SD知識(shí)資料第7章知識(shí)資料逐步積分21b

中南大學(xué)土木工程學(xué)院橋梁工程系主講教師：韓建平石巖E-mail：syky86@163.com個(gè)人主頁：蘭州理工大學(xué)土木工程學(xué)院結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)DynamicsofStructures結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)第7章非線性結(jié)構(gòu)反應(yīng)的分析

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Chapter7GeneralDynamicLoading:Step-by-StepMethods本章提要3§7-1數(shù)值算法中的基本問題§7-2線性(常)加速度法§7-3Newmark-β法應(yīng)§7-4直接積分法的評(píng)價(jià)§7-5結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析§7-1

數(shù)值算法中的基本問題任意荷載作用下，結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)如何求解？時(shí)域分析方法——Duhamel積分法、頻域分析方法——Fourier變換法；當(dāng)外荷載為p(t)為解析函數(shù)時(shí)，兩種方法皆可得到體系反應(yīng)的解析解；當(dāng)外荷載變化無常時(shí)，通過數(shù)值計(jì)算得到數(shù)值解。這兩種方法都基于疊加原理，要求結(jié)構(gòu)體系是線彈性的；當(dāng)結(jié)構(gòu)體系進(jìn)入彈塑性狀態(tài)，或位移較大，結(jié)構(gòu)進(jìn)入幾何非線性時(shí)，疊加原理不再適用。4運(yùn)動(dòng)方程5時(shí)域逐步積分法——Step-by-stepmethods結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)分析的時(shí)域直接數(shù)值計(jì)算方法：（1）分段解析法；（2）中心差分法；（3）平均常加速度法；（4）線性加速度法；（5）Newmark-β法；（6）Wilson-θ法????????時(shí)域逐步積分法是結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析問題中一個(gè)得到廣泛研究的課題，也是得到廣泛應(yīng)用的計(jì)算方法。6因此，提出時(shí)域逐步積分法，即只假設(shè)在一個(gè)時(shí)間步距內(nèi)是線性的，相當(dāng)于用分段直線來逼近實(shí)際的曲線。

時(shí)域逐步積分法研究的是離散時(shí)間點(diǎn)上的值，例如位移和速度為：

而這種離散化正符合計(jì)算機(jī)存貯的特點(diǎn)。

與運(yùn)動(dòng)變量的離散化相對(duì)應(yīng)，體系的運(yùn)動(dòng)微分方程也不一定要求在全部時(shí)間上都滿足，而僅要求在離散時(shí)間點(diǎn)上滿足，這相當(dāng)于放松了對(duì)運(yùn)動(dòng)變量的約束。7采用等時(shí)間步長離散時(shí)，體系的運(yùn)動(dòng)微分方程僅要求在離散時(shí)間點(diǎn)上滿足。

△t

——離散時(shí)間步長經(jīng)過△t

時(shí)間后：8收斂性當(dāng)Δt→0時(shí)，數(shù)值解是否收斂于精確解計(jì)算精度截?cái)嗾`差與時(shí)間步長Δt的關(guān)系，若誤差ε∝0(Δtn)，則稱方法具有n階精度穩(wěn)定性隨時(shí)間步數(shù)i的增大，數(shù)值解是否變得無窮大計(jì)算效率所花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間算法評(píng)價(jià)準(zhǔn)則一個(gè)好的數(shù)值分析方法必須是收斂的、有足夠的精度、良好的穩(wěn)定性及較高的計(jì)算效率。9根據(jù)是否需要聯(lián)立求解耦聯(lián)方程組，逐步積分法可分為兩大類：隱式方法

逐步積分計(jì)算公式是偶聯(lián)的方程組，需聯(lián)立求解，計(jì)算工作量大，通常增加的工作量與自由度的平方成正比，例如Newmark-β法、Wilson-θ法。

顯式方法

逐步積分計(jì)算公式是解偶的方程組，無需聯(lián)立求解，計(jì)算工作量小，增加的工作量與自由度成線性關(guān)系，如中心差分方法（無阻尼時(shí)）。10

