2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第60講 事件的概率與概型-解析版32

第60講事件的概率與概型【知識(shí)通關(guān)】通關(guān)一、隨機(jī)事件及其概率1.事件的相關(guān)概念（1)必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件．（2)不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件.（3)隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．2.頻率與概率（1)事件的頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比【例】為事件A出現(xiàn)的頻率。（2)概率的統(tǒng)計(jì)定義：在相同的條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，則把這個(gè)常數(shù)記作P(A),稱為事件A的概率，簡(jiǎn)稱為A的概率。要點(diǎn)詮釋：（1)頻數(shù)是一個(gè)整數(shù)，其取值范圍為,因此隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率的可能取值介于0與1之間，即0≤≤1.（2)必然事件M的概率為1,即P(M)=1；不可能事件N的概率為0,即P(N)=0；隨機(jī)事件A的概率滿足.通關(guān)二、概率的幾個(gè)基本性質(zhì)1.任何事件的概率都在01之間，即0≤P(A)≤1.必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0.2.當(dāng)事件A與事件B互斥時(shí)，P(AUB)=P(A)+P(B).3.對(duì)立事件的概率之和為1,即若事件A與事件B對(duì)立，則P(A)+P(B)=1.4.當(dāng)事件A與事件B互相獨(dú)立時(shí)，P(AB)=P(A)P(B).【結(jié)論第講】結(jié)論一、獨(dú)立事件的概率與性事件A,B相互獨(dú)立概率計(jì)算公式A,B同時(shí)發(fā)生P(AB)=P(A)P(B)A,B同時(shí)不發(fā)生A,B至少有一個(gè)不發(fā)生P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)A,B至少有一個(gè)發(fā)生P=1-P()=1-P()P()=P(A)＋P(B)-P(A)P(B)A,B恰有一個(gè)發(fā)生P=P(A+B)=P(A)P()+P()P(B)＝P(A)+P(B)-2P(A)P(B)【例1】已知A,B,C為三個(gè)獨(dú)立事件，若事件A發(fā)生的概率是，事件B發(fā)生的概率是，事件C發(fā)生的概率是,求下列事件的概率：（1)事件A,B,C至少發(fā)生一個(gè)；（2)事件A,B,C只發(fā)生一個(gè)；（3)事件A,B,C只發(fā)生兩個(gè)；（4)事件A,B,C至多發(fā)生兩個(gè)．【解析】（1)記“事件A,B,C至少發(fā)生一個(gè)”為,其對(duì)立事件為:“事件A,B,C一個(gè)也不發(fā)生”，從而.所以事件A,B,C至少發(fā)生一個(gè)的概率為.（2）記“事件A，B，C只發(fā)生一個(gè)”為，則事件，包括三種情況∶第一種是只發(fā)生事件A，事件B，C不發(fā)生（即事件發(fā)生）;第二種是只發(fā)生事件B，事件A，C不發(fā)生（即事件發(fā)生）;第三種是只發(fā)生事件C，事件A，B不發(fā)生（即事件發(fā)生）;而這三種情況是不可能同時(shí)發(fā)生的，即事件，，彼此互斥.根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的概率為P()=P()+P()+P()=所以A，B，C只發(fā)生一個(gè)的概率為（3）記“事件A，B，C只發(fā)生兩個(gè)”為，則事件，包括三種彼此互斥的情況∶;;由互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，所求的概率為P（）=P（）+P（）+P（）=所以事件A，B，C只發(fā)生兩個(gè)的概率為（4）記“事件A，B，C至多發(fā)生兩個(gè)”為，則包括彼此互斥的三種情況∶事件A，B，C一個(gè)也不發(fā)生，即;事件A，B，C只發(fā)生一個(gè)，即;事件A，B，C只發(fā)生兩個(gè)，即故P（）=+P()P（）=所以事件A，B，C至多發(fā)生兩個(gè)的概率為【變式】甲、乙兩個(gè)人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和,求：（1)兩個(gè)人都譯出密碼的概率；（2)兩個(gè)人都譯不出密碼的概率；（3)恰有1個(gè)人譯出密碼的概率；（4)至多1個(gè)人譯出密碼的概率；（5)至少1個(gè)人譯出密碼的概率．【解析】記“甲獨(dú)立地譯出密碼”為事件A,“乙獨(dú)立地譯出密碼”為事件B,A,B為相互獨(dú)立事件，且P(A)=,P(B)=.（1)兩個(gè)人都譯出密碼的概率為：P(AB)=P(A)·P(B)=.（2)兩個(gè)人都譯不出密碼的概率為：（3)恰有1個(gè)人譯出密碼可以分為兩類：甲譯出乙未譯出以及甲未譯出乙譯出，且兩個(gè)事件為互斥事件，所以恰有1個(gè)人譯出密碼的概率為：P=P(A+B)=P(A)P()+P()P(B)=.（4)“至多1個(gè)人譯出密碼”的對(duì)立事件為“有兩個(gè)人譯出密碼”，所以至多1個(gè)人譯出密碼的概率為：1-P(AB)=1-P(A)P(B)=.（5)“至少1個(gè)人譯出密碼”的對(duì)立事件為“兩人未譯出密碼”，所以至少1個(gè)人譯出密碼的概率為：.結(jié)論二、條件概率1.條件概率：事件B在事件A已經(jīng)發(fā)生的情況下，發(fā)生的概率稱為B在A條件下的條件概率，記為B|A.2.利用定義計(jì)算，先分別計(jì)算概率P(AB)和P(A),然后代入公式P(B|A)=.3.利用縮小樣本空間法計(jì)算（局限在古典概型內(nèi)），即將原來(lái)的樣本空間Ω縮小為已知的事件A,原來(lái)的事件B縮小為AB,利用古典概型計(jì)算概率：P(B|A)=.