－2xy'＋l(l＋1)y＝0

y|x＝±1→有限

(4.79)

這個方程在例4.2中已經利用級數解法求得其通解為

y(x)＝y(tǒng)0(x)＋y1(x)其中

(4.80(a))

(4.80(b))

這個解在|x|<1上收斂，但在x＝±1處，兩個級數解y0(x)和y1(x)都是發(fā)散的，我們又該如何確定方程的本征解呢？

顯然，對于本征值問題(式(4.79))，可以嘗試通過選取恰當的本征值l(l＋1)，如果可以把級數解退化成有限的多項式，那么就可以獲得滿足收斂條件的本征解。

事實上，在獲得級數解y0(x)和y1(x)時，曾用到了遞推關系

(4.81)可以看出，如果取l為正整數，則當k＝l時，就會有cl＋2＝0，依次可得cl＋4＝cl＋6＝…＝0。此時，無窮級數解y0(x)或者y1(x)就會退化為一個有限的多項式，從而得到在|x|≤1內的本征解。因此，我們分以下兩種情況進行討論：

(1)當k＝l＝2n(n＝0，1，2，…)(即l為偶數)時，

(4.82)

于是

(4.83)

這是一個只包含偶數次冪的l次多項式(其中各次冪的系數取決于c0)，這個多項式一定是有界的，因此滿足本征值問題(式(4.79))中的自然邊界條件。這樣，我們就找到了一個本征解。

(2)當k＝l＝2n＋1(n＝0，1，2，…)(即l為奇數)時，

(4.84)

于是

(4.85)

也是一個只包含奇數次冪的l次多項式(其中各次冪的系數取決于c1)，這個多項式也一定是有界的，同樣滿足本征值問題(式(4.79))中的自然邊界條件。這樣，我們就找到了另一個本征解。

需要注意的是，當k＝l＝2n時，y0(x)是一個有限的多項式，此時y1(x)中各次冪的系數不會出現截至項cl＋2＝c2n＋2＝0，因此，

y1(x)仍為無窮級數，也就是說，勒讓德方程的通解y(x)＝y(tǒng)0(x)＋y1(x)仍應該在x＝±1是發(fā)散的。當k＝l＝2n＋1時，情況也一樣。但是，這里我們關心的是方程的本征解，即方程的滿足自然邊界條件的特解，所以，只要得到y(tǒng)0(x)或者y1(x)的多項式表達就可以了。

綜上所述，勒讓德方程只有當參數l取正整數時，才有在閉區(qū)間|x|≤1上的有界解，因此，我們把l(l＋1)稱為方程(4.79)的本征值，而相應的l次多項式(4.83)或(4.85)，即y0(x)或y1(x)稱為本征函數。

2.勒讓德多項式的定義

可以看到，勒讓德方程的本征值問題的本征函數是x的l次多項式，其系數取決于c0或者c1，可以有不同的取法，比較繁瑣。為了使本征函數具有比較簡潔的便于實際應用的形式，同時使它在x＝1處的值恒為1，選取最高次冪的系數為

(4.86)此時得到的多項式稱為勒讓德多項式，用Pl(x)表示。下面寫出它的具體表達式。

把遞推關系式(4.81)改寫為

(4.87)

于是

(4.88)

(4.89)

(4.90)因此，當l－2n≥0時，有

(4.91)

其中，k＝0，1，2，…，

。這里的簡化記號

由此，得到l階勒讓德多項式的具體表達式為

(4.92)

它是l階勒讓德方程在|x|≤1上的一個有界解。因此，方程(4.79)的本征值問題的本征值和本征函數分別是

ll＝l(l＋1)，y＝Pl(x)(l＝0，1，2，…)

(4.93)

l階勒讓德多項式也稱為l階勒讓德函數或第一類勒讓德函數。由其表達式(4.92)可得前幾個勒讓德多項式分別為：

(4.94)

圖4.1勒讓德多項式Pl(x)它們的圖形見圖4.1。

由圖4.1可見，存在有下列關系式：

Pl(－x)＝(－1)lPl(x) (4.95)