顯式積分是在第i

步計(jì)算中狀態(tài)ti

滿足運(yùn)動(dòng)方程式的計(jì)算方法。

用顯式積分法計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)時(shí)，為了提高計(jì)算精度，時(shí)間間隔Δt必須十分小，否則，隨著計(jì)算步數(shù)的增加，誤差不斷積累、出現(xiàn)發(fā)散的現(xiàn)象。當(dāng)前時(shí)刻的位移只與前一時(shí)刻的加速度和位移有關(guān)，這就意味著當(dāng)前時(shí)刻的位移求解無需迭代過程。另外，只要將運(yùn)動(dòng)方程中的質(zhì)量矩陣和阻尼矩陣對(duì)角化（線性無關(guān)），前一時(shí)刻的加速度求解無需解聯(lián)立方程組，從而使問題大大簡化，這就是所謂的顯式求解法。11

隱式積分是滿足ti+Δt時(shí)刻運(yùn)動(dòng)方程式的計(jì)算方法。這種算法由于函數(shù)

f包含未知的結(jié)構(gòu)響應(yīng)（求解

ti+Δt

時(shí)刻的反應(yīng)，但函數(shù)f

卻含有待求的ti+Δt

時(shí)刻的結(jié)構(gòu)響應(yīng)），因此，需要通過反復(fù)迭代的方法計(jì)算ti+Δt時(shí)刻的響應(yīng)，它是一個(gè)非線性計(jì)算的過程。隱式積分歸結(jié)為求解非線性方程組。顯式方法(explicit)在方程求解過程中只涉及到歷史的第

i和

i－1步的信息，而當(dāng)前的第i＋1步的信息（比如空間上的其他點(diǎn)）不會(huì)涉及到，而隱式方法(implicit)在求解當(dāng)前點(diǎn)(第i＋1步)時(shí)，會(huì)涉及到其他已知點(diǎn)的第

i+1步信息，所以需要迭代。

顯式求解與隱式在數(shù)學(xué)上說主要是在求解的遞推公式一個(gè)是用顯式方程表示，一個(gè)是用隱式方程來表示。比如a(n)=a(n-1)+b(n-1)，后一次迭代可以由前一次直接求解，這就是顯式方程；如果a(n)=a(n-1)+f[a(n)]，f[a(n))為a(n)的函數(shù)，此時(shí)a(n)不能用方程顯式表示，及數(shù)學(xué)上的隱函數(shù)，一般很難直接求解，多用迭代試算法間接求解。12分段解析法——基于激勵(lì)函數(shù)插值的方法中心差分法——基于速度和加速度有限差分表達(dá)的方法平均常加速度法線性加速度法Newmark-β法Wilson-θ法——基于假設(shè)加速度變化的方法按照是否需要聯(lián)立求解耦聯(lián)方程組，分為：顯式方法：在每一步內(nèi)計(jì)算新的反應(yīng)值僅僅依賴前面步驟已經(jīng)獲得的量。隱式方法：在每一步給出新值的表達(dá)式中包含了與本步有關(guān)的一個(gè)或多個(gè)值，因此必須假定所需要的試驗(yàn)值，然后通過反復(fù)迭代才能求得下一步的初始值。explicitimplicit13數(shù)學(xué)基礎(chǔ)回顧：（1）Euler法（2）后退的Euler格式（3）梯形格式（4）改進(jìn)的Euler法（5）Runge-Kutta法14§7-2線性(常)加速度法16常加速度法(Euler-Gauss積分法)17線性加速度法平均加速度法和線性加速度法比較20Newmark-β法假設(shè)在時(shí)間段[ti，ti+1]內(nèi)，加速度為一常量，記為a，經(jīng)過簡單積分計(jì)算可以得到（i＋1）時(shí)刻速度、位移與a之間的關(guān)系式：§7-3Newmark–β法NewmarkNM.Amethodofcomputationforstructuraldynamics[J].Journaloftheengineeringmechanicsdivision,1959,85(3):67-94.21Newmark-β法計(jì)算過程參考結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)(劉晶波)2526Newmark-β法Matlab計(jì)算程序：27%輸入結(jié)構(gòu)參數(shù)(N/m),m(kg),c(N/(m/s))%輸入初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)u0,v0,a0%依次輸入質(zhì)量、剛度、阻尼、初位移、初速度、初加速度A0=[14*pi^24000];m=A0(1,1);k=A0(1,2);c=A0(1,3);u1=A0(1,4);v1=A0(1,5);a1=A0(1,6);%輸入地震荷載loadElcentro.txtn=length(Elcentro);dt=0.02;T=dt*n;p0=Elcentro(1,1);f=reshape(Elcentro,1,n)/1000;%t=(0:dt:T);%生成時(shí)間序列，間隔為dt%[mm,nn]=size(t);%計(jì)算時(shí)間序列t的維度u=zeros(size(t));%設(shè)置位移存儲(chǔ)矩陣v=zeros(size(t));%速度存儲(chǔ)矩陣a=zeros(size(t));%加速度存儲(chǔ)矩陣u(:,1)=u1;%賦值初位移v(:,1)=v1;%賦值初速度a(:,1)=a1;%計(jì)算初始加速度%keff=k+2*c/dt+4*m/dt^2;%計(jì)算等效剛度fori=2:np(:,i)=f(:,i-1);%定義荷載條件peff(:,i)=p(:,i)+c*(2*u(:,i-1)/dt+v(:,i-1))+m*(4*u(:,i-1)/dt^2+4/dt*v(:,i-1)+a(:,i-1));%計(jì)算等效荷載u(:,i)=peff(:,i)/keff;%計(jì)算位移v(:,i)=2/dt*(u(:,i)-u(:,i-1))-v(:,i-1);a(:,i)=1/m*(p(:,i)-c*v(:,i)-k*u(:,i));end