要點(diǎn)詮釋：P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B)之間關(guān)系的應(yīng)用，即P(B|A)=,P(A|B)=,P(AB)=P(A|B)·P(B)=P(B|A)·P(A).【例2】在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品．現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率為_(kāi)___________【答案】【解析】設(shè)事件為“第一次取到不合格品”，事件為“第二次取到不合格品”，．【變式】甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件．則下列結(jié)論中正確的是________（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．①（B）；②；③事件與事件相互獨(dú)立；④，，是兩兩互斥的事件；⑤（B）的值不能確定，因?yàn)樗c，，中究竟哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)．【答案】②④【解析】易見(jiàn)，，是兩兩互斥的事件，④正確；，，；，由此知，②正確；，；而（B）．由此知①③⑤不正確。綜上：正確的結(jié)論為：②④結(jié)論三、古典概型1.古典概型的概率公式P(A)=2.從集合的觀點(diǎn)看古典概型：從集合的觀點(diǎn)來(lái)看，如果把一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的n個(gè)等可能結(jié)果組成一個(gè)集合I,其中每個(gè)結(jié)果都是I的元素。包含m個(gè)結(jié)果的一個(gè)事件就對(duì)應(yīng)于I的某個(gè)有m個(gè)元素的子集A(每個(gè)基本事件都對(duì)應(yīng)于集合I的某個(gè)m元子集），所以該事件的概率是子集A的元素個(gè)數(shù)（記為card(A))與集合I的元素個(gè)數(shù)（card(I))的比值：P(A)=.【例3】從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為A． B． C． D．【答案】D【解析】從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本事件總數(shù)，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共有m=10個(gè)基本事件，所以抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為．故選D．【變式】生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)．若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，根據(jù)組合的概念，可知：從這5只兔子中隨機(jī)取出3只的所有情況數(shù)為，恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的所有情況數(shù)為．．故選．結(jié)論四、幾何概型1.與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，其基本事件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)；2.與面積有關(guān)的幾何概型，其基本事件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān)，若已知圖形不明確，可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問(wèn)題；3.與角度有關(guān)的幾何概型，如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度表示，則其概率的計(jì)算公式為P(A)=.4.與體積有關(guān)的幾何概型，如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計(jì)算公式為P(A)=.【例4】為長(zhǎng)方形，，，為的中點(diǎn)，在長(zhǎng)方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，取到的點(diǎn)到的距離大于1的概率為A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，已知長(zhǎng)方形面積為2，以為圓心，1為半徑作圓，在矩形內(nèi)部的部分（半圓）面積為，因此取到的點(diǎn)到的距離大于1的概率.故選．【變式】如圖，正方形內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）A． B． C. D.【答案】B【解析】根據(jù)圖像的對(duì)稱性知，黑色部分為圓面積的一半，設(shè)圓的半徑為1，則正方形的邊長(zhǎng)為2，則黑色部分的面積S=，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率.故選B.結(jié)論五、隨機(jī)模擬利用隨機(jī)模擬試驗(yàn)可以近似計(jì)算不規(guī)則圖形A的面積，解題的依據(jù)是根據(jù)隨機(jī)模擬估計(jì)概率P（A），然后根據(jù)列等式求A的面積.為了方便解題，我們常常設(shè)計(jì)出一個(gè)規(guī)則的圖形（面積為定值）來(lái)表示隨機(jī)取點(diǎn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域.【例5】如圖，矩形長(zhǎng)為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆為96顆，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)橢圓的面積為（）. A.7.68 B.8.68 C.16.32 D.17.32【答案】C【解析】由隨機(jī)模擬的思想方法可得黃豆落在橢圓內(nèi)的概率為.由幾何概型的概率計(jì)算公