Pl(1)＝1 (4.96)4.2.2勒讓德多項式的微分和積分表示

為了以后應用的方便，這里討論一下勒讓德多項式的其他表示法。

1.勒讓德多項式的微分表示

勒讓德多項式的微分表示

(4.97)

稱為羅巨格(Rodrigues)公式。

證明用二項式定理把(x2－1)l展開，

(4.98)

把上式求導l次，x的冪次2l－2k低于l的項在l次求導過程中稱為零，所以只需要保留2l－2k≥l的各項，即k≤l/2的各項。因此有

(4.99)

2.勒讓德多項式的積分表示

利用解析函數的高階導數的柯西積分公式，得到勒讓德多項式的積分表達

(4.100)

其中，C為包圍x＝x點的任意正向(逆時針)閉合回路。這叫做施列夫利(Schlafli)公式。

證明利用解析函數的高階導數的柯西積分公式，有

(4.101)

兩邊同乘以12ll!，并比較式(4.97)，就可得

還可以把勒讓德多項式的積分形式表示為定積分的形式。為此，取C為圓周，圓心在x＝x點，半徑為

，在C上，x－x＝

，dx＝

，于是式(4.100)可寫成

(4.102)

稱此式為拉普拉斯積分。注意到x＝cosq，代入得

(4.103)

即為Pl(x)的定積分表示。

在這一節(jié)中，我們引入勒讓德多項式的母函數的定義，在此基礎上導出勒讓德多項式的重要性質，為在球坐標系中求解數學物理方程提供基礎。4.3勒讓德多項式的性質4.3.1勒讓德函數的母函數

如果函數w(x，r)滿足關系

w(x，r)＝∑kFk(x)rk(4.104)

則稱w(x，r)為Fk(x)的母函數，也叫生成函數(其中r可以是復數)。

現在的問題是，能否找到勒讓德函數Pl(x)的母函數？下面我們來考慮一個簡單的靜電場問題：

在以原點為球心的單位球面與z軸的交點N處放置一個電量為4pe0的點電荷，如圖4.2所示，求球內任意一點M(r，q)的電勢u(r，q)。圖4.2單位球面上的點電荷在球內的電勢根據靜電勢的定義，M點處的電勢為

(4.105)

令x＝cosq，則

(4.106)

顯然，函數u的奇點(即分母為零的點)在1－2rx＋r2＝0的點，即

(4.107)

因此，只要

，就可以把式(4.106)在r＝0點展開成泰勒級數

(4.108)

顯然，如果展開系數Cl(x)恰好是Pl(x)，則根據母函數的定義，(1－2rx＋r2)－12就是Pl(x)的母函數了，下面證明這一點。

根據泰勒級數展開系數的積分公式可得

(4.109)

其中，C是沿逆時針方向繞r＝0的閉合曲線。

作變量代換，令

(4.110)

可得

(4.111)

代入式(4.109)可得

(4.112)

于是有

(4.113)

稱

為勒讓德多項式Pl(x)的母函數。

利用母函數可以方便地導出一系列特殊函數的性質，十分方便。這種利用母函數研究問題的方法稱為母函數法。

例如，利用式(4.113)立即可得Pl(x)在x＝±1的值。因為當x＝±1時，有

(4.114)

即把(1±r)－1展開成泰勒級數，比較兩邊的系數，可得

(4.115)

同樣，由式(4.113)比較系數也容易得到Pl(x)的表達式：

(4.116)

(4.117)

說明一點，在4.2節(jié)中把勒讓德方程的本征解的最高次冪的系數取為

的目的就是為了使勒讓德多項式與式(4.114)中的展開系數一致。

利用母函數法，還可以得到勒讓德多項式的許多性質。4.3.2勒讓德多項式的遞推公式

勒讓德多項式具有遞推公式

(4.118)

(4.119)

(4.120)

(4.121)

其中，l＝1，2，…。

證明：將式(4.113)兩邊對r求導，得

(4.122)