plot(t(:,2:end),u(:,2:end))xlabel(時(shí)間/s')ylabel(位移/m')holdontitle(位移響應(yīng)')Newmark–β法與其它積分方法的關(guān)系：通過對(duì)Newmark-β法中控制參數(shù)β取不同的值也可以得到其它時(shí)域逐步積分方法。下表給出了β取不同值時(shí)Newmark-β法所對(duì)應(yīng)的逐步積分法。28§7-4逐步積分法的評(píng)價(jià)WilsonEL,FarhoomandI,BatheKJ.Nonlineardynamicanalysisofcomplexstructures[J].EarthquakeEngineering&StructuralDynamics,1972,1(3):241-252.BatheKJ,WilsonEL.Stabilityandaccuracyanalysisofdirectintegrationmethods[J].EarthquakeEngineering&StructuralDynamics,1972,1(3):283-291.同Newmark-β法一樣，Wilson-θ法也是結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析的常用計(jì)算方法之一。

Wilson-θ法的基本假定是在時(shí)間間隔θ

Δt（θ≧1.0）內(nèi)加速度響應(yīng)線性變化。29HilberHM,HughesTJR,TaylorRL.Improvednumericaldissipationfortimeintegrationalgorithmsinstructuraldynamics[J].EarthquakeEngineering&StructuralDynamics,1977,5(3):283-292.Hilber-Hughes-Taylor(HHT)法課后自修30TheHHTmethod(sometimescalledthe

α

method)isaonestepimplicitmethodforsolvingthetransientproblemwhichattemptstoincreasetheamountofnumericaldampingpresentwithoutdegradingtheorderofaccuracy.IntheHHTmethod,thesameNewmarkapproximationsareused:

butthetime-discretemomentumequationismodified:

wherethedisplacementsandvelocitiesattheintermediatepointaregivenby:Ut+αΔt=(1?α)Ut+αUt+ΔtFollowingthemethodsoutlinedforNewmarksmethod,linearizationofthenonlinearmomentumequationresultsinthefollowinglinearequations:

where

andThelinearequationsareusedtosolvefor.Onceconvergencehasbeenachievedthedisplacementsandvelocitiesattime

t+Δt

canbecomputed./wiki/index.php/Hilber-Hughes-Taylor_Method1.數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性無條件穩(wěn)定和有條件穩(wěn)定2.數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性幅值放大絕對(duì)誤差和周期誤差評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)：求解無阻尼單自由度振子：

31§7-4逐步積分法的評(píng)價(jià)數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性：無條件穩(wěn)定：時(shí)間步距無關(guān)，計(jì)算結(jié)果總是穩(wěn)定的；條件穩(wěn)定：時(shí)間步距足夠小或滿足必要條件，計(jì)算結(jié)果才是穩(wěn)定的。為什么會(huì)存在穩(wěn)定性問題呢？32數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性幅值放大絕對(duì)誤差和周期相對(duì)誤差

33準(zhǔn)確度:幅值絕對(duì)誤差和周期相對(duì)誤差幅值絕對(duì)誤差周期相對(duì)誤差3435逐步積分法選擇：優(yōu)先選則無條件穩(wěn)定算法Newmark-β法滿足：γ≥1/2,β≥1/4(γ＋1/2)2時(shí)間步距：Δt抗震分析一般取0.005s到0.00001s計(jì)算時(shí)間與數(shù)值計(jì)算方法的平衡

中央差分法計(jì)算速度快于Newmark-β法，通過步距控制計(jì)算穩(wěn)定性以實(shí)現(xiàn)大規(guī)模計(jì)算

時(shí)程閃電五連鞭直接積分法的補(bǔ)充說明結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)計(jì)算采用具有兩階精度且穩(wěn)定性比較好的算法就非常有效，由于無條件溫度的算法最高可以確保兩階的計(jì)算精度，因此在實(shí)際地震響應(yīng)分析中得到比較廣泛的應(yīng)用。一種算法很難同時(shí)兼顧穩(wěn)定性和精度，穩(wěn)定與精度往往具有相反的傾向，穩(wěn)定性好的計(jì)算方法精度相對(duì)比較差一些。一般而言，顯式積分的穩(wěn)定性差一些，而且時(shí)間間隔的取值對(duì)計(jì)算穩(wěn)定性的影響很大。穩(wěn)定性好的計(jì)算方法并不意味可以用任意大的時(shí)間步長進(jìn)行積分計(jì)算，無條件穩(wěn)定的計(jì)算方法（比如Wilson-θ法）雖然不會(huì)發(fā)生數(shù)學(xué)上的發(fā)散現(xiàn)象，但是容易出現(xiàn)早期結(jié)果偏大、后期出現(xiàn)異常振動(dòng)的計(jì)算結(jié)果，而且也有可能導(dǎo)致高頻振動(dòng)的計(jì)算結(jié)果失真的現(xiàn)象，因此，這種算法一般不太合適于帶有沖擊響應(yīng)的結(jié)構(gòu)計(jì)算。對(duì)于高次振動(dòng)成分比較重要的計(jì)算，用非常小的時(shí)間步長按顯式積分較多。37直接積分法的補(bǔ)充說明近三十年來，數(shù)值積分法從最初的Newmark-β法及Wilson-θ法等二階精度的分析方法向高精度的三階、四階和五階精度的方向發(fā)展，我國學(xué)者鐘萬勰提出子域精細(xì)積分法[1,2],，它是一種基于半解析法和差分法結(jié)合的方法，計(jì)算精度高、存儲(chǔ)帶寬小，并具有無條件穩(wěn)定的特點(diǎn)，該方法在結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析中的應(yīng)用受到比較廣泛的注意[3,4]。汪夢(mèng)莆[5]等提出以精細(xì)積分法的基本原理為基礎(chǔ)，結(jié)合高斯積分法建立新的精細(xì)積分法。38[1]鐘萬勰.

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21(4):13-16.39黨育,韓建平,杜永峰.結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的Matlab實(shí)現(xiàn)[M].科學(xué)出版社,2014.8.5結(jié)構(gòu)非線性反應(yīng)分析非線性：①幾何非線性②材料非線性恢復(fù)力：

非線性位移和抗力關(guān)系40采用中心差分法求解非線性反應(yīng)當(dāng)采用中心差分法進(jìn)行時(shí)域逐步積分計(jì)算時(shí)，無需對(duì)計(jì)算格式和軟件做大的變化，僅是對(duì)計(jì)算抗力的公式進(jìn)行改動(dòng)，其余的與線性反應(yīng)分析的相同；穩(wěn)定性變好(軟化，剛度↓，周期↑)。41采用中心差分法求解非線性反應(yīng)穩(wěn)定性條件：在用中心差分逐步積分法計(jì)算時(shí)，由于結(jié)構(gòu)一般都是軟化結(jié)構(gòu)，即隨變形的增加而變軟，剛度k降低，但質(zhì)量m不變，則結(jié)構(gòu)的自振周期Tn變長，計(jì)算的穩(wěn)定性變好。42采用Newmark-β法求解非線性反應(yīng)全量型逐步積分計(jì)算公式：43采用Newmark-β法求解非線性反應(yīng)用Newmark-β法進(jìn)行結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力計(jì)算，采用增量平衡方程較合適。分別給出ti和ti+1時(shí)刻運(yùn)動(dòng)方程：由ti+1減去ti時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程得運(yùn)動(dòng)的增量平衡方程：44江見鯨，陸新征.混凝土結(jié)構(gòu)有限元分析(第2版)[M].清華大學(xué)出版社，2013.采用Newmark-β法求解非線性反應(yīng)增量運(yùn)動(dòng)平衡方程：當(dāng)時(shí)間步長Δt取得足夠小，可以認(rèn)為在ti—ti+1區(qū)間內(nèi)結(jié)構(gòu)的本構(gòu)關(guān)系是線性的，則：kis