用(1－2rx＋r2)乘以式(4.122)，得

(4.123)把式(4.113)代入等式的左邊，得

(4.124)

比較兩邊rl次冪的系數，可得

(4.125)

整理得

(2l＋1)xPl(x)－lPl－1(x)＝(l＋1)Pl＋1(x)

即式(4.118)得證。

同樣，將式(4.113)兩邊對x求導，得

(4.126)

式(4.122)乘以r，再減去式(4.126)乘以(x－r)，得

(4.127)

比較兩邊rl次冪的系數，可得

lPl(x)＝xP'l(x)－P'l－1(x)

即式(4.119)得證。

對式(4.118)兩端關于x求導

(4.128)

再用式(4.119)乘以l，加上式(4.128)，約去公因子l＋1，即可得

(4.129)

即式(4.120)得證。

式(4.129)減去式(4.119)，可得式(4.121)。

這些遞推公式在含有勒讓德多項式的運算中經常會用到。4.3.3勒讓德多項式的正交歸一性

勒讓德多項式是勒讓德方程的本征值問題的本征函數，具有本征函數的共性，即正交歸一性，在［－1，1］上滿足如下關系：

(4.130)

證明首先證明其正交性，

(4.131)

由于Pl(x)和Pk(x)分別為l階和k階勒讓德方程的特解，滿足方程

(4.132)

(4.133)

把式(4.132)乘以Pk(x)，減去式(4.133)乘以Pl(x)，然后積分可得

(4.134)

因為k≠l，l(l＋1)－k(k＋1)≠0，則必有

(4.135)

正交性得證。

由母函數關系式(4.113)

(4.136)

兩邊對x積分，并利用正交性式(4.135)可得

(4.137)

又因為

(4.138)注意到：

(4.139)

可得

(4.140)

由此可得

(4.141)

記

，稱為Pl(x)的模方。至此，我們有

利用勒讓德多項式的遞推關系和正交歸一性，可以求解含有勒讓德函數的積分問題。

例4.5

求積分(1)

；(2)

解：(1)由遞推公式(式(4.118))，得

(4.142)

代入積分，有

(4.143)利用式(4.130)可得

(4.144)

(2)

例4.6

求方程［(1－x2)y'］'＋6y＝0的一個特解。

解：方程可化為［(1－x2)y'］'＋2(2＋1)y＝0，可見是l＝2的勒讓德方程，

所以其特解可寫為

y＝P2(x)

如同三角函數的正交歸一性的用途一樣，勒讓德函數的正交歸一性也十分有用，可以結合遞推公式來計算含勒讓德多項式的積分等運算，微分方程的求解以及函數的廣義傅里葉級數展開。4.3.4廣義傅里葉級數展開

根據3.2節(jié)本征函數的特性，不難得到勒讓德多項式Pl(x)在區(qū)間［－1，1］上構成一正交完備函數系。因此，可以利用勒讓德函數作為本征函數族，對滿足條件的f(x)作廣義傅里葉展開。

定理若函數f(x)在區(qū)間［－1，1］上有連續(xù)的一階導數及分段連續(xù)的二階導數，則f(x)在區(qū)間［－1，1］上可展開為絕對且一致收斂的級數：

(4.145)其中，

(4.146)

例4.7

將函數

按勒讓德多項式展開為廣義傅里葉級數。

解：由展開定理

其中，

(4.147)(1)當l為偶數時，Pl(x)是偶函數，所以Cl＝0；

(2)當l為奇數時，Pl(x)是奇函數，所以

不妨令l＝2k＋1(k＝0，1，2，…)，則

…所以，

(4.148)

這就是f(x)在［－1，1］上的廣義傅里葉級數展開式。

例4.8

在區(qū)間［－1，1］上把函數f(x)＝2x3＋3x＋4展開為廣義傅里葉級數。

解：本題可以按照廣義傅里葉級數展開公式，根據上題的方法，逐步求得展開系數，但是這樣顯然麻煩。我們可以注意到，f(x)是一個x的低次冪的多項式，而勒讓德函數本身也是關于x的多項式，事實上完全可以采用“湊”多項式的方法，把f(x)用P0(x)、P1(x)、P2(x)和P3(x)的線性組合來表示。這樣，我們就立刻可以得到f(x)的級數展開式中的各項的系數。由