—i,i+1點(diǎn)之間的割線剛度。

45采用Newmark-β法求解非線性反應(yīng)增量運(yùn)動(dòng)平衡方程：但由于ui+1未知，因此kis不能預(yù)先準(zhǔn)確估計(jì)，這時(shí)可以采用切線剛度ki代替割線剛度kis

46采用Newmark-β法求解非線性反應(yīng)增量運(yùn)動(dòng)平衡方程：是一個(gè)線性運(yùn)動(dòng)方程，系數(shù)m、c、ki和外荷載Δpi均為已知。增量形式的Newmark-β法逐步積分方程為：47采用Newmark-β法求解非線性反應(yīng)增量形式的Newmark-β法逐步積分方程：求得Δui后，則可以計(jì)算ti+1時(shí)刻的總位移，再利用Newmark-β法中的兩個(gè)基本公式：得到i+1時(shí)刻體系的全部運(yùn)動(dòng)量。48采用Newmark-β法求解非線性反應(yīng)在用以上步驟計(jì)算時(shí)的主要誤差，是用切線剛度代替割線剛度引起的，這是非線性分析中的共性。注意到方程從形式上看與靜力問題的方程完全一樣。可以用靜力問題中的非線性分析方法進(jìn)行迭代求解，例如采用Newton—Raphson或修正的Newton—Raphson法求解。Newton—Raphson方法在每一迭代步中，剛度是變化的，而修正的Newton—Raphson法，在不同迭代步中的剛度不變，因此，也常稱Newton—Raphson法為變剛度迭代法，而修正的Newton—Raphson方法為常剛度迭代法。49Newton—Raphson法（變剛度迭代法）50修正的Newton—Raphson方法（常剛度迭代法）5152基本原則：1）內(nèi)力和外荷載的平衡(δ-ε或F-D關(guān)系的追蹤)；2）恢復(fù)力關(guān)系：

a.非線性的

b.提前給定的；3）每次迭代按彈性。（1）第i時(shí)刻：作用力為，用ti點(diǎn)切線剛度計(jì)算得到

（按彈性），但內(nèi)力增量為，有個(gè)不平衡力。（2）以不平衡力為外力荷載，用4點(diǎn)的切線剛度求得（彈性），但內(nèi)

力增量為，有不平衡力：（3）依次類推，直到平衡為止。u(1)u(2)u(3)u(4)u(5)u給定外荷載p給定力-位移關(guān)系fs-ufs(1)?R(3)?R(2)?R(5)?R(4)?u(1)?u(2)?u(3)?u(4)?f(1)?f(2)?f(3)111fs彈性非彈性123基本原則：1）內(nèi)力和外荷載的平衡(δ-ε或F-D關(guān)系的追蹤)2）恢復(fù)力關(guān)系：

a.非線性的;

b.提前給定的；3）每次迭代按彈性?！璑ewton-Raphson法的迭代過程N(yùn)ewton—Raphson法（變剛度迭代法）采用Newmark-β求解非線性反應(yīng)用以上迭代方法求得Δui(1),Δui(2)，…以后，疊加得，收斂條件：當(dāng)進(jìn)行了l

次迭代計(jì)算后，令：如果，則認(rèn)為迭代收斂，達(dá)到要求的精度，停止迭代計(jì)算。ε為一個(gè)給定的小量，例0.001等。一般情況下，經(jīng)過有限次的迭代計(jì)算都可以收斂。54兩種迭代方法的特點(diǎn)：Newton—Raphson法(變剛度迭代法)：優(yōu)點(diǎn)：迭代的收斂速度比常剛度法快；缺點(diǎn)：迭代過程中需要反復(fù)修正剛度矩陣。修正的Newton—Raphson法求解(常剛度迭代法)：優(yōu)點(diǎn)：迭代過程中無需修正剛度矩陣；缺點(diǎn)：收斂速度比變剛度迭代法慢，但在一定程度上可以避免由剛度退化過度而出現(xiàn)的剛度矩陣的病態(tài)問題。55反復(fù)荷載作用下的骨架曲線：雙直線模型（Bi-liear）、三直線模型（Tri-linear）和四直線模型（Tetra-linear）。由于荷載最高點(diǎn)M的計(jì)算需要逐個(gè)搜找，因此，四直線模型的計(jì)算量相對(duì)比較大，計(jì)算中很少應(yīng)用。常用恢復(fù)力滯回模型特征簡介56非線性彈性模型：力和位移之間由多段直線或曲線組成非線性關(guān)系。非線性彈性履歷是加載和卸載途徑完全一致、結(jié)構(gòu)卸載后不產(chǎn)生殘余變形，力和變形之間一一對(duì)應(yīng)，計(jì)算時(shí)可根據(jù)位移大小直接確定荷載值。這種計(jì)算模型主要適用在橡膠材料等變形剛度小且富有彈性恢復(fù)變形的非線性材料，不能應(yīng)用于鋼或鋼筋混凝土構(gòu)件的非線性動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算。