(4.149)

比較等式兩邊系數可得

因此

(4.150)

在3.5.3節(jié)中，我們已經看到，在球坐標系下，

令u(r，q，j)＝R(r)Q(q)F(j)，拉普拉斯方程分離變量以后，得到的方程是

(4.151)

4.4勒讓德多項式在解數理方程中的應用其中，第一個方程是歐拉型方程，它的通解為

(4.152)

第二個方程也是我們常見的二階常微分方程，它的通解為

Fm(j)＝Amcosmj＋Bmsinmj

(4.153)

而第三方程就是我們熟悉的連帶勒讓德方程，當m＝0時，就是勒讓德方程，即

(1－x2)y"－2xy'＋l(l＋1)y＝0 (4.154)它的解就是我們前面所討論的勒讓德函數。因此，我們可以利用勒讓德函數的定義和性質，根據分離變量法的步驟，得到所求數理方程的解。

例4.9

已知半徑為a的球面上的電勢分布為f(q)，求此球內外的無電荷空間中的電勢分布。

解：在無電荷分布的空間中，電勢u分布滿足拉普拉斯方程的定解問題

Du＝0

u|r＝a＝f(q) (4.155)

注意到球面上的電勢分布與j無關，故電勢分布具有旋轉對稱性，僅為r、q的函數。即m＝0，令u(r，q)＝R(r)Q(q)，方程(4.155)可分離為

(4.156)

(4.157)

式(4.157)就是勒讓德方程。在物理上，顯然要求所有方向上電勢值應該是有限的，即式(4.157)的本征解為

Q(q)＝Pl(cosq)

(4.158)

而歐拉型方程(4.156)的通解為式(4.152)，對于球內電勢分布問題，要求當r→0時u|r＝0→有界，故必有Dl＝0，所以

Rl(r)＝Clrl

(4.159)

根據疊加原理，球內問題的一般解為

(4.160)代入邊界條件u|r＝a＝f(q)，得到：

(4.161)

由廣義傅里葉展開定理式(4.146)可以得到：

(4.162)

球內電勢分布為式(4.160)，其中系數滿足式(4.162)。

與此類似，對于球外電勢分布問題，要求當r→∞時u|r＝∞→有界，故必有Cl＝0，所以

(4.163)

此時，根據疊加原理，原問題的一般解為

(4.164)

利用邊界條件u|r＝a＝f(q)，可得

(4.165)

從而，可確定系數

(4.166)

球外電勢分布為式(4.164)，其中系數滿足式(4.166)。

這里需要注意兩點：

(1)表面電勢分布的旋轉對稱性決定了解與j無關，此時在球坐標系下分離變量，方程中的m＝0，僅有關于r、q的方程。

(2)上例中在球內和球外得到兩個電勢分布的表達式，即式(4.160)和式(4.164)，它們在邊界r＝a處(球面上)應該滿足“銜接”條件：u內|r＝a＝u外|r＝a。

例4.10

設有一單位球，其邊界球面上溫度分布為u|r＝1＝cos2q，求球內的穩(wěn)定溫度分布。

解：溫度u分布滿足的定解問題為

(4.167)

同樣，邊界條件與j無關，只需用m＝0的球坐標系分離變量，令u(r，q)＝R(r)Q(q)，得方程

(4.168)

(4.169)

參考例4.9，對球內溫度分布問題，以上方程的本征解分別為

(4.170)合成原問題的一般解為

(4.171)

代入邊界條件u|r＝1＝cos2q，得

(4.172)

當然，我們可以直接利用廣義傅里葉級數展開定理得到系數Cl，但是這樣比較麻煩?？梢宰⒁獾?/p>

P0(x)＝1，所以

(4.173)

比較式(4.172)和式(4.173)兩邊的系數，可得

(4.174)

這樣

(4.175)

接著上一節(jié)的討論，如果所求的解不具有繞極軸旋轉的對稱性，在球坐標系下分離變量得到的關于q的方程就是

(4.176)

即連帶勒讓德方程(也稱為綜合勒讓德方程)

(4.177)

4.5連帶勒讓德函數其中，m＝0，±1，±2，…，是由關于F的本征值問題所確定的本征值。4.5.1連帶勒讓德函數本征值問題

同樣，對于連帶勒讓德方程(4.177)，要求在［－1，1］區(qū)間上有有界解，這就構成了該方程的本征值問題

(4.178)

為了求解這個本征值問題，我們有以下兩種方法，一是仿照勒讓德函數的本征值問題求解過程，x＝0是方程的常點，直接利用級數解法確定系數遞推關系，進而確定方程的解。但這個過程很繁雜，不便于求解。因此，我們采用一種新的處理方法，這也是處理數學物理方程時值得學習的一種解決問題的有效途徑。

可以發(fā)現，勒讓德方程可以看成是m＝0的連帶勒讓德方程，那么，如果連帶勒讓德方程的解通過某種途徑變形，能夠與勒讓德方程的解即勒讓德函數聯(lián)系的話，就可以通過勒讓德函數定義連帶勒讓德方程的解，從而可以直接利用前面所有勒讓德函數的性質得到連帶勒讓德方程的解即連帶勒讓德函數(也稱為關聯(lián)勒讓德函數)的性質。這樣，所有的問題都將很容易解決。

因此，首先作變換

(4.179)則

代入方程(4.177)，兩邊同乘以

，得

(4.180)

同時，對于勒讓德方程，Pl(x)是它的本征解，即

(4.181)兩邊微分一次，得

再次微分得

于是，連續(xù)微分m次，可得

(4.182)可以看到，方程(4.180)正好是勒讓德方程逐項微分m次的結果。這說明

就是方程(4.180)的一個特解，即

(4.183)

代入式(4.179)，得到連帶勒讓德方程的一個特解

(4.184)

并采用記號

(4.185)稱之為l階m次連帶勒讓德函數。則得連帶勒讓德方程(4.177)的一特解為

(4.186)

我們已經知道，勒讓德方程和自然邊界條件，即解在［－1，1］上是有界的，構成的本征值問題中，本征值是l(l＋1)(l＝0，1，2，…)，本征函數則是勒讓德多項式Pl(x)。

那么，對于連帶勒讓德方程的本征值問題，本征值也就是l(l＋1)，本征函數就是連帶勒讓德函數

。

由連帶勒讓德函數的定義式(4.185)，我們容易寫出前幾個

的表達式，如

(4.187)

(4.187)

根據勒讓德多項式的微分表達式，即可寫出連帶勒讓德函數的微分表達式為

(4.188)

該式也稱為羅巨格公式。

同樣由解析函數的高階導數的積分公式，可寫出締合勒讓德函數的積分表達式為

(4.189)

其中，C為平面中包圍x＝x的閉合回路。也稱此為施列夫利積分公式。

有以下兩點需要說明：

(1)既然Pl(x)是l次多項式，最多只能求導l次，因此l≥m。對l的一個確定值，m＝0，1，2，…。

(2)前面獲得連帶勒讓德函數時是從勒讓德函數延續(xù)下來的，即在條件0≤m≤l下得到的，但是我們可以發(fā)現，連帶勒讓德方程中只出現m2，且m是整數，即把m換成－m，連帶勒讓德方程保持不變。因而若把式(4.188)中的m換成－m，所得到的函數

(4.190)

也就是方程的解。事實證明，

和

只差一常數因子。即

(4.191)4.5.2連帶勒讓德函數的性質

在勒讓德多項式的基礎上，我們易于導出連帶勒讓德函數的一系列性質。

1.連帶勒讓德函數的母函數

由勒讓德多項式的母函數公式

(4.192)