ElasticMultiLinearMaterial：Thebehaviorisnonlinearbutitiselastic.Thismeansthatthematerialloadsandunloadsalongthesame

curve,andnoenergyisdissipated.

57應(yīng)用：防撞墊塊(已加入OpenSees)不考慮剛度退化的理想彈塑性模型：初始剛度為k，在OA范圍內(nèi)符合線彈性規(guī)則。當(dāng)結(jié)構(gòu)變形達(dá)到屈服后（AB段）剛度下降為零，這時(shí)若受到反方向的荷載作用，結(jié)構(gòu)又以初始剛度k變形至負(fù)軸側(cè)屈服（BC段），此后又以零剛度繼續(xù)變形（CD段）。如在負(fù)軸屈服狀態(tài)下受到正方向的荷載作用，又恢復(fù)到初始剛度k變形（DE段），直到正軸屈服荷載。當(dāng)作用的荷載值在正負(fù)屈服荷載之間時(shí)，按線彈性規(guī)律發(fā)生變形。雙直線彈塑性計(jì)算模型二次剛度不為零，可正也可負(fù)。58Romberg-Osgood模型骨架曲線：滯回曲線：計(jì)算實(shí)例：59(已加入OpenSees)Bouc-Wen模型60(已加入OpenSees)SelfCentering模型61$matTag integertagidentifyingmaterial$k1 InitialStiffness$k2 Post-ActivationStiffness(0<$k2<$k1)$sigAct ForwardActivationStress/Force$beta RatioofForwardtoReverseActivation

Stress/Force$epsSlip slipStrain/Deformation(if$epsSlip=0,

therewillbenoslippage)$epsBear BearingStrain/Deformation(if$epsBear

=0,therewillbenobearing)$rBear RatioofBearingStiffnesstoInitial

Stiffness$k1uniaxialMaterialSelfCentering$matTag$k1$k2$sigAct$beta<$epsSlip><$epsBear><rBear>橋梁中的應(yīng)用：限位器、與支座組合、墩柱鋼筋王景全,李帥,張凡.采用SMA智能橡膠支座的近斷層大跨斜拉橋易損性分析[J].中國公路學(xué)報(bào),2017(12):30-39.ShresthaB,LiC,HaoH,etal.Performance-BasedSeismicAssessmentofSuperelasticShapeMemoryAlloy-ReinforcedBridgePiersConsidering

ResidualDeformations[J].JournalofEarthquakeEngineering,2016.(已加入OpenSees)單自由度體系(SDOF)：K1=1.0e6N/mFy=5610Nb=0.01M=2.0e4kgT=0.8885s幾種模型的計(jì)算結(jié)果對(duì)比：62非線性本構(gòu)的編程：63本章參考書籍：[1]劉晶波,杜修力,等.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[M].機(jī)械工業(yè)出版社,2017.[2]謝旭.橋梁結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析與抗震設(shè)計(jì)[M].人民交通出版社,2006.[3]ChopraAK.DynamicsofStructures：TheoryandApplicationstoEarthquakeEngineering（第3版,影印版）[M].清華大學(xué)出版社,2009.[4]黨育,韓建平,杜永峰.結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的MATLAB實(shí)現(xiàn)[M].科學(xué)出版社,2009.6465拓展：時(shí)程分析(TimeHistoryAn.)參數(shù)設(shè)置SAP2000地震動(dòng)輸入66拓展：時(shí)程分析(TimeHistoryAn.)參數(shù)設(shè)置SAP2000分析工況67拓展：時(shí)程分析(TimeHistoryAn.)參數(shù)設(shè)置SAP2000分析參數(shù)設(shè)置時(shí)程分析子程序Ex5.F