兩邊對x微分m次，得到

(4.193)即

(4.194)

兩邊同乘以(1－x2)m/2，得到

(4.195)

因此，根據母函數的定義，連帶勒讓德函數

的母函數為

(4.196)

2.連帶勒讓德函數的遞推公式

(4.197)

證明由勒讓德多項式的遞推關系

(l＋1)Pl＋1(x)－(2l＋1)xPl(x)＋lPl－1(x)＝0(4.198)

兩邊對x求m次導數，得

(4.199)

又由遞推關系

(4.200)

兩邊對x求m－1次導數得

(4.201)

把式(4.201)代入式(4.199)，并乘以

得證式(4.197)。

用同樣的方法，我們還可以得到其他的遞推公式：

(4.202)

3.連帶勒讓德函數的正交歸一性

連帶勒讓德函數的正交歸一性表現為

(4.203)

其中，

，稱為

的模。

證明令

(4.204)

代入式(4.185)得

(4.205)

對式(4.182)兩邊乘以(1－x2)m，得

(4.206)即

(4.207)

因此，把式(4.207)代入式(4.205)，得

(4.208)

(4.208)

正交歸一性得證。

4.廣義傅里葉級數展開

類似地，在區(qū)間［－1，1］上具有連續(xù)的一階導數、分段連續(xù)的二階導數的函數f(x)，同樣也可按連帶勒讓德函數進行廣義傅里葉級數展開：

(4.209)

其中

(4.210)

注意，若用－m代替m，上式仍然有效。4.5.3連帶勒讓德函數在解數理方程中的應用

類似于勒讓德函數，連帶勒讓德函數可以用于球坐標系中的分離變量法，求解不具有旋轉對稱性的一般定解問題。

例4.11

在半徑為a的球面上的電勢分布為u|r＝a＝u0sin2qcos2j，求此球內的電勢分布。

解：定解問題為

(4.211)

此時，邊界與j有關，令u(r，q)＝R(r)Q(q)F(j)，分離變量，得方程

(4.212)

(4.213)

(4.214)

以上三個方程的本征解分別為

(4.215)

(4.216)

(4.217)

則合成原問題的一般解為

(4.218)代入邊界條件u|r＝a＝u0sin2qcos2j，得

(4.219)

對比等式兩邊，注意到m＝2，l≥m，而P22(cosq)＝3sin2q，所以

(4.220)

對比系數，可得

(4.221)

所以原問題的解為

(4.222)

至此，我們已經掌握了在球坐標系中變量分離解數理方程的方法，得到了用勒讓德函數或者連帶勒讓德函數表示的解。在此基礎上進一步學習球函數。

4.6球函數4.6.1一般的球函數定義

在一開始學習球坐標系中對亥姆霍茲方程或拉普拉斯方程的分離變量時，已經得到關于角度量q和j的方程

(4.223)

稱此方程為球函數方程。進一步使用分離變量，令y(q，j)＝F(j)Q(q)，得到的就是我們前面已經討論過的方程

(4.224)

F"＋m2F＝0

(4.225)

顯然，這兩個方程滿足自然邊界條件和周期條件的解分別為

(4.226)

其中，l＝0，1，2，…；m＝0，1，2，…，l。這里的{}表示其中列舉的函數可以任取其一。

所以球函數方程(4.223)的解為

(4.227)

其中，l＝0，1，2，…；m＝0，1，2，…，l。我們稱此解為球函數，l為球函數的階數。

顯然，線性獨立的l階球函數共有2l＋1個。這是因為對應于m＝0，由一個球函數Pl(cosq)；對應于m＝1，2，…，l，則各有兩個球函數

和

。另外，根據歐拉公式，cosmj和sinmj均可由eimj表示，所以，球函數還可以重新表示為指數形式

(4.228)

其中，l＝0，1，2，…；m＝0，±1，±2，…，±l。事實上，

eimj就是式(4.225)滿足周期條件的解。可以看到，前面學習的勒讓德函數、連帶勒讓德函數都屬于球函數。簡單說，球函數就是我們在球坐標分離變量時得到的關于球坐標的角量q和j的方程(球函數方程)的解。4.6.2球函數的正交歸一性

為了應用的方便，常將式(4.228)所表示的球函數乘上

和eimj的歸一化常數后記為Yl，m(q，j)，即

(4.229)

其中，l＝0，1，2，…；m＝0，±1，±2，…，±l。稱此為l階球面調和函數(亦稱為球諧函數，本書簡稱為球函數)。

顯然，l階球函數在單位球面上是正交歸一的，滿足

(4.230)

其中，

是Yk，n的共軛復數，且

(4.231)

獨立的l階球函數共有2l＋1個，這里給出常見的幾個球函數，即

(4.232)4.6.3球函數的應用

同樣，定義在0≤q≤p，0≤j≤2p上的連續(xù)函數f(q，j)，可以按球函數Yl，m進行廣義傅里葉級數展開，得

(4.233)

其中

(4.234)

例4.12

將f(q，j)＝cosjsin3q按球函數展開。

解：因為

(4.235)

由式(4.187)知

(4.236)故

(4.237)

(4.237)

計算中用到了式(4.229)和式(4.231)，當然我們也可用展開系數公式式求上述函數的球函數展開。

例4.13

在半徑為a的球面上的電勢分布為u|r＝a＝u0sin2qcos2j，求此球內的電勢分布，要求用球函數Yl，m表示。

解：我們已經在例4.11中求解過此題了，其定解問題為

這里只是要求把解的形式用球函數Yl，m表示而已，因此，例4.11中的分離變量的求解過程均有效，把原問題的一般解表示為

(4.238)又由邊界條件

(4.239)

所以，

(4.240)

比較兩邊對應項系數，得

(4.241)即

(4.242)

所以方程的解為

(4.243)

在3.5節(jié)中，我們已經看到，在柱坐標系中對亥姆霍茲方程或拉普拉斯方程分離變量時會得到一個n階貝塞爾方程

x2y"(x)＋xy'(x)＋(x2－n2)y(x)＝0 (4.244)

在4.1.3節(jié)中我們已經對此方程求解，得到了在0<|x|<∞上收斂的解，即n階貝塞爾函數4.7貝塞爾函數

(4.245)

(4.246)

從本節(jié)開始，我們將重點討論這個特解，即貝塞爾函數的性質和應用，進而學習掌握有關柱函數的知識。4.7.1三類貝塞爾函數(貝塞爾方程的解)

在3.5節(jié)中我們看到，亥姆霍茲方程或著拉普拉斯方程在柱坐標下分離變量時得到關于變量r的方程為

r2R"＋rR'＋(k2r2－n2)R＝0 (4.247)

其中，k2＝l－m；n＝0，1，2，…。若令x＝kr，y＝R(r)，則可以得到式(4.244)的表達式，即貝塞爾方程。

(1)當n為非整數時，由式(4.245)和式(4.246)給出了貝塞爾方程的兩個線性獨立的解，稱為第一類±n階柱貝塞爾函數［本書簡稱為貝塞爾函數，或(柱)貝塞爾函數］。在4.1.3節(jié)中已經討論過，這兩個級數解的收斂域為0<|x|<∞，并且這兩個解是線性無關的，因此，方程(1.23)的通解為

y(x)＝c1Jn(x)＋c2J－n(x) (4.248)

(2)當n為正整數或零時，Jn(x)和J－n(x)線性相關，此時，我們可以得到十分重要的整數階的貝塞爾函數，即

(4.249)

在實際中，我們經常用到零階和一階貝塞爾函數

(4.250)

(4.251)

它們分別是關于x的偶函數和奇函數。在圖4.3中，分別畫出了J0(x)、J1(x)、J2(x)和J3(x)當x>0時的圖形；x<0的圖形可以分別根據各函數的奇偶性得到。由此圖可以看出，Jn(x)是一個衰減振蕩函數，Jn(x)的圖線與x軸有無窮多個交點，即Jn(x)＝0有無窮多個實數根，我們稱之為Jn(x)的零點，并記做

，表示n階貝塞爾函數的m個零點。由圖4.3可以看出J0(x)和J1(x)的零點值。

注意到

(4.252)

當k<n時，G(－n＋k＋1)＝∞，所以J－n(x)中前n項都為零，所以有

(4.253)

圖4.3幾個常用的整數階貝塞爾函數令－n＋k＝l，得

(4.254)

所以，Jn(x)和J－n(x)線性相關。此時需要引入另外一個線性獨立的解，在4.1.3節(jié)中，根據冪級數求解的一般理論，另一獨立解具有形式(4.39)的解，但是這樣做相當麻煩，我們可以采用以下的方法處理：

取Jn和J－n的適當的線性組合，使當非整數n趨于整數n時，該線性組合成為型的不定式，然后通過決定這個不定式的值來得到n為整數n時的第二個特解。符合這一要求的Jn和J－n的線性組合可以寫成

(4.255)

稱此為第二類(柱)貝塞爾函數［或(柱)諾依曼函數、第二類柱函數］。

顯然，當n不為整數時，Nn(x)是貝塞爾方程的與Jn(x)線性無關的解。因為Nn(x)是兩個線性無關的解Jn和J－n的線性組合。

當n＝n時，式(4.255)右邊是一不定式，我們可將之表示為

(4.256)

由洛必達法則可得

(4.257)將J±n(x)的級數表達式代入式(4.257)，可得Nn(x)的級數表達式為

(4.258)其中，f(1)＝－g＝－0.577216，g是歐拉常數，f(k＋1)

當n＝0時，有

(4.259)

可以證明，Nn(x)是貝塞爾方程的解。因為由

(4.260)將此式對n求導，得

(4.261)

同理，

(4.262)

式(4.261)減去式(4.262)，再乘以(－1)n，得

(4.263)當n＝n時，則有

(4.264)

所以，Nn(x)是貝塞爾方程的解。

另外，Nn(x)也是與Jn(x)線性無關的，因為Nn(x)與Jn(x)在x＝0時性質不同。當x＝0時，由式(4.249)得

J0(0)＝1，Jn(0)＝0 (n≥1) (4.265)而Nn(x)在x＝0點是發(fā)散的，有

(4.266)

可見，當x為小變量時，Jn(x)和Nn(x)有明顯的不同行為，所以兩者線性無關。

綜上所述，無論n是否為整數，Nn(x)都是與Jn(x)線性無關的貝塞爾方程的解，故貝塞爾方程的通解可表示為～～

(4.267)

需要注意到在x＝0點，當n＝n時，Nn(x)→－∞；當n≠n時，由于J－n(x)→∞，同樣有Nn(x)→－∞。所以，在研究圓柱內部的亥姆霍茲方程或拉普拉斯方程時，為了滿足解在圓柱軸(即r＝0或x＝0)上有限，應當舍去Nn(x)。

(3)在實際問題中(如在討論波的散射問題時)，人們又定義

(4.268)

稱此為第三類(柱)貝塞爾函數［或(柱)漢克爾(Hankel)函數、第三類柱函數］。顯然，這兩個漢克爾函數是貝塞爾方程的兩個線性無關的解，由式(4.268)可以看出，三類柱函數H(1)n(x)、H(2)n(x)、Jn(x)、Nn(x)之間的關系，十分類似于eix、e－ix、cosx、sinx之間的關系。

總之，通常把以上三類函數Jn(x)、Nn(x)和Hn(x)統(tǒng)稱為柱函數，以Zn(x)統(tǒng)一來表示。4.7.2貝塞爾方程的本征值問題

現在我們來討論在柱坐標系中對亥姆霍茲方程或拉普拉斯方程分離變量所得到的貝塞爾方程的本征值問題。顯然它是由方程(4.247)和有界性自然邊界條件R(r)|r＝0→有限或三類齊次邊界條件

構成的，即

(4.269)

其中，k2＝l－m，n＝0，1，2，…。